עולה, יורדת, מתכנסת · סדרות · כיתה י״א

בבגרות חוזרת שאלה אחת בצורות שונות: «האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? נמקו.» שלוש השאלות כאן בנויות כמו שאלה 2 בשאלון 35571, והן נפתרות יחד מההתחלה עד הסוף. אחרי כל אחת מחכה שאלה תאומה, לפתור לבד.

הנימוק שכותבים בבגרות: $a_{n+1}-a_n=a_n(q-1)$ . הסדרה עולה כשהביטוי חיובי לכל $n$ , ויורדת כשהוא שלילי. כש- $q<0$ הסימן של $a_n$ מתחלף, ולכן הסדרה לא עולה ולא יורדת.

1 — סדרה סופית, ואחר כך סדרת ההפכיים

פעילות אינטראקטיבית

נתונה סדרה הנדסית $A$ ובה $m$ איברים ( $m>3$ ). כל איברי הסדרה שליליים. סכום $m-3$ האיברים האחרונים גדול פי $8$ מסכום $m-3$ האיברים הראשונים. א. (1) מצאו את המנה $q$ . (2) האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? נמקו. ב. נתון $a_1=-3$ , וסכום כל איברי הסדרה הוא $-3069$ . מצאו את $m$ . ג. בונים סדרה $B$ : $b_n=\frac{1}{a_n}$ . הוכיחו ש- $B$ הנדסית, וקבעו אם היא עולה או יורדת. ד. חשבו את סכום כל איברי $B$ .

\begin{aligned}a_n<0 \\ \quad a_4+\ldots+a_m &= 8\,(a_1+\ldots+a_{m-3})\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרעיון: כל איבר בסכום האחרון הוא איבר מהסכום הראשון, שלוש קפיצות קדימה.

א. (1)

\begin{aligned}a_4 &= a_1q^3 \\ \ a_5 &= a_2q^3 \\ \ \ldots \\ \ \Rightarrow\ a_4+\ldots+a_m &= q^3\,(a_1+\ldots+a_{m-3})\end{aligned}

שני הסכומים בני $m-3$ איברים, וכל איבר בשני הוא האיבר המקביל בראשון כפול $q^3$ .

א. (1)

\begin{aligned}q^3 &= 8 \\ \ \Rightarrow\ q &= 2\end{aligned}

מחלקים בסכום הראשון. הוא שונה מ- $0$ : כל איבריו שליליים.

א. (2)

\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= a_n(q-1) \\ &= a_n\cdot 1<0\end{aligned}

$a_n<0$ ו- $q-1=1>0$ . הסדרה יורדת, למרות ש- $q>1$ .

ב.

\begin{aligned}S_m &= \frac{a_1(q^m-1)}{q-1} \\ &= -3(2^m-1) \\ &= -3069\end{aligned}

נוסחת הסכום של $m$ איברים.

ב.

\begin{aligned}2^m-1 &= 1023 \\ \ \Rightarrow\ 2^m &= 1024 \\ \ \Rightarrow\ m &= 10\end{aligned}

$1024=2^{10}$ .

ג.

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{1/a_{n+1}}{1/a_n} \\ &= \frac{a_n}{a_{n+1}} \\ &= \frac{1}{q} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המנה קבועה, לא תלויה ב- $n$ : $B$ הנדסית.

ג.

\begin{aligned}b_1 &= -\tfrac{1}{3} \\ \quad b_{n+1}-b_n &= b_n\left(\tfrac{1}{2}-1\right)>0\end{aligned}

שני גורמים שליליים. $B$ עולה: $-\frac{1}{3},\,-\frac{1}{6},\,-\frac{1}{12},\ldots$

ד.

\begin{aligned}S_B &= \frac{-\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\frac{1}{2}} \\ &= -\frac{2}{3}\cdot\frac{1023}{1024} \\ &= -\frac{341}{512}\end{aligned}

$B$ סופית: עשרה איברים, כמו $A$ .

הסדרה $A$ יורדת והסדרה $B$ עולה: אותו סימן, ומנות משני צדי $1$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בלי לחשב: האם הסדרה $-a_1,\,-a_2,\,-a_3,\,\ldots$ עולה או יורדת?

להציג את התשובה והפתרון

עולה. האיבר הראשון $3>0$ והמנה עדיין $2>1$ : $3,\,6,\,12,\ldots$ הכפלה ב- $-1$ הופכת את הכיוון.

השאלה התאומה: שאלות 1 ו-2 ברשימה למטה.

2 — שתי אפשרויות, והמונוטוניות מכריעה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ . נתון: $\frac{a_4}{a_2}=\frac{1}{4}$ ו- $a_2+a_4=10$ . א. מצאו את שתי האפשרויות ל- $a_3$ . נתון שהסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. ב. מצאו את $q$ ואת $a_1$ . ג. בונים סדרה $B$ : $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ . הוכיחו ש- $B$ הנדסית ומצאו את המנה שלה. האם $B$ עולה? ד. בונים סדרה $C$ : $c_n=a_n\cdot k^n$ , ו- $k\neq 0$ פרמטר. (1) מצאו את המנה של $C$ . (2) לאילו ערכים של $k$ הסדרה $C$ עולה? ה. נתון ש- $C$ מתכנסת וסכומה $32$ . מצאו את $k$ .

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= \frac{1}{4} \\ \quad a_2+a_4 &= 10\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בין $a_2$ ל- $a_4$ יש שתי קפיצות: היחס ביניהם הוא $q^2$ .

א.

\begin{aligned}q^2 &= \frac{1}{4} \\ \quad a_2\left(1+\tfrac{1}{4}\right) &= 10 \\ \ \Rightarrow\ a_2 &= 8 \\ \ a_4 &= 2\end{aligned}

$a_4=a_2q^2$ .

א.

\begin{aligned}a_3^2 &= a_2\cdot a_4 \\ &= 16 \\ \ \Rightarrow\ a_3 &= 4 \quad \\ \quad a_3 &= -4\end{aligned}

האיבר האמצעי של שלושה עוקבים: $b^2=ac$ . שתי האפשרויות.

ב.

\begin{aligned}q &= \frac{a_3}{a_2} \\ &= \frac{-4}{8} \\ &= -\frac{1}{2} \\ \quad a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= -16\end{aligned}

«לא עולה ולא יורדת» פירושו $q<0$ , ולכן $a_3=-4$ . עם $a_3=4$ היינו מקבלים $q=\frac{1}{2}$ וסדרה יורדת.

ג.

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1}a_{n+2}}{a_na_{n+1}} \\ &= \frac{a_{n+2}}{a_n} \\ &= q^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה לא תלויה ב- $n$ : $B$ הנדסית, והמנה שלה $\frac{1}{4}$ .

ג.

\begin{aligned}b_1 &= a_1a_2 \\ &= -16\cdot 8 \\ &= -128 \\ \quad 0<\tfrac{1}{4}<1\end{aligned}

איבר ראשון שלילי ומנה בין $0$ ל- $1$ : $B$ עולה. $-128,\,-32,\,-8,\ldots$

ד. (1)

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}k^{n+1}}{a_nk^n} \\ &= qk \\ &= -\frac{k}{2}\end{aligned}

המנה של $C$ .

ד. (2)

\begin{aligned}-\frac{k}{2}>0 \ \Rightarrow\ k<0 \ \Rightarrow\ c_1 &= a_1k \\ &= -16k>0\end{aligned}

סדרה עולה צריכה מנה חיובית. אז $k<0$ , והאיבר הראשון חיובי.

ד. (2)

-\frac{k}{2}>1 \ \Rightarrow\ k<-2

איבר ראשון חיובי: הסדרה עולה רק כשהמנה גדולה מ- $1$ . $C$ עולה כאשר $k<-2$ .

ה.

\left|-\frac{k}{2}\right|<1 \ \Rightarrow\ -2<k<2 ,\ k\neq 0

תנאי ההתכנסות.

ה.

\begin{aligned}\frac{-16k}{1+\frac{k}{2}} &= 32 \\ \ \Rightarrow\ -32k &= 64+32k \\ \ \Rightarrow\ k &= -1\end{aligned}

$k=-1$ בתחום ההתכנסות ✓. בדיקה: $c_1=16$ , המנה $\frac{1}{2}$ , הסכום $\frac{16}{1/2}=32$ ✓

«לא עולה ולא יורדת» בנתון הוא רמז: הוא בוחר את המנה השלילית מבין שתי האפשרויות.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם ייתכן שהסדרה $A$ מהשאלה עולה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. האפשרות השנייה, $a_3=4$ , נותנת $q=\frac{1}{2}$ ו- $a_1=16$ : איבר ראשון חיובי ומנה בין $0$ ל- $1$ , כלומר סדרה יורדת. $A$ יכולה להיות יורדת, או לא עולה ולא יורדת — לעולם לא עולה.

השאלה התאומה: שאלות 3 ו-4 ברשימה למטה.

3 — נכון או לא נכון, ומחיקת כל איבר שלישי

פעילות אינטראקטיבית

א. קבעו אם כל אחד מההיגדים נכון לכל סדרה הנדסית אינסופית, ונמקו. (1) אם הסדרה יורדת, היא בהכרח מתכנסת. (2) אם הסדרה מתכנסת וכל איבריה חיוביים, היא בהכרח יורדת. (3) אם הסדרה לא עולה ולא יורדת, אין לה סכום. נתונה סדרה הנדסית אינסופית שבה $a_1=18$ ו- $q=-\frac{1}{2}$ . ב. האם היא עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? ג. חשבו את סכום כל איבריה. ד. מוחקים מהסדרה כל איבר שלישי ( $a_3,\,a_6,\,a_9,\ldots$ ). חשבו את סכום האיברים שנשארו.

\begin{aligned}a_1 &= 18 \\ \quad q &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כדי להפריך היגד מספיקה דוגמה נגדית אחת. כדי להוכיח, צריך נימוק לכל סדרה.

א. (1)

\begin{aligned}-1 \\ \ -2 \\ \ -4 \\ \ \ldots \qquad a_1 &= -1 \\ \ q &= 2\end{aligned}

לא נכון. הסדרה יורדת, אבל $|q|=2>1$ : אין לה סכום.

א. (2)

a_n>0 \Rightarrow q>0 ,\qquad |q|<1 \ \Rightarrow\ 0<q<1

נכון. איבר ראשון חיובי ומנה בין $0$ ל- $1$ : $a_{n+1}-a_n=a_n(q-1)<0$ .

א. (3)

\begin{aligned}1 \\ \ -\tfrac{1}{2} \\ \ \tfrac{1}{4} \\ \ \ldots \qquad S &= \frac{1}{1+\frac{1}{2}} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

לא נכון. $q=-\frac{1}{2}<0$ , והסדרה לא עולה ולא יורדת, אבל $|q|<1$ ויש לה סכום.

ב.

18 ,\ -9 ,\ 4.5 ,\ \ldots

$q<0$ : הסימן מתחלף. לא עולה ולא יורדת.

ג.

\begin{aligned}S &= \frac{18}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &= \frac{18}{1.5} \\ &= 12\end{aligned}

$|q|<1$ , ולכן הנוסחה מותרת.

ד.

\begin{aligned}a_3 \\ \ a_6 \\ \ a_9 \\ \ \ldots:\quad a_3 &= 4.5 \\ \quad q^3 &= -\frac{1}{8}\end{aligned}

האיברים שנמחקו הם סדרה הנדסית: שלוש קפיצות בין שניים מהם.

ד.

\begin{aligned}\frac{4.5}{1+\frac{1}{8}} &= \frac{4.5}{1.125} \\ &= 4 \\ \ \Rightarrow\ 12-4 &= 8\end{aligned}

נשאר $8$ . בדיקה: הזוגות $a_1+a_2=9$ , $a_4+a_5,\ldots$ הם סדרה עם מנה $q^3$ , ו- $\frac{9}{9/8}=8$ ✓

«יורדת» ו«מתכנסת» הן שתי שאלות שונות: הראשונה תלויה גם בסימן של $a_1$ , השנייה רק ב- $|q|$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תנו דוגמה לסדרה הנדסית עולה שיש לה סכום.

להציג את התשובה והפתרון

$-8,\,-4,\,-2,\ldots$ איבר ראשון שלילי ומנה $\frac{1}{2}$ : הסדרה עולה, והסכום $\frac{-8}{1/2}=-16$ .

השאלה התאומה: שאלות 5 ו-6 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה סדרה הנדסית ובה $m$ איברים ( $m>2$ ). כל איבריה חיוביים. סכום $m-2$ האיברים האחרונים גדול פי $9$ מסכום $m-2$ האיברים הראשונים. נתון $a_1=2$ וסכום כל איברי הסדרה $242$ . מצאו את $q$ ואת $m$ .

$q=$ ____ , $m=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $q=$ 3 , $m=$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}a_3+\ldots+a_m &= q^2(a_1+\ldots+a_{m-2}) \\ \ \Rightarrow\ q^2 &= 9\end{aligned}

שתי קפיצות בין איבר לאיבר המקביל

q=3

כל האיברים חיוביים, ולכן $q>0$

\begin{aligned}\frac{2(3^m-1)}{3-1} &= 242 \\ \ \Rightarrow\ 3^m &= 243 \\ \ \Rightarrow\ m &= 5\end{aligned}

נוסחת הסכום

$q=-3$ נפסל: הוא היה נותן איברים בסימנים מתחלפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה מהשאלה הקודמת ( $a_1=2$ , $q=3$ , חמישה איברים) בונים סדרה $b_n=\frac{1}{a_n}$ . האם $b_n$ עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

לא עולה ולא יורדת
עולה
יורדת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יורדת

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{1}{q} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

$b_n$ הנדסית

\begin{aligned}b_1 &= \frac{1}{2}>0 \\ \quad 0<\tfrac{1}{3}<1\end{aligned}

איבר ראשון חיובי, מנה בין $0$ ל- $1$

יורדת: $\frac{1}{2},\,\frac{1}{6},\,\frac{1}{18},\ldots$ כש- $a_n$ חיובית ועולה, ההפכיים שלה יורדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה סדרה הנדסית אינסופית שבה $\frac{a_4}{a_2}=\frac{1}{9}$ ו- $a_2+a_4=20$ . נתון שהסדרה לא עולה ולא יורדת. מצאו את $a_3$ ואת $a_1$ .

$a_3=$ ____ , $a_1=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_3=$ -6 , $a_1=$ -54

הפתרון:

\begin{aligned}q^2 &= \frac{1}{9} \\ \quad a_2\cdot\frac{10}{9} &= 20 \\ \ \Rightarrow\ a_2 &= 18 \\ \ a_4 &= 2\end{aligned}

שתי קפיצות

\begin{aligned}a_3^2 &= 36 \\ \ \Rightarrow\ a_3 &= \pm 6\end{aligned}

שתי אפשרויות

\begin{aligned}q<0 \Rightarrow a_3 &= -6 \\ \ q &= -\frac{1}{3} \\ \ a_1 &= \frac{18}{-1/3} \\ &= -54\end{aligned}

«לא עולה ולא יורדת»

עם $a_3=6$ הסדרה הייתה $54,\,18,\,6,\ldots$ — יורדת, ולכן נפסלת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה מהשאלה הקודמת ( $a_1=-54$ , $q=-\frac{1}{3}$ ) בונים סדרה $c_n=a_n\cdot k^n$ , ו- $k\neq 0$ . לאילו ערכים של $k$ הסדרה $c_n$ עולה?

$-3<k<0$
$k>3$
$k>0$
$k<-3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $k<-3$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= qk \\ &= -\frac{k}{3}\end{aligned}

המנה של $c_n$

-\frac{k}{3}>0 \Rightarrow k<0 \Rightarrow c_1=-54k>0

מנה חיובית: $k$ שלילי, והאיבר הראשון חיובי

-\frac{k}{3}>1 \Rightarrow k<-3

איבר ראשון חיובי: צריך מנה גדולה מ- $1$

ב- $-3<k<0$ המנה בין $0$ ל- $1$ והאיבר הראשון חיובי: הסדרה יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: אם סדרה הנדסית אינסופית עולה, אין לה סכום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

-8 ,\ -4 ,\ -2 ,\ \ldots

דוגמה נגדית: $a_1=-8$ , $q=\frac{1}{2}$

\begin{aligned}S &= \frac{-8}{1-\frac{1}{2}} \\ &= -16\end{aligned}

$|q|<1$ : יש סכום

הטענה לא נכונה. סדרה עולה יכולה להתכנס, כשהאיבר הראשון שלילי והמנה בין $0$ ל- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה סדרה הנדסית אינסופית שבה $a_1=36$ ו- $q=-\frac{1}{2}$ . מוחקים ממנה כל איבר שלישי ( $a_3,\,a_6,\,a_9,\ldots$ ). מהו סכום האיברים שנשארו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{36}{1.5} \\ &= 24\end{aligned}

סכום כל הסדרה

\begin{aligned}a_3 &= 9 \\ \ q^3 &= -\frac{1}{8} \\ \ \Rightarrow\ \frac{9}{1+\frac{1}{8}} &= 8\end{aligned}

סכום האיברים שנמחקו

24-8=16

מה שנשאר

דרך שנייה: הזוגות $a_1+a_2=18$ , $a_4+a_5,\ldots$ הם סדרה עם מנה $q^3$ , ו- $\frac{18}{9/8}=16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — סדרה סופית, ואחר כך סדרת ההפכיים

2 — שתי אפשרויות, והמונוטוניות מכריעה

3 — נכון או לא נכון, ומחיקת כל איבר שלישי

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev