טריגונומטריה במרחב · טריגונומטריה במישור ובמרחב · כיתה י״א

בפרק הזה אין משפטים של גאומטריה במרחב. כל שאלה על גוף מסתיימת במשולש ישר זווית שמסתתר בתוכו. הגובה מאונך לבסיס, ולכן הוא מאונך לכל קטע בבסיס שיוצא מהרגל שלו. מכאן הזווית הישרה.

פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע.

T

מעל

O

, מרכז הבסיס. המשולש

TOA

ישר זווית ב-

O

: הגובה

TO

, ההיטל

AO

והמקצוע

TA

. הזווית

\alpha

ב-

A

היא הזווית בין המקצוע לבסיס.

בציור, למה המשולש $TOA$ ישר זווית, אף שהזווית ב- $O$ לא נראית ישרה בציור?

להציג את התשובה והפתרון

$TO$ מאונך למישור הבסיס, ולכן לכל ישר במישור שעובר דרך $O$ , ובפרט ל- $OA$ . הציור של גוף מרחבי מעוות זוויות. את הזווית הישרה מסיקים מהנתונים, לא מהעין.

הזווית בין קטע לבסיס

הזווית בין קטע לבסיס היא הזווית בינו לבין ההיטל שלו: הקטע מהקצה התחתון שלו אל הרגל של הגובה. בכל גוף מחפשים את שלושת הקטעים האלה, והם יוצרים משולש ישר זווית.

AG ,\ AC ,\ CG

תיבה: אלכסון התיבה, אלכסון הבסיס והמקצוע האנכי

TA ,\ AO ,\ TO

פירמידה ישרה: מקצוע צדדי, רדיוס המעגל החוסם את הבסיס והגובה

l ,\ r ,\ h

חרוט: יוצר, רדיוס וגובה

d ,\ 2r ,\ h

גליל: אלכסון החתך הצירי, קוטר הבסיס וגובה

R ,\ \rho ,\ d

כדור: רדיוס הכדור, רדיוס החתך והמרחק של המישור מהמרכז

\begin{aligned}h &= l\sin\alpha \qquad \rho \\ &= l\cos\alpha\end{aligned}

$\rho$ הוא ההיטל. בפירמידה שבסיסה מצולע משוכלל, ההיטל של מקצוע צדדי הוא רדיוס המעגל החוסם את הבסיס. אותו $R$ של משפט הסינוסים, רק בתוך הבסיס.

נפח של פירמידה ממקצוע וזווית

בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, המקצוע הצדדי $10$ ויוצר עם הבסיס זווית של $60^\circ$ . מצאו את נפח הפירמידה.

\begin{aligned}TO &= 10\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה, מול הזווית

\begin{aligned}AO &= 10\cos 60^\circ \\ &= 5 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 10\end{aligned}

ההיטל הוא חצי אלכסון הבסיס

\begin{aligned}a &= \frac{AC}{\sqrt{2}} \\ &= 5\sqrt{2} \ \Rightarrow \ a^2 \\ &= 50\end{aligned}

צלע הריבוע מהאלכסון

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 50\cdot 5\sqrt{3} \\ &= \frac{250\sqrt{3}}{3} \approx 144.34\end{aligned}

שליש שטח הבסיס כפול הגובה

תיבה, בפרמטרים

תיבה שבסיסה ריבוע. האלכסון

AG

, ההיטל שלו

AC

והמקצוע

CG

יוצרים משולש ישר זווית ב-

C

פעילות אינטראקטיבית

בתיבה $ABCDEFGH$ הבסיס ריבוע שצלעו $a$ , והאלכסון $AG$ יוצר עם הבסיס זווית $\alpha$ . א. הביעו את $CG$ . ב. הביעו את $AG$ . ג. מצאו את נפח התיבה כאשר $a=4$ ו- $\alpha=40^\circ$ .

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= a \\ \quad \angle GAC &= \alpha\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם ההיטל, אחר כך המשולש.

היטל

AC=a\sqrt{2}

אלכסון הריבוע (פיתגורס בבסיס).

א.

\begin{aligned}CG &= AC\tan\alpha \\ &= a\sqrt{2}\tan\alpha\end{aligned}

$\triangle ACG$ ישר זווית ב- $C$ : מול הזווית חלקי ליד הזווית.

ב.

\begin{aligned}AG &= \frac{AC}{\cos\alpha} \\ &= \frac{a\sqrt{2}}{\cos\alpha}\end{aligned}

ליד הזווית חלקי היתר.

ג.

\begin{aligned}V &= a^2\cdot CG \\ &= 16\cdot 4\sqrt{2}\tan 40^\circ \approx 75.95\end{aligned}

שטח הבסיס כפול הגובה.

אותו מבנה כמו בשאלות המישוריות: ביטוי בפרמטרים, ורק בסוף מספרים. ההבדל היחיד הוא שצריך למצוא את המשולש בתוך הגוף.

לעשות את הפעילות ב-elev

כדור שרדיוסו $10$ נחתך במישור שמרחקו $6$ מהמרכז. מהו רדיוס החתך, ומהי הזווית בין $OA$ למישור החתך ( $A$ על שפת החתך)?

להציג את התשובה והפתרון

$\rho=\sqrt{10^2-6^2}=8$ . הזווית ב- $A$ : $\sin\alpha=\frac{6}{10}$ , ולכן $\alpha \approx 36.87^\circ$ . המשולש $OO'A$ ישר זווית ב- $O'$ , מרכז החתך.

שלוש טעויות של היטל.

\tan\alpha=\frac{CG}{BC}

\tan\alpha=\frac{CG}{AC}

ההיטל של אלכסון התיבה הוא אלכסון הבסיס, לא מקצוע שלו.

AO=\frac{a}{2}

AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}

בפירמידה: המרחק מהמרכז לקודקוד הוא חצי אלכסון. חצי צלע שייך לזווית של הפאה.

r=d\cos\alpha

2r=d\cos\alpha

בגליל: ההיטל של אלכסון החתך הצירי הוא הקוטר.

תרגילים

תרגיל 1

היוצר של חרוט ישר הוא $10$ ס״מ, והוא יוצר עם בסיס החרוט זווית של $50^\circ$ . מצאו את גובה החרוט (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.66

הפתרון:

\triangle TOP: \ \angle O=90^\circ

הגובה $TO$ מאונך לבסיס, ולכן גם לרדיוס $OP$

\begin{aligned}TO &= TP\sin 50^\circ \\ &= 10\sin 50^\circ\end{aligned}

מול הזווית: סינוס

TO \approx 7.66

ס״מ

הגובה עומד מול הזווית שליד הבסיס, ולכן סינוס. מי שקיבל $6.43$ חישב את הרדיוס, $10\cos 50^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בגליל ישר גובה $5$ ס״מ. האלכסון $AB$ של החתך הצירי ארוך $13$ ס״מ. מצאו את הזווית שבין $AB$ לבסיס הגליל, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.62

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{13^2-5^2} \\ &= 12\end{aligned}

החתך הצירי מלבן. $AC$ קוטר הבסיס (פיתגורס)

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{5}{12}\end{aligned}

$\triangle ACB$ ישר זווית ב- $C$

\alpha \approx 22.62^\circ

תשובה

הזווית עם הבסיס נמדדת מול הקוטר $AC$ , ההיטל של $AB$ על הבסיס. מי שהשתמש ברדיוס $6$ קיבל $39.81^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בפירמידה ישרה $TABCD$ הבסיס ריבוע שצלעו $a$ , ו- $O$ מרכז הבסיס. המקצוע הצדדי $TA$ יוצר עם הבסיס זווית $\alpha$ . הביעו את גובה הפירמידה.

$a\tan\alpha$
$\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan\alpha$
$\frac{a}{2}\tan\alpha$
$\frac{a\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan\alpha$

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \\ &= \frac{a\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

ההיטל של $TA$ הוא חצי אלכסון הריבוע

\tan\alpha=\frac{TO}{AO}

$\triangle TOA$ ישר זווית ב- $O$

TO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan\alpha

מבודדים

הנכונה: $\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan\alpha$ . $\frac{a}{2}\tan\alpha$ שייכת לזווית שבין הפאה לבסיס, שם ההיטל הוא חצי צלע. $\sin\alpha$ הייתה נכונה רק אילו $TA$ היה ידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כדור שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ נחתך במישור. $O'$ מרכז החתך העגול, ו- $A$ נקודה על שפת החתך. הקטע $OA$ יוצר עם מישור החתך זווית של $30^\circ$ . מצאו את רדיוס החתך (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.66

הפתרון:

OA=10

$A$ על הכדור, ולכן $OA$ רדיוס הכדור

\triangle OO'A: \ \angle O'=90^\circ

$OO'$ מאונך למישור החתך

\begin{aligned}O'A &= 10\cos 30^\circ \\ &= 5\sqrt{3} \approx 8.66\end{aligned}

ליד הזווית: קוסינוס

רדיוס החתך $O'A$ צמוד לזווית $\alpha$ . מי שכתב $10\sin 30^\circ=5$ חישב את המרחק $OO'$ של המישור מהמרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מידות התיבה $ABCDEFGH$ הן $AB = 3$ , $BC = 4$ ו- $CG = 12$ . מצאו את הזווית שבין האלכסון $AG$ לבסיס $ABCD$ , במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 67.38

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{3^2+4^2} \\ &= 5\end{aligned}

ההיטל של $AG$ על הבסיס הוא אלכסון הבסיס

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{CG}{AC} \\ &= \frac{12}{5}\end{aligned}

$\triangle ACG$ ישר זווית ב- $C$

\alpha \approx 67.38^\circ

תשובה

הזווית נמדדת מול אלכסון הבסיס $AC$ , לא מול מקצוע. מי שחישב $\tan\alpha=\frac{12}{4}$ קיבל $71.57^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

היוצר של חרוט ישר הוא $l$ , והוא יוצר עם הבסיס זווית $\alpha$ . הביעו את נפח החרוט באמצעות $l$ ו- $\alpha$ .

$\pi l^3\cos^2\alpha\sin\alpha$
$\frac{1}{3}\pi l^3\sin^2\alpha\cos\alpha$
$\frac{1}{3}\pi l^2\cos\alpha\sin\alpha$
$\frac{1}{3}\pi l^3\cos^2\alpha\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{3}\pi l^3\cos^2\alpha\sin\alpha$

הפתרון:

\begin{aligned}r &= l\cos\alpha \\ \quad h &= l\sin\alpha\end{aligned}

המשולש $TOP$ : הרדיוס ליד הזווית, הגובה מולה

V=\frac{1}{3}\pi r^2 h

נפח חרוט

V=\frac{1}{3}\pi l^3\cos^2\alpha\sin\alpha

מציבים

הנכונה: $\frac{1}{3}\pi l^3\cos^2\alpha\sin\alpha$ . בגרסה עם $\sin^2\alpha\cos\alpha$ הוחלפו הרדיוס והגובה. ובנפח יש שלושה אורכים, ולכן $l^3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, $\alpha$ היא הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס, ו- $\beta$ הזווית בין פאה צדדית לבסיס. הוכיחו או הפריכו: $\alpha = \beta$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\tan\alpha=\frac{h}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}

ההיטל של המקצוע: חצי אלכסון

\tan\beta=\frac{h}{\frac{a}{2}}

ההיטל של גובה הפאה: חצי צלע

\tan\beta=\sqrt{2}\tan\alpha>\tan\alpha

ולכן $\beta>\alpha$

הטענה לא נכונה. לשתי הזוויות אותו גובה, אבל היטל שונה. חצי האלכסון ארוך מחצי הצלע, ולכן המקצוע שטוח יותר מהפאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בפירמידה משולשת ישרה $TABC$ הבסיס משולש שווה צלעות שצלעו $6$ , והקודקוד $T$ נמצא מעל $O$ , מרכז המעגל החוסם את הבסיס. המקצוע הצדדי $TA = 5$ . מצאו את הזווית שבין $TA$ לבסיס, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 46.15

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= R \\ &= \frac{6}{2\sin 60^\circ} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

משפט הסינוסים בבסיס: $AO$ הוא רדיוס המעגל החוסם

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{AO}{TA} \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{5}\end{aligned}

$\triangle TOA$ ישר זווית ב- $O$

\alpha \approx 46.15^\circ

תשובה

משפט הסינוסים של המישור נכנס כאן לתוך המרחב: ההיטל של המקצוע הוא רדיוס המעגל החוסם את הבסיס. מי שלקח את גובה הבסיס, $3\sqrt{3}$ , קיבל $\cos\alpha>1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

האלכסון של החתך הצירי של גליל ישר ארוך $10$ ס״מ, והוא יוצר עם בסיס הגליל זווית של $60^\circ$ . מצאו את נפח הגליל, בסמ״ק (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 170.04

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 10\cos 60^\circ \\ &= 5 \ \Rightarrow \ r \\ &= 2.5\end{aligned}

ההיטל של האלכסון הוא קוטר הבסיס

\begin{aligned}h &= 10\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה מול הזווית

\begin{aligned}V &= \pi r^2 h \\ &= \pi\cdot 6.25\cdot 5\sqrt{3} \approx 170.04\end{aligned}

נפח גליל

$AC$ הוא הקוטר, והרדיוס חצי ממנו. מי שהציב $r=5$ קיבל נפח גדול פי $4$ , כ- $680.17$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בפירמידה ישרה $TABCD$ הבסיס ריבוע שצלעו $8$ , והמקצוע הצדדי $TA = 9$ . תלמיד חישב את הזווית $\alpha$ שבין $TA$ לבסיס. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}AO &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

\cos\alpha=\frac{AO}{TA}

\alpha=\arccos\frac{AO}{9}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AO=\frac{8}{2}=4$ → $AO=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

$O$ מרכז הריבוע, ו- $A$ קודקוד: חצי אלכסון

\cos\alpha=\frac{4\sqrt{2}}{9} \ \Rightarrow \ \alpha \approx 51.06^\circ

התוצאה הנכונה

חצי צלע, $4$ , הוא המרחק מ- $O$ לאמצע הצלע, לא לקודקוד. עם $4$ מקבלים $63.61^\circ$ : הזווית של גובה הפאה, לא של המקצוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הזווית בין קטע לבסיס

תיבה, בפרמטרים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev