סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות מכל הפרק: משפט הסינוסים עם 2R2R, משפט הקוסינוסים, שטח, רדיוס המעגל החסום, וגוף אחד או שניים. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל חישוב שאלו: הצלע מול איזו זווית? ובגוף: מה ההיטל, ואיפה הזווית הישרה?

תרגילים

תרגיל 1

R30°ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 88, ו-∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. מצאו את BCBC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

BC=2Rsin⁡∠ABC=2R\sin\angle A

משפט הסינוסים: BCBC מול ∠A\angle A

BC=16⋅12=8\begin{aligned}BC &= 16\cdot\frac{1}{2} \\ &= 8\end{aligned}

מציבים

זווית היקפית של 30∘30^\circ נותנת מיתר שווה לרדיוס. מי שקיבל 44 השתמש ב-RR במקום 2R2R.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

60°ABC

במשולש ABCABC נתון AB=6AB = 6, AC=10AC = 10 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.72

הפתרון:

BC2=36+100−2⋅6⋅10⋅12=76\begin{aligned}BC^2 &= 36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot\frac{1}{2} \\ &= 76\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

BC=76≈8.72BC=\sqrt{76} \approx 8.72

שורש

שתי צלעות והזווית שביניהן: משפט הקוסינוסים. מי שקיבל 136\sqrt{136} שכח את האיבר −2bccos⁡α-2bc\cos\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

αABC

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. מהו שטח המשולש?

  1. 12k2cos⁡α\frac{1}{2}k^2\cos\alpha
  2. k2sin⁡αk^2\sin\alpha
  3. 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha
  4. 12ksin⁡α\frac{1}{2}k\sin\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha

הפתרון:

S=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠AS=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle A

שתי צלעות והזווית שביניהן

הנכונה: 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha. 12ksin⁡α\frac{1}{2}k\sin\alpha שוכחת שיש שתי צלעות באורך kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

45°60°ABC

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, ∠A=45∘\angle A = 45^\circ ו-∠B=60∘\angle B = 60^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.7

הפתרון:

ACsin⁡60∘=12sin⁡45∘\frac{AC}{\sin 60^\circ}=\frac{12}{\sin 45^\circ}

משפט הסינוסים: ACAC מול ∠B\angle B, BCBC מול ∠A\angle A

AC=12sin⁡60∘sin⁡45∘=66≈14.7\begin{aligned}AC &= \frac{12\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 6\sqrt{6} \approx 14.7\end{aligned}

מבודדים

כל צלע עם הזווית שמולה. מי שהפך את הזוויות קיבל 9.809.80.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לכל זווית α\alpha בין 0∘0^\circ ל-90∘90^\circ מתקיים sin⁡(180∘−2α)=sin⁡2α\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ-x)=\sin x

זוויות משלימות: אותו סינוס

x=2αx=2\alpha

מציבים

הטענה נכונה. לכן במשולש שווה שוקיים עם זוויות בסיס α\alpha, הסינוס של זווית הראש הוא sin⁡2α\sin 2\alpha. לקוסינוס זה לא נכון: cos⁡(180∘−2α)=−cos⁡2α\cos(180^\circ-2\alpha)=-\cos 2\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

αTOP

היוצר של חרוט ישר הוא 88 ס״מ, והוא יוצר עם הבסיס זווית של 60∘60^\circ. מצאו את רדיוס בסיס החרוט.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

OP=TPcos⁡60∘OP=TP\cos 60^\circ

△TOP\triangle TOP ישר זווית ב-OO; הרדיוס ליד הזווית

OP=8⋅12=4\begin{aligned}OP &= 8\cdot\frac{1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

הרדיוס צמוד לזווית, ולכן קוסינוס. 8sin⁡60∘≈6.938\sin 60^\circ \approx 6.93 הוא הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

αABCDEFGH

מידות התיבה ABCDEFGHABCDEFGH הן AB=2AB = 2, BC=3BC = 3 ו-CG=6CG = 6. אורך האלכסון AGAG הוא 77. מצאו את הזווית שבין AGAG לבסיס ABCDABCD, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 59

הפתרון:

△ACG: ∠C=90∘\triangle ACG: \ \angle C=90^\circ

CGCG מאונך לבסיס, ו-ACAC ההיטל של AGAG

sin⁡α=CGAG=67\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{CG}{AG} \\ &= \frac{6}{7}\end{aligned}

מול הזווית חלקי היתר

α≈59.0∘\alpha \approx 59.0^\circ

תשובה

כשהיתר ידוע, סינוס הוא הדרך הקצרה. אפשר גם tan⁡α=613\tan\alpha=\frac{6}{\sqrt{13}} ולקבל אותה זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCI

אורכי הצלעות של משולש ABCABC הם 66, 88 ו-1010. מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

62+82=1026^2+8^2=10^2

משולש ישר זווית

S=6⋅82=24p=6+8+102=12\begin{aligned}S &= \frac{6\cdot 8}{2} \\ &= 24 \\ \quad p &= \frac{6+8+10}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח וחצי היקף

r=Sp=2\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= 2\end{aligned}

תשובה

S=r⋅pS=r\cdot p עם חצי היקף. חילוק בהיקף כולו נותן 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k וזוויות הבסיס α\alpha. ADAD הגובה לבסיס. הביעו את ADAD.

  1. ktan⁡αk\tan\alpha
  2. kcos⁡αk\cos\alpha
  3. 2ksin⁡α2k\sin\alpha
  4. ksin⁡αk\sin\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ksin⁡αk\sin\alpha

הפתרון:

△ABD: ∠D=90∘\triangle ABD: \ \angle D=90^\circ

הגובה יוצר משולש ישר זווית

AD=ABsin⁡∠B=ksin⁡α\begin{aligned}AD &= AB\sin\angle B \\ &= k\sin\alpha\end{aligned}

מול הזווית: סינוס

הנכונה: ksin⁡αk\sin\alpha. kcos⁡αk\cos\alpha הוא BDBD, חצי הבסיס. ktan⁡αk\tan\alpha היה נכון אילו BDBD היה kk.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל סוג נתונים את הכלי המתאים.

  • צלע, הזווית שמולה, והרדיוס RR
  • שתי צלעות והזווית שביניהן, והצלע השלישית
  • שתי צלעות והזווית שביניהן, והשטח
  • השטח וחצי ההיקף
  • 12bcsin⁡α\frac{1}{2}bc\sin\alpha
  • r=Spr=\frac{S}{p}
  • משפט הסינוסים
  • משפט הקוסינוסים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: צלע, הזווית שמולה, והרדיוס RR — משפט הסינוסים · שתי צלעות והזווית שביניהן, והצלע השלישית — משפט הקוסינוסים · שתי צלעות והזווית שביניהן, והשטח — 12bcsin⁡α\frac{1}{2}bc\sin\alpha · השטח וחצי ההיקף — r=Spr=\frac{S}{p}

הפתרון:

asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha}=2R

צלע וזווית שמולה

a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha

הזווית בין שתי הצלעות

המילה שבוחרת את הכלי היא «שמולה» או «שביניהן». ברדיוס המעגל החוסם משתמשים במשפט הסינוסים, וברדיוס המעגל החסום בשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת