סדרה הנדסית וסכום אינסופי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בסדרה הנדסית כופלים בכל צעד באותו מספר — המנה qq. ההבדל מהחשבונית הוא מילה אחת: חיבור מול כפל.

an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

האיבר הכללי — שוב (n−1)(n-1), הפעם בחזקה.

Sn=a1(qn−1)q−1S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}

סכום nn איברים, כאשר q≠1q \neq 1.

איבר וסכום

בסדרה a1=3a_1 = 3, q=2q = 2. חשבו את a6a_6 ואת S6S_6.

a6=3⋅25=96\begin{aligned}a_6 &= 3 \cdot 2^5 \\ &= 96\end{aligned}

החזקה היא 55, לא 66

S6=3(26−1)2−1S_6 = \frac{3(2^6-1)}{2-1}
=3⋅63=189= 3 \cdot 63 = 189

הסכום האינסופי

S=a11−qכאשר  ∣q∣<1S = \frac{a_1}{1-q} \qquad \text{כאשר} \ \ |q| < 1

נשמע בלתי אפשרי: מחברים אינסוף מספרים ומקבלים מספר סופי. אבל אם כל איבר הוא חצי מקודמו, הסכום מתקרב לגבול ולא עובר אותו לעולם.

אינסוף איברים, סכום קטן

2+1+0.5+0.25+…2 + 1 + 0.5 + 0.25 + \ldots

a1=2  q=12\begin{aligned}a_1 &= 2 \ \\ \ q &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}
S=21−0.5S = \frac{2}{1 - 0.5}
=4= 4

הסכום לעולם לא יעבור את 44

התנאי ∣q∣<1|q| < 1 הוא כל הסיפור. אם ∣q∣≥1|q| \geq 1 האיברים אינם קטנים, והסכום בורח לאינסוף — אין נוסחה ואין תשובה.

מדוע ל-1+2+4+8+…1 + 2 + 4 + 8 + \ldots אין סכום?

להציג את התשובה והפתרון

כי q=2q = 2, והאיברים גדלים. כל תוספת גדולה מקודמתה, והסכום עובר כל מספר שנבחר. הנוסחה a11−q\frac{a_1}{1-q} הייתה נותנת 1−1=−1\frac{1}{-1} = -1 — תוצאה חסרת פשר, וזה הסימן שהתנאי הופר.

שלושה איברים עוקבים

b2=a⋅cb^2 = a \cdot c

בחשבונית האמצעי היה הממוצע החשבוני; כאן הוא הממוצע ההנדסי. אותו רעיון, פעולה אחרת.

שתי הטעויות של הסדרה ההנדסית.

an=a1q na_n = a_1 q^{\,n}
an=a1q n−1a_n = a_1 q^{\,n-1}

אותה מלכודת כמו בחשבונית, הפעם בחזקה. 3⋅263 \cdot 2^6 נותן 192192 במקום 9696.

S=a11−q תמידS = \frac{a_1}{1-q} \ \text{תמיד}
רק כאשר ∣q∣<1\text{רק כאשר} \ |q| < 1

בלי לבדוק את התנאי מקבלים מספר שנראה תקין ואין לו משמעות.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a6a_6?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

3⋅253 \cdot 2^5

החזקה n−1n-1

=96= 96

עם 262^6 היה יוצא 192192 — פי שניים מהאמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו S6S_6?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 189

הפתרון:

3(26−1)2−1\frac{3(2^6-1)}{2-1}
3⋅63=1893 \cdot 63 = 189

המכנה q−1q-1 שווה 11 כאן, ולכן נעלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו סכום הסדרה האינסופית 2+1+0.5+…2 + 1 + 0.5 + \ldots?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

q=0.5  ∣q∣<1\begin{aligned}q &= 0.5 \ \\ \ |q| < 1\end{aligned}

התנאי מתקיים

21−0.5=4\frac{2}{1-0.5} = 4

אינסוף איברים, סכום סופי — כי הם קטנים מספיק מהר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה הנדסית אינסופית a1=27a_1 = 27 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מהו הסכום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40.5

הפתרון:

271−13\frac{27}{1 - \frac{1}{3}}
2723=40.5\frac{27}{\frac{2}{3}} = 40.5

חילוק בשבר — כפל בהופכי. 27⋅3227 \cdot \frac{3}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה הנדסית אינסופית הסכום 18 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מהו a1a_1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

18=a11−1318 = \frac{a_1}{1-\frac{1}{3}}
a1=18⋅23=12\begin{aligned}a_1 &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

הכיוון ההפוך — מהסכום אל האיבר הראשון, ונשאל לא פחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מתי לסדרה הנדסית אינסופית יש סכום?

  1. כאשר ∣q∣<1|q| < 1
  2. כאשר a1>0a_1 > 0
  3. כאשר q>1q > 1
  4. תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כאשר ∣q∣<1|q| < 1

הפתרון:

∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0

האיברים חייבים להתאפס, אחרת הסכום בורח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

האיברים 44, bb, 99 עוקבים בסדרה הנדסית. מהו bb החיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

b2=4⋅9=36\begin{aligned}b^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

הממוצע ההנדסי

b=6b = 6

או −6-6

שתי תשובות: 66 ו-−6-6. הסדרה 4,−6,94, -6, 9 הנדסית גם היא, עם q=−1.5q = -1.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה הנדסית a1=5a_1 = 5 ו-a4=40a_4 = 40. מהי המנה qq?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

a4=a1q3a_4 = a_1 q^3

שלוש קפיצות

40=5q3⇒q3=8\begin{aligned}40 &= 5q^3 \Rightarrow q^3 \\ &= 8\end{aligned}
q=2q = 2

החזקה היא מספר הקפיצות, כאן 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מדוע ל-1+2+4+8+…1 + 2 + 4 + 8 + \ldots אין סכום?

  1. כי q=2q = 2 והאיברים גדלים
  2. כי יש אינסוף איברים
  3. כי a1=1a_1 = 1
  4. יש לו סכום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי q=2q = 2 והאיברים גדלים

הפתרון:

∣q∣=2≥1|q| = 2 \geq 1

התנאי מופר

אינסוף איברים אינו הסיבה — לסדרה 2+1+0.5+…2+1+0.5+\ldots יש גם אינסוף איברים, ויש לה סכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מה ההבדל בין סדרה חשבונית להנדסית?

  1. אין הבדל מהותי
  2. בחשבונית האיברים גדלים
  3. בהנדסית יש יותר איברים
  4. בחשבונית מחברים קבוע, בהנדסית כופלים בקבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד בחשבונית מחברים קבוע, בהנדסית כופלים בקבוע

הפתרון:

an+1=an+da_{n+1} = a_n + d

חשבונית

an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q

הנדסית

חיבור מול כפל. כל שאר ההבדלים נובעים מזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית עם ∣q∣<1|q| < 1. הוכיחו שסכומה הוא S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q}.

  • Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} — סכום nn האיברים הראשונים
  • ∣q∣<1|q| < 1

S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q}

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∣q∣<1|q| < 1 — נתון
  2. qn→0q^n \to 0 כאשר n→∞n \to \infty — מספר שערכו המוחלט קטן מ-11, בחזקה גדלה, שואף לאפס
  3. 1−qn→11 - q^n \to 1 — הצבת הגבול של qnq^n
  4. Sn→a1⋅11−qS_n \to \dfrac{a_1 \cdot 1}{1-q} — הצבה בנוסחת הסכום החלקי
  5. S=a11−qS = \dfrac{a_1}{1-q} — וזהו הגבול, כלומר סכום הסדרה
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בסדרה הנדסית a1=−5a_1 = -5 ו-q=3q = 3. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. יורדת
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. עולה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יורדת

הפתרון:

−5, −15, −45, …-5 ,\ -15 ,\ -45 ,\ \ldots

שלושה איברים ראשונים

an+1−an=an(q−1)=an⋅2<0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= a_n(q-1) \\ &= a_n\cdot 2<0\end{aligned}

כל האיברים שליליים, ו-q−1>0q-1>0

יורדת. q>1q>1 מגדיל את הגודל של האיברים, אבל הם שליליים: −15-15 קטן מ-−5-5. מי שעונה «עולה» הסתכל רק על qq.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בסדרה הנדסית a1=−8a_1 = -8 ו-q=12q = \frac{1}{2}. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. עולה
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. יורדת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א עולה

הפתרון:

−8, −4, −2, …-8 ,\ -4 ,\ -2 ,\ \ldots

שלושה איברים ראשונים

an+1−an=an(q−1)=an⋅(−12)>0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= a_n(q-1) \\ &= a_n\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)>0\end{aligned}

שני גורמים שליליים

עולה. האיברים מתקרבים ל-00 מלמטה: −4-4 גדול מ-−8-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בסדרה הנדסית a1=4a_1 = 4 ו-q=−3q = -3. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?

  1. עולה
  2. לא עולה ולא יורדת
  3. יורדת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא עולה ולא יורדת

הפתרון:

4, −12, 36, …4 ,\ -12 ,\ 36 ,\ \ldots

הסימן מתחלף בכל צעד

a2<a1,a3>a2a_2<a_1 ,\quad a_3>a_2

פעם יורדת, פעם עולה

לא עולה ולא יורדת. כש-q<0q<0 שני איברים עוקבים הם בסימנים שונים, לכל a1a_1. כך כותבים את התשובה בבגרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת