זהויות בתוך הגאומטריה · טריגונומטריה במישור ובמרחב · כיתה י״א

במשולש עם פרמטר מופיעות זוויות כמו $2\alpha$ , $180^\circ-2\alpha$ או $180^\circ-3\alpha$ . הזהויות של פרק הזהויות הטריגונומטריות הופכות אותן לביטויים קצרים. בלעדיהן, התשובה נכונה אבל לא ניתן לפתור את המשוואה שבסוף.

משולש שווה שוקיים:

AB=AC=k

, זוויות הבסיס

\alpha

. הגובה

AD

מחלק אותו לשני משולשים ישרי זווית. לכן שתי דרכים מובילות לבסיס: הגובה, ומשפט הקוסינוסים עם זווית הראש.

בציור, מהו $\sin\angle A$ , כביטוי ב- $\alpha$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle A=180^\circ-2\alpha$ , ו- $\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ . זה ה- $\sin$ שנכנס לנוסחת השטח.

הבסיס — בשתי דרכים

\begin{aligned}BD &= k\cos\alpha \ \Rightarrow \ BC \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

דרך הגובה: $\triangle ABD$ ישר זווית ב- $D$

\begin{aligned}BC^2 &= 2k^2-2k^2\cos(180^\circ-2\alpha) \\ &= 2k^2(1+\cos 2\alpha)\end{aligned}

דרך משפט הקוסינוסים

\begin{aligned}1+\cos 2\alpha &= 2\cos^2\alpha \ \Rightarrow \ BC \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

הזהות סוגרת את המעגל: אותה תשובה

ארבע זהויות שחוזרות בשאלה 5

\begin{aligned}\sin(180^\circ-x) &= \sin x \qquad \cos(180^\circ-x) \\ &= -\cos x\end{aligned}

\begin{aligned}\sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \qquad 1-\cos\alpha \\ &= 2\sin^2\frac{\alpha}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}\sin\gamma &= \sin(\alpha+\beta) \\ &= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}

הזהות האחרונה היא הדרך הקצרה לזווית השלישית: $\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$ , ולכן $\sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)$ . לא צריך את $\gamma$ עצמה, רק את הסינוס שלה.

שטח של משולש שווה שוקיים, בשתי דרכים

במשולש $ABC$ נתון $AB=AC=k$ וזוויות הבסיס $\alpha$ . הביעו את השטח.

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}k^2\sin(180^\circ-2\alpha) \\ &= \frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha\end{aligned}

שתי השוקיים והזווית שביניהן

S=k^2\sin\alpha\cos\alpha

זווית כפולה

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 2k\cos\alpha\cdot k\sin\alpha \\ &= k^2\sin\alpha\cos\alpha\end{aligned}

בדיקה: בסיס כפול גובה חלקי $2$ ✓

זווית כפולה בתוך משולש

פעילות אינטראקטיבית

במשולש $ABC$ נתון $\angle B=\alpha$ , $\angle C=2\alpha$ ו- $AC=b$ . א. הביעו את $AB$ . ב. הביעו את $BC$ . ג. מצאו את $AB$ ואת $BC$ כאשר $b=5$ ו- $\alpha=30^\circ$ .

\begin{aligned}\angle B &= \alpha \\ \quad \angle C &= 2\alpha \\ \quad AC &= b\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל צלע מול הזווית שלה, ואחר כך זהות מקצרת.

א.

\begin{aligned}AB &= \frac{b\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2b\cos\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים: $AB$ מול $2\alpha$ . זווית כפולה, וצמצום.

זווית

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ-3\alpha \ \Rightarrow \ \sin\angle A \\ &= \sin 3\alpha\end{aligned}

זוויות משלימות.

סכום

\sin 3\alpha=\sin 2\alpha\cos\alpha+\cos 2\alpha\sin\alpha

$3\alpha=2\alpha+\alpha$ , סינוס של סכום.

ב.

\begin{aligned}BC &= \frac{b\sin 3\alpha}{\sin\alpha} \\ &= b(2\cos^2\alpha+\cos 2\alpha) \\ &= b(4\cos^2\alpha-1)\end{aligned}

מחלקים ב- $\sin\alpha$ , ו- $\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ .

ג.

\begin{aligned}AB &= 10\cos 30^\circ \\ &= 5\sqrt{3} \approx 8.66 \\ \quad BC &= 5(4\cdot\tfrac{3}{4}-1) \\ &= 10\end{aligned}

בדיקה: ב- $\alpha=30^\circ$ הזווית $A$ ישרה, ו- $BC$ הוא היתר. $AC=5$ הוא חצי היתר, מול $30^\circ$ ✓

הביטוי $b(4\cos^2\alpha-1)$ חיובי רק כש- $\cos\alpha>\frac{1}{2}$ , כלומר $\alpha<60^\circ$ . זה בדיוק התנאי שהמשולש קיים: $3\alpha<180^\circ$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

לאילו ערכים של $\alpha$ קיים משולש כזה? ומה קורה ל- $BC$ כש- $\alpha$ מתקרבת ל- $60^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

צריך $3\alpha<180^\circ$ , כלומר $0^\circ<\alpha<60^\circ$ . כש- $\alpha$ מתקרבת ל- $60^\circ$ , $4\cos^2\alpha-1$ מתקרב ל- $0$ : הזווית $A$ נסגרת, והצלע שמולה מתכווצת.

שלוש זהויות שנשברות.

\sin 2\alpha=2\sin\alpha

\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

בדיקה ב- $\alpha=60^\circ$ : $\sin 120^\circ \approx 0.87$ , ו- $2\sin 60^\circ \approx 1.73$ .

\cos(180^\circ-2\alpha)=\cos 2\alpha

\cos(180^\circ-2\alpha)=-\cos 2\alpha

הקוסינוס משנה סימן. בלי זה, בסיס המשולש שווה השוקיים יוצא $2k\sin\alpha$ .

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta

\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

בדיקה: $\sin(30^\circ+60^\circ)=1$ , והטעות נותנת $1.37$ .

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ וזוויות הבסיס $\angle B = \angle C = \alpha$ . הביעו את הבסיס $BC$ באמצעות $k$ ו- $\alpha$ .

$2k\cos\alpha$
$k\cos 2\alpha$
$k\cos\alpha$
$2k\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2k\cos\alpha$

הפתרון:

BD=k\cos\alpha

הגובה $AD$ חוצה את הבסיס. ב- $\triangle ABD$ ישר הזווית: ליד הזווית, קוסינוס

\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

הבסיס כפול

הנכונה: $2k\cos\alpha$ . בדרך השנייה, במשפט הקוסינוסים עם זווית הראש $180^\circ-2\alpha$ , מקבלים $BC^2=2k^2(1+\cos 2\alpha)=4k^2\cos^2\alpha$ . אותה תשובה. מי שבחר $k\cos\alpha$ שכח שזה רק חצי הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותו משולש ( $AB = AC = k$ , זוויות הבסיס $\alpha$ ), מהו שטח המשולש?

$\frac{1}{2}k^2\cos 2\alpha$
$k^2\sin\alpha\cos\alpha$
$k^2\sin 2\alpha$
$\frac{1}{2}k^2\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $k^2\sin\alpha\cos\alpha$

הפתרון:

\angle A=180^\circ-2\alpha

זווית הראש

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}k^2\sin(180^\circ-2\alpha) \\ &= \frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha\end{aligned}

נוסחת השטח, וזוויות משלימות

S=k^2\sin\alpha\cos\alpha

סינוס של זווית כפולה

הנכונה: $k^2\sin\alpha\cos\alpha$ . $\frac{1}{2}k^2\sin\alpha$ לוקחת את זווית הבסיס, שאינה בין שתי השוקיים. בדיקה: בסיס $2k\cos\alpha$ כפול גובה $k\sin\alpha$ חלקי $2$ נותן אותו ביטוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 8$ וזוויות הבסיס $75^\circ$ . מצאו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}S &= k^2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= \frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha\end{aligned}

הביטוי מהשאלה הקודמת

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 64\cdot\sin 150^\circ \\ &= 32\cdot\frac{1}{2} \\ &= 16\end{aligned}

$2\alpha=150^\circ$

הזהות של הזווית הכפולה הופכת את $\sin 75^\circ\cos 75^\circ$ לחצי $\sin 150^\circ$ , מספר מדויק. מי שחישב $\frac{1}{2}\cdot 64\sin 75^\circ \approx 30.9$ לקח את זווית הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $\angle B = \alpha$ , $\angle C = 2\alpha$ ו- $AC = b$ . הביעו את $AB$ באמצעות $b$ ו- $\alpha$ .

$b\cos\alpha$
$2b\sin\alpha$
$2b\cos\alpha$
$\frac{b}{2\cos\alpha}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2b\cos\alpha$

הפתרון:

\frac{AB}{\sin 2\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים: $AB$ מול $\angle C$ , $AC$ מול $\angle B$

\begin{aligned}AB &= \frac{b\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2b\cos\alpha\end{aligned}

זווית כפולה, וצמצום

הנכונה: $2b\cos\alpha$ . $\frac{b}{2\cos\alpha}$ הפכה את היחס: הצלע הארוכה $AB$ עומדת מול הזווית הגדולה $2\alpha$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותו משולש ( $\angle B = \alpha$ , $\angle C = 2\alpha$ ) נתון $AB = 1.9\,AC$ . מצאו את $\angle A$ במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125.42

הפתרון:

\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.9 \ \Rightarrow \ \cos\alpha \\ &= 0.95\end{aligned}

היחס מהשאלה הקודמת

\alpha \approx 18.19^\circ

פותרים

\angle A=180^\circ-3\alpha \approx 125.42^\circ

סכום הזוויות

שאלו את $\angle A$ , לא את $\alpha$ . מי שעצר ב- $\alpha$ ענה על שאלה אחרת. וחשוב לחשב את $\angle A$ מ- $\alpha$ המלא, לא המעוגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ נתון $\angle C = 2\angle B$ . הוכיחו או הפריכו: ייתכן ש- $AB = 2.2\,AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{\sin 2\beta}{\sin\beta} \\ &= 2\cos\beta\end{aligned}

משפט הסינוסים וזווית כפולה

2\cos\beta \leq 2<2.2

קוסינוס לא עולה על $1$

הטענה לא נכונה. היחס תמיד קטן מ- $2$ . «האם ייתכן» בבגרות נבדק בדיוק כך: כותבים את הנתון כמשוואה ובודקים אם יש לה פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 5$ ו- $\angle BAC = 100^\circ$ . מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.66

הפתרון:

\begin{aligned}BC^2 &= 2\cdot 25-2\cdot 25\cos 100^\circ \\ &= 50(1-\cos 100^\circ)\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

1-\cos 100^\circ=2\sin^2 50^\circ

זהות: $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$

BC=10\sin 50^\circ \approx 7.66

שורש

הכלל הכללי: בסיס של משולש שווה שוקיים עם שוק $k$ וזווית ראש $\alpha$ הוא $2k\sin\frac{\alpha}{2}$ . מי שקיבל $6.43$ השתמש ב- $\cos 100^\circ$ חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $10$ . הזוויות $\angle A = \alpha$ ו- $\angle B = \beta$ חדות, ונתון $\cos\alpha = 0.8$ ו- $\cos\beta = \frac{5}{13}$ . מצאו את $AB$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.38

הפתרון:

\begin{aligned}\sin\alpha &= 0.6 \\ \quad \sin\beta &= \frac{12}{13}\end{aligned}

$\sin^2+\cos^2=1$ , והזוויות חדות

\begin{aligned}\sin\angle C &= \sin(\alpha+\beta) \\ &= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{aligned}

$\angle C=180^\circ-(\alpha+\beta)$

\begin{aligned}\sin\angle C &= 0.6\cdot\frac{5}{13}+0.8\cdot\frac{12}{13} \\ &= \frac{12.6}{13}\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}AB &= 2R\sin\angle C \\ &= \frac{252}{13} \approx 19.38\end{aligned}

משפט הסינוסים: $AB$ מול $\angle C$

אין צורך למצוא את הזוויות עצמן: נוסחת הסינוס של סכום נותנת את $\sin C$ ישר מהנתונים. מי שכתב $\sin C=\sin\alpha+\sin\beta$ קיבל מספר גדול מ- $1$ , וזה סימן שמשהו שבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נתון $\angle A = 30^\circ$ , $\angle B = 45^\circ$ ו- $BC = 4$ . תלמיד חישב את $AB$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\angle C=105^\circ

\sin 105^\circ=\sin 60^\circ+\sin 45^\circ

\begin{aligned}AB &= \frac{BC\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} \\ &= 8\sin 105^\circ\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\sin 105^\circ=\sin 60^\circ+\sin 45^\circ$ → $\sin 105^\circ=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\cos 60^\circ\sin 45^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\sin 105^\circ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{aligned}

סינוס של סכום

AB=2(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \approx 7.73

התוצאה הנכונה

הסינוס של סכום אינו סכום הסינוסים. השורה השגויה נותנת $\sin 105^\circ \approx 1.57>1$ , וזה בלתי אפשרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל ביטוי ביטוי שווה לו.

$\sin(180^\circ-2\alpha)$
$\cos(180^\circ-2\alpha)$
$1-\cos\alpha$
$\sin(90^\circ-\alpha)$

$-\cos 2\alpha$
$\cos\alpha$
$2\sin\alpha\cos\alpha$
$2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\sin(180^\circ-2\alpha)$ — $2\sin\alpha\cos\alpha$ · $\cos(180^\circ-2\alpha)$ — $-\cos 2\alpha$ · $1-\cos\alpha$ — $2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ · $\sin(90^\circ-\alpha)$ — $\cos\alpha$

הפתרון:

\begin{aligned}\sin(180^\circ-x) &= \sin x \\ \quad \cos(180^\circ-x) &= -\cos x\end{aligned}

זוויות משלימות

\cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}

קוסינוס של זווית כפולה, עם $\frac{\alpha}{2}$

ארבע הזהויות שחוזרות בשאלה 5. הראשונה נותנת את שטח המשולש שווה השוקיים, והשלישית את הבסיס שלו: $BC^2=2k^2(1-\cos\alpha)=4k^2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הבסיס — בשתי דרכים

ארבע זהויות שחוזרות בשאלה 5

זווית כפולה בתוך משולש

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev