פותרים יחד · טריגונומטריה במישור ובמרחב · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון שאלה 5 של הבגרות: משולש חסום עם פרמטרים, תיכון עם זווית קהה, מעגל חסום עם חצי זווית, ופירמידה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם», ולמטה מחכות חמש שאלות תאומות.

לפני כל לחיצה אמרו לעצמכם: באיזה משולש אני עובד, ומול איזו זווית הצלע. אחר כך בדקו אם השלב שמופיע מסכים איתכם.

1 — משולש שווה שוקיים חסום במעגל

AB=AC

, זווית הראש

2\alpha

, רדיוס המעגל

R

. זוויות הבסיס הן

90^\circ-\alpha

פעילות אינטראקטיבית

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון $AB=AC$ ו- $\angle BAC=2\alpha$ . א. הביעו את $BC$ ואת $AB$ באמצעות $R$ ו- $\alpha$ . ב. נתון $BC=1.5\,AB$ . מצאו את $\alpha$ . ג. נתון גם $R=4$ . מצאו את שטח המשולש.

\begin{aligned}AB &= AC \\ \quad \angle BAC &= 2\alpha \\ \quad BC &= 1.5\,AB\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שתי הצלעות נכתבות ב- $2R$ כפול סינוס הזווית שמולן.

א. BC

BC=2R\sin 2\alpha

משפט הסינוסים: $BC$ מול זווית הראש.

זוויות

\begin{aligned}\angle B &= \angle C \\ &= \frac{180^\circ-2\alpha}{2} \\ &= 90^\circ-\alpha\end{aligned}

משולש שווה שוקיים.

א. AB

\begin{aligned}AB &= 2R\sin(90^\circ-\alpha) \\ &= 2R\cos\alpha\end{aligned}

$AB$ מול $\angle C$ .

ב. משוואה

2R\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=1.5\cdot 2R\cos\alpha

זווית כפולה.

ב.

\sin\alpha=0.75 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 48.59^\circ

מחלקים ב- $4R\cos\alpha \neq 0$ . זווית הראש $\approx 97.18^\circ$ .

ג.

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}AB^2\sin 2\alpha \\ &= 2R^2\cos^2\alpha\sin 2\alpha \approx 13.89\end{aligned}

$\cos^2\alpha=1-0.75^2=0.4375$ , ו- $R=4$ .

הפתרון השני של $\sin\alpha=0.75$ הוא $\alpha \approx 131.41^\circ$ . הוא נפסל: אז זווית הראש $2\alpha$ גדולה מ- $180^\circ$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: באותה שאלה, לאיזה $\alpha$ המשולש שווה צלעות? בדקו שהיחס $\frac{BC}{AB}$ שווה אז ל- $1$ .

להציג את התשובה והפתרון

שווה צלעות: $2\alpha=60^\circ$ , כלומר $\alpha=30^\circ$ . היחס $\frac{BC}{AB}=2\sin\alpha=2\cdot\frac{1}{2}=1$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. והמשך «האם ייתכן»: שאלה 5.

2 — תיכון, וזווית ישרה שמסתתרת

AB=2k

AC=k

\angle BAC=120^\circ

M

אמצע

BC

פעילות אינטראקטיבית

תיכון במשולש קהה זווית

במשולש $ABC$ נתון $AB=2k$ , $AC=k$ ו- $\angle BAC=120^\circ$ . $M$ אמצע $BC$ . הביעו את $AM$ באמצעות $k$ , והוכיחו כי $\angle MAC=90^\circ$ .

$AM=\frac{k\sqrt{3}}{2}$

$AM=\frac{k\sqrt{7}}{2}$

$AM=\frac{k}{2}$

$AM=k\sqrt{3}$

מה מחשבים קודם?

את $BC$ , במשפט הקוסינוסים ב- $\triangle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $\triangle ABC$ ידועות שתי צלעות והזווית שביניהן.

את $AM$ , במשפט הסינוסים ב- $\triangle ABM$

להציג את התשובה והפתרון

ב- $\triangle ABM$ ידועה רק צלע אחת, ואף זווית מול צלע ידועה.

\begin{aligned}BC^2 &= 4k^2+k^2-2\cdot 2k\cdot k\cos 120^\circ \\ &= 7k^2\end{aligned}

$\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}$ , ולכן $+2k^2$ .

איך מגיעים לתיכון?

נוסחת התיכון: $AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\left(\frac{BC}{2}\right)^2$

להציג את התשובה והפתרון

היא משפט הקוסינוסים פעמיים, ב- $\triangle ABM$ וב- $\triangle ACM$ .

$AM=\frac{BC}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

זה נכון רק כשהזווית $A$ ישרה. כאן היא $120^\circ$ .

\begin{aligned}AM^2 &= \frac{5k^2}{2}-\frac{7k^2}{4} \\ &= \frac{3k^2}{4} \ \Rightarrow \ AM \\ &= \frac{k\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

$BM=\frac{k\sqrt{7}}{2}$ .

איך מוכיחים ש- $\angle MAC=90^\circ$ ?

בודקים פיתגורס ב- $\triangle AMC$ : $AM^2+AC^2=MC^2$

להציג את התשובה והפתרון

המשפט ההפוך של פיתגורס: אם השוויון מתקיים, הזווית מול הצלע הארוכה ישרה.

מודדים בציור

להציג את התשובה והפתרון

ציור אינו הוכחה.

\begin{aligned}\frac{3k^2}{4}+k^2 &= \frac{7k^2}{4} \\ &= MC^2\end{aligned}

הזווית מול $MC$ , כלומר $\angle MAC$ , ישרה.

להציג את התשובה והפתרון

$AM=\frac{k\sqrt{3}}{2}$ , ו- $\angle MAC=90^\circ$ . $\frac{k\sqrt{7}}{2}$ הוא חצי $BC$ , לא התיכון. ו- $\frac{k}{2}$ מתקבל כשמציבים $\cos 120^\circ$ עם הסימן הלא נכון.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: באותו משולש, מהי הזווית $\angle BAM$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAM=120^\circ-90^\circ=30^\circ$ . התיכון מחלק את זווית הראש ל- $30^\circ$ ול- $90^\circ$ , לא לשני חצאים. תיכון אינו חוצה זווית.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — רדיוס המעגל החסום, בחצי זווית

AB=AC=k

, זוויות הבסיס

\alpha

I

מרכז המעגל החסום, על הגובה

AD

BI

חוצה את זווית הבסיס.

פעילות אינטראקטיבית

במשולש $ABC$ נתון $AB=AC=k$ וזוויות הבסיס $\alpha$ . א. הביעו את רדיוס המעגל החסום $r$ באמצעות $k$ ו- $\alpha$ . ב. מצאו את $r$ כאשר $k=10$ ו- $\alpha=70^\circ$ . ג. בדקו בעזרת $r=\frac{S}{p}$ .

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= k \\ \quad \angle B &= \angle C \\ &= \alpha\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המרכז $I$ נמצא על חוצי הזוויות, ולכן ב- $B$ יש חצי זווית.

BD=k\cos\alpha

$\triangle ABD$ ישר זווית ב- $D$ .

חצי זווית

\angle IBD=\frac{\alpha}{2}

$BI$ חוצה את $\angle B$ .

א.

\begin{aligned}r &= ID \\ &= BD\tan\frac{\alpha}{2} \\ &= k\cos\alpha\tan\frac{\alpha}{2}\end{aligned}

$\triangle IBD$ ישר זווית ב- $D$ : $ID$ מול חצי הזווית.

ב.

r=10\cos 70^\circ\tan 35^\circ \approx 2.39

מציבים.

ג.

\begin{aligned}S &= k^2\sin\alpha\cos\alpha \approx 32.14 \\ \quad p &= k(1+\cos\alpha) \approx 13.42\end{aligned}

$\frac{S}{p} \approx 2.39$ ✓. שתי דרכים, אותה תשובה.

שני הביטויים שווים לכל $\alpha$ : $k\cos\alpha\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{k\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$ , כי $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: במשולש שווה צלעות שצלעו $k$ , מהו $r$ לפי הביטוי שמצאתם?

להציג את התשובה והפתרון

$\alpha=60^\circ$ : $r=k\cdot\frac{1}{2}\cdot\tan 30^\circ=\frac{k}{2\sqrt{3}}=\frac{k\sqrt{3}}{6}$ . זה שליש מהגובה $\frac{k\sqrt{3}}{2}$ , כמו שצריך: במשולש שווה צלעות המרכזים מתלכדים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פירמידה: מקצוע ופאה

פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע שצלעו

a

\alpha

בין המקצוע

TA

לבסיס,

\beta

בין הפאה לבסיס.

M

אמצע

AB

פעילות אינטראקטיבית

בפירמידה ישרה $TABCD$ הבסיס ריבוע שצלעו $a$ , והמקצוע הצדדי יוצר עם הבסיס זווית $\alpha$ . א. הביעו את הגובה. ב. הביעו את $\tan\beta$ , כאשר $\beta$ הזווית בין פאה צדדית לבסיס. ג. מצאו את הנפח ואת $\beta$ כאשר $a=6$ ו- $\alpha=50^\circ$ .

\begin{aligned}AB &= a \\ \quad \angle TAO &= \alpha \\ \quad \angle TMO &= \beta\end{aligned}

לחצו «להתחיל». שני משולשים ישרי זווית חולקים את הגובה $TO$ .

היטל

AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}

חצי אלכסון הריבוע.

א.

TO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan\alpha

$\triangle TOA$ ישר זווית ב- $O$ .

ב.

\begin{aligned}\tan\beta &= \frac{TO}{OM} \\ &= \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan\alpha}{\frac{a}{2}} \\ &= \sqrt{2}\tan\alpha\end{aligned}

$\triangle TOM$ ישר זווית ב- $O$ , ו- $OM=\frac{a}{2}$ . $a$ מצטמצם.

ג. נפח

V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 3\sqrt{2}\tan 50^\circ \approx 60.67

שליש שטח הבסיס כפול הגובה.

ג. β

\tan\beta=\sqrt{2}\tan 50^\circ \ \Rightarrow \ \beta \approx 59.32^\circ

$\beta>\alpha$ : הפאה תלולה מהמקצוע.

הקשר $\tan\beta=\sqrt{2}\tan\alpha$ לא תלוי ב- $a$ . הוא נובע רק מהיחס בין חצי האלכסון לחצי הצלע.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: האם ייתכן שבפירמידה כזו $\alpha=45^\circ$ ו- $\beta=45^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אם $\alpha=45^\circ$ , אז $\tan\beta=\sqrt{2}$ ו- $\beta \approx 54.74^\circ$ . תמיד $\beta>\alpha$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון $AB = AC$ ו- $\angle BAC = 2\alpha$ . ידוע ש- $BC = 1.2\,AB$ . מצאו את זווית הראש $\angle BAC$ , במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 73.74

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 2R\sin 2\alpha \\ \quad AB &= 2R\cos\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים; זוויות הבסיס $90^\circ-\alpha$

4R\sin\alpha\cos\alpha=1.2\cdot 2R\cos\alpha

מציבים ביחס

\sin\alpha=0.6

מחלקים ב- $4R\cos\alpha \neq 0$

\alpha \approx 36.87^\circ \ \Rightarrow \ 2\alpha \approx 73.74^\circ

זווית הראש

שאלו על זווית הראש $2\alpha$ , לא על $\alpha$ . ומחלקים ב- $\cos\alpha$ רק כי $\alpha<90^\circ$ : חצי זווית במשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = 8$ , $AC = 3$ ו- $\angle BAC = 120^\circ$ . $M$ אמצע $BC$ . מצאו את התיכון $AM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

\begin{aligned}BC^2 &= 64+9-2\cdot 8\cdot 3\cos 120^\circ \\ &= 97\end{aligned}

משפט הקוסינוסים; $\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}$

\begin{aligned}AM^2 &= \frac{64+9}{2}-\frac{97}{4} \\ &= \frac{49}{4}\end{aligned}

נוסחת התיכון

AM=3.5

שורש

מי שכתב $\cos 120^\circ=+\frac{1}{2}$ קיבל $BC^2=49$ ו- $AM=\sqrt{24.25}$ . הסימן של הקוסינוס בזווית קהה הוא הטעות הראשונה בשאלות תיכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 12$ וזוויות הבסיס $50^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6

הפתרון:

BD=12\cos 50^\circ

$D$ אמצע הבסיס

\angle IBD=25^\circ

$BI$ חוצה את זווית הבסיס: מרכז המעגל החסום על חוצי הזוויות

\begin{aligned}r &= BD\tan 25^\circ \\ &= 12\cos 50^\circ\tan 25^\circ \approx 3.6\end{aligned}

$\triangle IBD$ ישר זווית ב- $D$

הזווית ב- $B$ של המשולש $IBD$ היא חצי זווית הבסיס. מי שכתב $BD\tan 50^\circ$ קיבל את הגובה $AD$ , לא את $r$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע שצלעו $4$ , המקצוע הצדדי יוצר עם הבסיס זווית של $60^\circ$ . מצאו את נפח הפירמידה (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.13

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= \frac{4\sqrt{2}}{2} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

ההיטל: חצי אלכסון הבסיס

\begin{aligned}h &= 2\sqrt{2}\tan 60^\circ \\ &= 2\sqrt{6}\end{aligned}

$\triangle TOA$ ישר זווית ב- $O$

V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 2\sqrt{6} \approx 26.13

נפח פירמידה

ההיטל של המקצוע הוא חצי אלכסון. עם חצי צלע, $2\tan 60^\circ$ , מקבלים $18.48$ : זה הנפח של פירמידה אחרת, זו שבה הפאה נוטה ב- $60^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ , $AB = AC$ ו- $\angle BAC = 2\alpha$ . הוכיחו או הפריכו: ייתכן ש- $BC = 2.5\,AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BC}{AB} &= \frac{2R\sin 2\alpha}{2R\cos\alpha} \\ &= 2\sin\alpha\end{aligned}

הביטויים מהשאלה הראשונה

\begin{aligned}2\sin\alpha &= 2.5 \ \Rightarrow \ \sin\alpha \\ &= 1.25\end{aligned}

אין זווית כזו

הטענה לא נכונה. היחס $\frac{BC}{AB}=2\sin\alpha$ קטן תמיד מ- $2$ . בכל משולש $BC<AB+AC=2AB$ , ולכן זו גם בדיקה בלי טריגונומטריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — משולש שווה שוקיים חסום במעגל

2 — תיכון, וזווית ישרה שמסתתרת

3 — רדיוס המעגל החסום, בחצי זווית

4 — פירמידה: מקצוע ופאה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev