סדרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שתי משפחות הסדרות, עם הנוסחאות המלאות ועם הסכומים — כולל המקרה שבו סדרה אינסופית מתכנסת למספר סופי.

חשבונית

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1) d
Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

הנדסית

an=a1⋅q n−1a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}
Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

נוסחת הסכום ההנדסי אינה מוגדרת ב-q=1q = 1 — המכנה מתאפס. אבל אז הסדרה קבועה, והסכום הוא פשוט a1⋅na_1 \cdot n.

סדרה הנדסית אינסופית

כש-∣q∣<1|q| < 1 האיברים הולכים וקטנים, והסכום מתכנס למספר סופי — למרות שיש אינסוף איברים.

S=a11−qS = \frac{a_1}{1 - q}

הדוגמה הקלאסית: 1+12+14+18+…=21 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2. חוצים כל פעם את המרחק שנותר — ולעולם לא עוברים את 2.

איך מזהים איזו סדרה

a2−a1=a3−a2a_2 - a_1 = a_3 - a_2

הפרש קבוע — חשבונית.

a2a1=a3a2\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}

מנה קבועה — הנדסית.

ולפעמים סדרה אינה אף אחת מהשתיים — למשל 1, 4, 9, 16 (ריבועים). אין חובה שסדרה תשתייך לאחת המשפחות.

שתי הטעויות של הסדרות.

an=a1+nda_n = a_1 + n d
a1+(n−1)da_1 + (n-1) d

צעד אחד פחות ממספר האיברים.

S∞ תמיד קייםS_\infty \ \text{תמיד קיים}
רק כאשר ∣q∣<1\text{רק כאשר} \ |q| < 1

אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים לא קטנים והסכום מתבדר.

בסדרה הנדסית עם q=12q = \frac{1}{2} — האם קיים סכום אינסופי?

להציג את התשובה והפתרון

כן. התנאי הוא ∣q∣<1|q| < 1, ואז S=a11−qS = \frac{a_1}{1-q}. עבור ∣q∣≥1|q| \geq 1 הסכום מתבדר ואין לו ערך.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a6a_6?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

3⋅253 \cdot 2^5

חמישה צעדים

=96= 96

התוצאה

3, 6, 12, 24, 48, 96.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו סכום הסדרה האינסופית 1+12+14+…1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

S=11−0.5S = \frac{1}{1 - 0.5}

נוסחת הסכום האינסופי

=2= 2

התוצאה

חוצים כל פעם את הנותר — ולעולם לא עוברים את 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום סופי?

  1. כאשר a1>0a_1 > 0
  2. כאשר q>1q > 1
  3. תמיד
  4. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כאשר ∣q∣<1|q| < 1

הפתרון:

∣q∣<1|q| < 1

האיברים הולכים וקטנים

אחרת האיברים לא שואפים לאפס והסכום מתבדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הסדרה 1, 4, 9, 16 — איזה סוג?

  1. חשבונית
  2. שתיהן
  3. הנדסית
  4. לא חשבונית ולא הנדסית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא חשבונית ולא הנדסית

הפתרון:

3, 5, 73,\ 5,\ 7

ההפרשים אינם קבועים

4, 2.25, 1.784,\ 2.25,\ 1.78

וגם לא המנות

אלה ריבועים. אין חובה שסדרה תשתייך למשפחה מוכרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה חשבונית a1=2a_1 = 2, d=5d = 5. מהו סכום 20 האיברים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 990

הפתרון:

a20=2+19⋅5=97\begin{aligned}a_{20} &= 2 + 19 \cdot 5 \\ &= 97\end{aligned}

האיבר האחרון

S=(2+97)⋅202S = \frac{(2 + 97) \cdot 20}{2}

הסכום

=990= 990

מחשבים

19 צעדים, לא 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 והפרש d=3d = 3. מהו a10a_{10}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d

הנוסחה

5+9⋅3=325 + 9 \cdot 3 = 32

תשע קפיצות, לא עשר

(n−1)(n-1) ולא nn — מ-a1a_1 ל-a10a_{10} יש תשע קפיצות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו הסכום S10S_{10}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 185

הפתרון:

Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הנוסחה

10(5+32)2=185\frac{10(5 + 32)}{2} = 185

מציבים a10=32a_{10} = 32

צריך קודם את a10a_{10}. הסכום נשען על האיבר האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה הנדסית a1=2a_1 = 2 ומנה q=3q = 3. מהו a5a_5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 162

הפתרון:

an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

הנוסחה

2⋅34=2⋅81=162\begin{aligned}2 \cdot 3^4 &= 2 \cdot 81 \\ &= 162\end{aligned}

החזקה היא 44

שוב n−1n-1 בחזקה, לא nn. 2⋅352 \cdot 3^5 היה נותן 486486.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה הנדסית אינסופית a1=8a_1 = 8 ו-q=12q = \frac{1}{2}. מהו סכום הסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

S=a11−qS = \frac{a_1}{1-q}

הנוסחה, בתנאי ∣q∣<1|q| < 1

81−0.5=16\frac{8}{1 - 0.5} = 16

סכום סופי לאינסוף איברים — זה אפשרי בדיוק כאשר ∣q∣<1|q| < 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום?

  1. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
  2. תמיד
  3. כאשר a1>0a_1 > 0
  4. כאשר q>1q > 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כאשר ∣q∣<1|q| < 1

הפתרון:

∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0

האיברים הולכים ומתאפסים

אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים אינם קטנים, והסכום בורח לאינסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת