פותרים יחד · סדרות · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון שאלה 2 בבגרות, אחת לכל רעיון שחוזר בסדרות ההנדסיות: שתי משוואות ושני פתרונות, סדרה חדשה שנבנית מהישנה, סכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגיים, ופרמטר שקובע אם הסכום האינסופי קיים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה על סדרה הנדסית אינסופית שאלו קודם: האם $|q|<1$ ? בלי התנאי הזה אין סכום, ואין נוסחה.

1 — שתי משוואות, שני פתרונות

פעילות אינטראקטיבית

בסדרה הנדסית אינסופית סכום שני האיברים הראשונים הוא $12$ , וסכום כל הסדרה הוא $16$ . הסדרה יורדת וכל איבריה חיוביים. א. מצאו את $q$ ואת $a_1$ . ב. מצאו את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.

\begin{aligned}a_1+a_2 &= 12 \\ \quad S &= 16\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שתי המשוואות מכילות את $a_1$ : מחלקים אחת בשנייה והוא נעלם.

משוואות

\begin{aligned}a_1(1+q) &= 12 \qquad \frac{a_1}{1-q} \\ &= 16\end{aligned}

$a_2=a_1q$ , והסכום האינסופי לפי הנוסחה.

מחלקים

\begin{aligned}(1+q)(1-q) &= \frac{12}{16} \ \Rightarrow \ 1-q^2 \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

מכפילים את המשוואה הראשונה ב- $\frac{1-q}{a_1}$ .

שני פתרונות

\begin{aligned}q^2 &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{2} \\ \ q &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

לשניהם $|q|<1$ .

א.

\begin{aligned}q &= \frac{1}{2} \\ \quad a_1 &= \frac{12}{1.5} \\ &= 8\end{aligned}

סדרה יורדת שכל איבריה חיוביים: $q$ חיובי.

ב. תת-סדרה

\begin{aligned}a_2 \\ \ a_4 \\ \ a_6 \\ \ \ldots \qquad b_1 &= a_2 \\ &= 4 \\ \quad q_b &= q^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בין שני מקומות זוגיים יש שתי קפיצות.

ב.

\begin{aligned}a_2+a_4+\ldots &= \frac{4}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{16}{3}\end{aligned}

בדיקה: האי-זוגיים $\frac{8}{3/4}=\frac{32}{3}$ , והסכום $\frac{48}{3}=16$ ✓

המנה של תת-הסדרה היא $q^2$ , לא $q$ : בין $a_2$ ל- $a_4$ כופלים פעמיים.

לעשות את הפעילות ב-elev

אילו הסדרה לא הייתה מונוטונית, מה היו $q$ ו- $a_1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$q=-\frac{1}{2}$ ו- $a_1=24$ . $24\cdot\frac{1}{2}=12$ , ו- $\frac{24}{1.5}=16$ . הסדרה $24,\,-12,\,6,\,\ldots$ מחליפה סימן, ולכן אינה עולה ואינה יורדת.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — סדרה חדשה מהסדרה הישנה

פעילות אינטראקטיבית

$b_n=a_n\cdot a_{n+1}$

$a_n$ היא סדרה הנדסית אינסופית שבה $a_1=6$ ו- $q=\frac{1}{3}$ . מגדירים $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ . הוכיחו ש- $b_n$ סדרה הנדסית ומצאו את סכום כל איבריה.

$13.5$

$9$

$18$

לסדרה אין סכום

איך מוכיחים ש- $b_n$ סדרה הנדסית?

מראים ש- $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ קבוע, לכל $n$

להציג את התשובה והפתרון

זו ההגדרה של סדרה הנדסית.

מחשבים את $b_1$ , $b_2$ , $b_3$ ובודקים

להציג את התשובה והפתרון

שלושה איברים לא מוכיחים דבר על כל הסדרה.

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1}a_{n+2}}{a_na_{n+1}} \\ &= \frac{a_{n+2}}{a_n} \\ &= q^2\end{aligned}

המנה לא תלויה ב- $n$ : $b_n$ הנדסית.

מה המנה של $b_n$ ומה האיבר הראשון שלה?

$q_b=\frac{1}{9}$ ו- $b_1=12$

להציג את התשובה והפתרון

$b_1=a_1a_2=6\cdot 2$ .

$q_b=\frac{1}{3}$ ו- $b_1=6$

להציג את התשובה והפתרון

$b_1$ הוא מכפלה של שני איברים, והמנה היא $q^2$ .

\begin{aligned}b_1 &= 6\cdot 2 \\ &= 12 \\ \qquad q_b &= \frac{1}{9}\end{aligned}

$|q_b|<1$ : יש סכום.

מה הסכום?

$\frac{12}{1-\frac{1}{9}}$

להציג את התשובה והפתרון

נוסחת הסכום האינסופי עם הנתונים של $b_n$ .

$9\cdot\frac{9}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

זה מכפלת הסכומים של $a_n$ ו- $a_{n+1}$ . סכום של מכפלות אינו מכפלת הסכומים.

\begin{aligned}S_b &= \frac{12}{\frac{8}{9}} \\ &= 13.5\end{aligned}

$S_b=13.5$

להציג את התשובה והפתרון

$13.5$ . ההוכחה נשענת על $\frac{a_{n+2}}{a_n}=q^2$ . הטעות הנפוצה: לכפול את הסכומים, כאילו $\sum a_nb_n=\sum a_n \cdot \sum b_n$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם גם $c_n=a_n+a_{n+1}$ היא סדרה הנדסית?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $c_n=a_n(1+q)$ , ולכן $\frac{c_{n+1}}{c_n}=q$ . המנה שלה $q$ , והאיבר הראשון $a_1(1+q)$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מקומות זוגיים ואי-זוגיים בסדרה סופית

פעילות אינטראקטיבית

בסדרה הנדסית יש $2n$ איברים, ו- $a_1=1$ . סכום האיברים שבמקומות הזוגיים גדול פי $3$ מסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים. סכום כל איברי הסדרה הוא $3280$ . א. מצאו את $q$ . ב. מצאו את $n$ . ג. כמה איברים יש בסדרה?

\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ \quad B &= 3A \\ \quad S_{2n} &= 3280\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נסמן: $A$ סכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, $B$ סכום האיברים שבמקומות הזוגיים. כל איבר במקום זוגי הוא השכן שלפניו כפול $q$ .

זוגות

a_2+a_4+\ldots+a_{2n}=q(a_1+a_3+\ldots+a_{2n-1})

יש $n$ זוגיים ו- $n$ אי-זוגיים.

א.

\begin{aligned}B &= q\cdot A \ \Rightarrow \ q \\ &= 3\end{aligned}

היחס בין שני הסכומים הוא המנה.

סכום

\begin{aligned}S_{2n} &= \frac{1\cdot(3^{2n}-1)}{3-1} \\ &= 3280 \ \Rightarrow \ 3^{2n} \\ &= 6561\end{aligned}

נוסחת הסכום, עם $2n$ איברים.

ב.

\begin{aligned}3^8 &= 6561 \ \Rightarrow \ 2n \\ &= 8 \ \Rightarrow \ n \\ &= 4\end{aligned}

מחפשים חזקה של $3$ : $3^4=81$ , $81^2=6561$ .

ג.

2n=8

בסדרה $8$ איברים.

השאלה «מצאו את $n$ » והשאלה «כמה איברים» נותנות תשובות שונות: $4$ ו- $8$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בסדרה אחרת יש $2n$ איברים, וסכום האיברים שבמקומות הזוגיים שווה לחצי מסכום האי-זוגיים. מהי המנה?

להציג את התשובה והפתרון

$q=\frac{1}{2}$ . אותו נימוק: $B=q\cdot A$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטר ותנאי ההתכנסות

פעילות אינטראקטיבית

$b_n=a_n\cdot k^n$

$a_n$ היא הסדרה ההנדסית $a_n=12\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ . מגדירים $b_n=a_n\cdot k^n$ , כאשר $k \neq 0$ . א. לאילו ערכי $k$ לסדרה $b_n$ יש סכום אינסופי? ב. סכום הסדרה $b_n$ הוא $12$ . מצאו את $k$ .

$k=\frac{2}{3}$

$k=2$

$k=\frac{1}{2}$

$k=-\frac{2}{3}$

מה המנה של $b_n$ ?

$\frac{k}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\cdot k=\frac{1}{2}k$ .

$k$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את המנה של $a_n$ .

\begin{aligned}b_1 &= 12k \\ \qquad q_b &= \frac{k}{2}\end{aligned}

$b_1=a_1\cdot k^1$

מה תנאי ההתכנסות?

$-2<k<2$ ו- $k \neq 0$

להציג את התשובה והפתרון

$\left|\frac{k}{2}\right|<1$ .

$-1<k<1$

להציג את התשובה והפתרון

התנאי הוא על המנה של $b_n$ , לא על $k$ .

\left|\frac{k}{2}\right|<1 \ \Rightarrow \ -2<k<2 ,\ k \neq 0

זו תשובת סעיף א.

איזו משוואה נותן הסכום?

$\frac{12k}{1-\frac{k}{2}}=12$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{b_1}{1-q_b}$ .

$\frac{12}{1-\frac{k}{2}}=12$

להציג את התשובה והפתרון

האיבר הראשון של $b_n$ הוא $12k$ , לא $12$ .

\begin{aligned}12k &= 12-6k \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

$\frac{2}{3}$ נמצא בתחום $-2<k<2$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$k=\frac{2}{3}$ . בודקים תמיד שהפתרון נמצא בתחום ההתכנסות: פתרון מחוץ לתחום נפסל, כי שם אין סכום.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם הסכום של $b_n$ יכול להיות $-6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $\frac{24k}{2-k}=-6$ נותן $24k=-12+6k$ , כלומר $k=-\frac{2}{3}$ , והוא בתחום. כש- $k$ שלילי המנה שלילית והסכום שלילי.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 בודקת הבנה.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים, סכום שני האיברים הראשונים הוא $18$ וסכום כל הסדרה הוא $24$ . מצאו את $q$ , את $a_1$ ואת סכום האיברים שבמקומות הזוגיים.

$q=$ ____ , $a_1=$ ____ , סכום המקומות הזוגיים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $q=$ 0.5 , $a_1=$ 12 , סכום המקומות הזוגיים: 8

הפתרון:

\begin{aligned}a_1(1+q) &= 18 \\ \quad \frac{a_1}{1-q} &= 24\end{aligned}

שתי משוואות

\begin{aligned}1-q^2 &= \frac{18}{24} \\ &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \pm\frac{1}{2}\end{aligned}

מחלקים

\begin{aligned}q &= \frac{1}{2} \\ \ a_1 &= 12\end{aligned}

הסדרה יורדת וחיובית

\begin{aligned}\frac{a_2}{1-q^2} &= \frac{6}{\frac{3}{4}} \\ &= 8\end{aligned}

תת-סדרה עם מנה $q^2$

המנה של המקומות הזוגיים היא $q^2=\frac{1}{4}$ . מי שמחלק ב- $1-q$ מקבל $12$ , וזה סכום לא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$a_n$ היא סדרה הנדסית אינסופית שבה $a_1=6$ ו- $q=\frac{1}{2}$ . מגדירים $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ . מהו סכום כל איברי $b_n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= 6\cdot 3 \\ &= 18\end{aligned}

האיבר הראשון

\begin{aligned}q_b &= q^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה

\begin{aligned}S_b &= \frac{18}{\frac{3}{4}} \\ &= 24\end{aligned}

הסכום

הטעות: $12\cdot 6=72$ , מכפלת הסכומים של $a_n$ ושל $a_{n+1}$ . סכום של מכפלות אינו מכפלת הסכומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה הנדסית יש $2n$ איברים, ו- $a_1=3$ . סכום האיברים שבמקומות הזוגיים גדול פי $2$ מסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים. סכום כל האיברים הוא $765$ . כמה איברים יש בסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}B &= q\cdot A \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

$A$ סכום האי-זוגיים, $B$ סכום הזוגיים

\begin{aligned}3(2^{2n}-1) &= 765 \ \Rightarrow \ 2^{2n} \\ &= 256\end{aligned}

נוסחת הסכום

2n=8

$2^8=256$

בסדרה $8$ איברים. התשובה $4$ היא $n$ , לא מספר האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$a_n=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ ו- $b_n=a_n\cdot k^n$ , כאשר $k \neq 0$ . השלימו את תחום ההתכנסות של $b_n$ , ומצאו את $k$ שעבורו סכום הסדרה $b_n$ הוא $9$ .

התכנסות: $-3<k<$ ____ ; $k=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: התכנסות: $-3<k<$ 3 ; $k=$ 0.75

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= 9k \\ \quad q_b &= \frac{k}{3}\end{aligned}

האיבר הראשון והמנה

\left|\frac{k}{3}\right|<1 \ \Rightarrow \ -3<k<3

התכנסות

\begin{aligned}\frac{9k}{1-\frac{k}{3}} &= 9 \ \Rightarrow \ 27k \\ &= 27-9k \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

המשוואה

$\frac{3}{4}$ בתחום. מי שכותב $b_1=9$ שכח את $k^1$ , ומקבל $k=0$ , ערך שאסור בשאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: $a_n$ היא סדרה הנדסית אינסופית עם $q=\frac{1}{3}$ ו- $a_1=2$ . לסדרה $c_n=\frac{1}{a_n}$ יש סכום אינסופי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_n}{a_{n+1}} \\ &= \frac{1}{q} \\ &= 3\end{aligned}

$c_n$ הנדסית עם מנה $3$

|3|>1

אין התכנסות

הטענה לא נכונה. $c_n$ היא אכן סדרה הנדסית, אבל המנה שלה היא ההופכי של $q$ . כש- $a_n$ מתכנסת, $\frac{1}{a_n}$ גדלה בלי גבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שתי משוואות, שני פתרונות

2 — סדרה חדשה מהסדרה הישנה

3 — מקומות זוגיים ואי-זוגיים בסדרה סופית

4 — פרמטר ותנאי ההתכנסות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev