סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות: מרובע חסום, זווית שלישית דרך sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta), חוצה זווית, ביטויים בפרמטרים, כדור ופירמידה. כל שאלה מחברת שני כלים.

בכל שאלה כתבו קודם איזה משולש ואיזה משפט. בשאלה עם פרמטרים, בדקו את הביטוי שקיבלתם בערך נוח, כמו α=90∘\alpha=90^\circ.

תרגילים

תרגיל 1

110°ABCDO

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שרדיוסו 55, ו-∠ABC=110∘\angle ABC = 110^\circ. מצאו את האלכסון ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.4

הפתרון:

RABC=R=5\begin{aligned}R_{ABC} &= R \\ &= 5\end{aligned}

המשולש ABCABC חסום באותו מעגל, ולכן יורש את RR

AC=2Rsin⁡110∘=10sin⁡110∘≈9.4\begin{aligned}AC &= 2R\sin 110^\circ \\ &= 10\sin 110^\circ \approx 9.4\end{aligned}

משפט הסינוסים

sin⁡110∘=sin⁡70∘\sin 110^\circ=\sin 70^\circ, ולכן אפשר גם דרך ∠ADC=70∘\angle ADC=70^\circ: אותו אלכסון משני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

40°80°ABC

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=80∘\angle B = 80^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.37

הפתרון:

∠C=60∘\angle C=60^\circ

סכום הזוויות

ACsin⁡80∘=10sin⁡60∘\frac{AC}{\sin 80^\circ}=\frac{10}{\sin 60^\circ}

משפט הסינוסים: ABAB מול ∠C\angle C

AC≈11.37AC \approx 11.37

מבודדים

הצלע הנתונה ABAB עומדת מול הזווית השלישית, שצריך לחשב קודם. מי שחילק ב-sin⁡40∘\sin 40^\circ קיבל 15.3215.32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

αk2kABC

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, AC=2kAC = 2k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. הביעו את BCBC.

  1. k3−4cos⁡αk\sqrt{3-4\cos\alpha}
  2. k5−2cos⁡αk\sqrt{5-2\cos\alpha}
  3. k5−4cos⁡αk\sqrt{5-4\cos\alpha}
  4. k5+4cos⁡αk\sqrt{5+4\cos\alpha}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג k5−4cos⁡αk\sqrt{5-4\cos\alpha}

הפתרון:

BC2=k2+4k2−2⋅k⋅2kcos⁡αBC^2=k^2+4k^2-2\cdot k\cdot 2k\cos\alpha

משפט הקוסינוסים

BC2=k2(5−4cos⁡α)BC^2=k^2(5-4\cos\alpha)

מוציאים k2k^2

הנכונה: k5−4cos⁡αk\sqrt{5-4\cos\alpha}. המקדם של cos⁡α\cos\alpha הוא 2⋅1⋅2=42\cdot 1\cdot 2=4. בדיקה: ב-α=90∘\alpha=90^\circ מקבלים k5k\sqrt{5}, כמו בפיתגורס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

60°ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=15AC = 15 ו-∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. ADAD חוצה את הזווית AA (DD על BCBC). מצאו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.39

הפתרון:

12⋅10⋅15sin⁡60∘=12⋅10⋅ADsin⁡30∘+12⋅15⋅ADsin⁡30∘\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 15\sin 60^\circ=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot AD\sin 30^\circ+\frac{1}{2}\cdot 15\cdot AD\sin 30^\circ

סכום השטחים

75sin⁡60∘=12⋅25⋅AD⋅12=6.25 AD\begin{aligned}75\sin 60^\circ &= \frac{1}{2}\cdot 25\cdot AD\cdot\frac{1}{2} \\ &= 6.25\,AD\end{aligned}

מכנסים; sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}

AD=75sin⁡60∘6.25=63≈10.39\begin{aligned}AD &= \frac{75\sin 60^\circ}{6.25} \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

מבודדים

הזוויות בשני המשולשים הקטנים הן 30∘30^\circ, חצי מ-60∘60^\circ. מי ששם sin⁡60∘\sin 60^\circ גם בהם קיבל AD=6AD=6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

αOO'A

כדור שמרכזו OO ורדיוסו 1010 נחתך במישור, ושטח החתך העגול הוא 36π36\pi. AA נקודה על שפת החתך, ו-O′O' מרכז החתך. מצאו את הזווית שבין OAOA למישור החתך, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.13

הפתרון:

πρ2=36π ⇒ ρ=O′A=6\begin{aligned}\pi\rho^2 &= 36\pi \ \Rightarrow \ \rho \\ &= O'A \\ &= 6\end{aligned}

רדיוס החתך

cos⁡α=O′AOA=610\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{O'A}{OA} \\ &= \frac{6}{10}\end{aligned}

△OO′A\triangle OO'A ישר זווית ב-O′O'

α≈53.13∘\alpha \approx 53.13^\circ

תשובה

הזווית היא בין OAOA למישור, והיא יושבת ב-AA. מי שחישב את הזווית ב-OO קיבל 36.87∘36.87^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

αABCOT

בפירמידה משולשת ישרה TABCTABC הבסיס משולש שווה צלעות שצלעו 66, והגובה TO=4TO = 4 (OO מרכז המעגל החוסם את הבסיס). מצאו את הזווית שבין המקצוע TATA לבסיס, במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49.11

הפתרון:

AO=62sin⁡60∘=23\begin{aligned}AO &= \frac{6}{2\sin 60^\circ} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

משפט הסינוסים בבסיס

tan⁡α=TOAO=423\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{TO}{AO} \\ &= \frac{4}{2\sqrt{3}}\end{aligned}

△TOA\triangle TOA ישר זווית ב-OO

α≈49.11∘\alpha \approx 49.11^\circ

תשובה

ההיטל AOAO הוא רדיוס המעגל החוסם, לא הגובה של הבסיס ולא חצי צלע. עם AO=3AO=3 מקבלים 53.13∘53.13^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

β2βABC

במשולש ABCABC נתון ∠C=2∠B\angle C = 2\angle B. הוכיחו או הפריכו: AB=2 ACcos⁡∠BAB = 2\,AC\cos\angle B.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

ABsin⁡2β=ACsin⁡β\frac{AB}{\sin 2\beta}=\frac{AC}{\sin\beta}

משפט הסינוסים: ABAB מול ∠C\angle C, ACAC מול ∠B\angle B

AB=AC⋅2sin⁡βcos⁡βsin⁡β=2 ACcos⁡β\begin{aligned}AB &= \frac{AC\cdot 2\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta} \\ &= 2\,AC\cos\beta\end{aligned}

זווית כפולה

הטענה נכונה. זה הקשר שכל שאלה עם «זווית כפולה» בנויה עליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 66. הזוויות ∠A\angle A ו-∠B\angle B חדות, cos⁡∠A=0.8\cos\angle A = 0.8 ו-cos⁡∠B=0.28\cos\angle B = 0.28. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.23

הפתרון:

sin⁡A=0.6sin⁡B=0.96\begin{aligned}\sin A &= 0.6 \\ \quad \sin B &= 0.96\end{aligned}

sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1

sin⁡C=sin⁡(A+B)=0.6⋅0.28+0.8⋅0.96=0.936\begin{aligned}\sin C &= \sin(A+B) \\ &= 0.6\cdot 0.28+0.8\cdot 0.96 \\ &= 0.936\end{aligned}

סינוס של סכום

AB=2Rsin⁡C=12⋅0.936≈11.23\begin{aligned}AB &= 2R\sin C \\ &= 12\cdot 0.936 \approx 11.23\end{aligned}

משפט הסינוסים

ABAB עומדת מול ∠C\angle C, הזווית שלא נתונה. הזהות נותנת את הסינוס שלה בלי לחשב אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

αACB

האלכסון של החתך הצירי של גליל ישר הוא dd, והוא יוצר עם הבסיס זווית α\alpha. תלמיד הביע את נפח הגליל. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

h=dsin⁡αh=d\sin\alpha
r=dcos⁡αr=d\cos\alpha
V=πr2hV=\pi r^2 h
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: r=dcos⁡αr=d\cos\alpha → r=dcos⁡α2r=\frac{d\cos\alpha}{2}

הפתרון:

AC=dcos⁡αAC=d\cos\alpha

ההיטל של האלכסון הוא קוטר הבסיס

V=π4d3cos⁡2αsin⁡αV=\frac{\pi}{4}d^3\cos^2\alpha\sin\alpha

התוצאה הנכונה

ההיטל של אלכסון החתך הצירי עובר מקצה לקצה של הבסיס: זה קוטר. בלי החצי, הנפח גדל פי 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

45°60°ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 55. זוויות המשולש הן 45∘45^\circ, 60∘60^\circ ו-75∘75^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29.58

הפתרון:

a=2Rsin⁡A b=2Rsin⁡B\begin{aligned}a &= 2R\sin A \\ \ b &= 2R\sin B\end{aligned}

משפט הסינוסים

S=12absin⁡C=2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}ab\sin C \\ &= 2R^2\sin A\sin B\sin C\end{aligned}

נוסחת השטח

S=50sin⁡45∘sin⁡60∘sin⁡75∘≈29.58S=50\sin 45^\circ\sin 60^\circ\sin 75^\circ \approx 29.58

מציבים

הביטוי 2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C2R^2\sin A\sin B\sin C סימטרי: לא משנה איזו זווית נקראת AA. מי שקיבל כפליים שכח את ה-12\frac{1}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת