סדרה 3 — לקראת הבגרות · טריגונומטריה במישור ובמרחב · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלה 5 של הבגרות, כל אחת מפורקת לסעיפים: משולש חסום עם זווית כפולה, טרפז חסום, גליל, ותיכון במשולש שווה שוקיים. כל סעיף הוא תרגיל, והפתיח חוזר בכל סעיף.

סעיף א כמעט תמיד «הביעו באמצעות». סעיף ב או ג משתמש בביטוי מסעיף א כדי לבנות משוואה ב- $\alpha$ . אם לא הצלחתם בסעיף א, אל תוותרו על ב: הביטוי מופיע בפתרון.

תרגילים

תרגיל 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון $\angle ABC = \alpha$ ו- $\angle ACB = 2\alpha$ . (א) הביעו את $AB$ ואת $AC$ באמצעות $R$ ו- $\alpha$ .

$AB=R\sin 2\alpha$ , $AC=R\sin\alpha$
$AB=2R\sin\alpha$ , $AC=2R\sin 2\alpha$
$AB=2R\cos\alpha$ , $AC=2R\sin\alpha$
$AB=2R\sin 2\alpha$ , $AC=2R\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $AB=2R\sin 2\alpha$ , $AC=2R\sin\alpha$

הפתרון:

AB \leftrightarrow \angle C=2\alpha

$AB$ עומדת מול הקודקוד $C$

\begin{aligned}AB &= 2R\sin 2\alpha \\ \quad AC &= 2R\sin\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים

הנכונה: $AB=2R\sin 2\alpha$ , $AC=2R\sin\alpha$ . האפשרות ההפוכה מצמידה לכל צלע את הזווית שבקצה שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון $\angle ABC = \alpha$ ו- $\angle ACB = 2\alpha$ . (ב) הביעו את שטח המשולש באמצעות $R$ ו- $\alpha$ .

$2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha$
$2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha$
$R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha$
$2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\cos 3\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha$

הפתרון:

\angle A=180^\circ-3\alpha

סכום הזוויות

S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle A

$AB$ ו- $AC$ נפגשות ב- $A$

S=\frac{1}{2}\cdot 2R\sin 2\alpha\cdot 2R\sin\alpha\cdot\sin 3\alpha

$\sin(180^\circ-3\alpha)=\sin 3\alpha$

הנכונה: $2R^2\sin\alpha\sin 2\alpha\sin 3\alpha$ . עם $\cos 3\alpha$ הוחלף הסינוס של הזווית המשלימה בקוסינוס שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון $\angle ABC = \alpha$ ו- $\angle ACB = 2\alpha$ . (ג) נתון $AB = 1.6\,AC$ . מצאו את $\angle BAC$ , במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 69.39

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

מסעיף א, וזווית כפולה

\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.6 \ \Rightarrow \ \cos\alpha \\ &= 0.8 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 36.87^\circ\end{aligned}

פותרים

\angle BAC=180^\circ-3\alpha \approx 69.39^\circ

סכום הזוויות

שאלו על $\angle BAC$ , לא על $\alpha$ . ובדיקה: $3\alpha \approx 110.6^\circ<180^\circ$ , ולכן המשולש קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) נתון $AD = DC = CB = k$ ו- $\angle DAB = \alpha$ . (א) הביעו את האלכסון $AC$ באמצעות $k$ ו- $\alpha$ .

$k(1+2\cos\alpha)$
$2k\cos\alpha$
$2k\cos\frac{\alpha}{2}$
$2k\sin\frac{\alpha}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2k\cos\frac{\alpha}{2}$

הפתרון:

\angle ADC=180^\circ-\alpha

זוויות חד-צדדיות בין מקבילים

\begin{aligned}AC^2 &= 2k^2-2k^2\cos(180^\circ-\alpha) \\ &= 2k^2(1+\cos\alpha)\end{aligned}

משפט הקוסינוסים ב- $\triangle ADC$

\begin{aligned}1+\cos\alpha &= 2\cos^2\frac{\alpha}{2} \ \Rightarrow \ AC \\ &= 2k\cos\frac{\alpha}{2}\end{aligned}

זהות של חצי זווית

הנכונה: $2k\cos\frac{\alpha}{2}$ . $k(1+2\cos\alpha)$ הוא אורך הבסיס $AB$ , לא האלכסון. ו- $2k\sin\frac{\alpha}{2}$ נובע מ- $\cos(180^\circ-\alpha)=+\cos\alpha$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) נתון $AD = DC = CB = k$ ו- $\angle DAB = \alpha$ . (ב) הטרפז חסום במעגל. הביעו את רדיוס המעגל באמצעות $k$ ו- $\alpha$ .

$\frac{k}{2\sin\alpha}$
$2k\sin\frac{\alpha}{2}$
$\frac{k}{\sin\frac{\alpha}{2}}$
$\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle DAC &= \angle DCA \\ &= \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

$\triangle ADC$ שווה שוקיים עם זווית ראש $180^\circ-\alpha$

\frac{DC}{\sin\angle DAC}=2R

משפט הסינוסים ב- $\triangle ADC$ , החסום באותו מעגל

R=\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}

מבודדים

הנכונה: $\frac{k}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$ . בחרנו משולש שבו צלע ידועה ( $DC=k$ ) עומדת מול זווית ידועה. $\frac{k}{2\sin\alpha}$ לוקחת את $\angle DAB$ , שאינה מול $DC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) נתון $AD = DC = CB = k$ ו- $\angle DAB = \alpha$ . (ג) נתון $AC = 1.8k$ . מצאו את $\alpha$ , במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 51.68

הפתרון:

2k\cos\frac{\alpha}{2}=1.8k

מסעיף א

\cos\frac{\alpha}{2}=0.9 \ \Rightarrow \ \frac{\alpha}{2} \approx 25.84^\circ

פותרים

\alpha \approx 51.68^\circ

כופלים ב- $2$

הפתרון הוא $\frac{\alpha}{2}$ , ולא $\alpha$ . מי שעצר ב- $25.84^\circ$ שכח להכפיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בגליל ישר רדיוס הבסיס $r$ . $AB$ הוא אלכסון של החתך הצירי, והוא יוצר עם בסיס הגליל זווית $\alpha$ . (א) הביעו את גובה הגליל באמצעות $r$ ו- $\alpha$ .

$\frac{2r}{\tan\alpha}$
$r\tan\alpha$
$2r\sin\alpha$
$2r\tan\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $2r\tan\alpha$

הפתרון:

AC=2r

ההיטל של $AB$ על הבסיס הוא קוטר

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{BC}{AC} \ \Rightarrow \ h \\ &= 2r\tan\alpha\end{aligned}

$\triangle ACB$ ישר זווית ב- $C$

הנכונה: $2r\tan\alpha$ . $r\tan\alpha$ לוקחת רדיוס במקום קוטר, ו- $2r\sin\alpha$ מתייחסת לקוטר כאילו הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בגליל ישר רדיוס הבסיס $r$ . $AB$ הוא אלכסון של החתך הצירי, והוא יוצר עם בסיס הגליל זווית $\alpha$ . (ב) נתון $r = 3$ , ונפח הגליל $36\pi$ . מצאו את $\alpha$ , במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33.69

הפתרון:

\begin{aligned}\pi\cdot 9\cdot h &= 36\pi \ \Rightarrow \ h \\ &= 4\end{aligned}

נפח גליל

\begin{aligned}2\cdot 3\tan\alpha &= 4 \ \Rightarrow \ \tan\alpha \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

מסעיף א

\alpha \approx 33.69^\circ

תשובה

הביטוי מסעיף א הופך את הנפח למשוואה ב- $\alpha$ . מי שהשתמש ב- $r\tan\alpha$ קיבל $53.13^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle BAC = \alpha$ . $BM$ הוא התיכון לצלע $AC$ . (א) הביעו את $BM$ באמצעות $k$ ו- $\alpha$ .

$k\sqrt{2-2\cos\alpha}$
$k\sqrt{1-\cos\alpha}$
$k\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}$
$k\sqrt{\frac{5}{4}+\cos\alpha}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $k\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}$

הפתרון:

AM=\frac{k}{2}

$M$ אמצע $AC$

BM^2=k^2+\frac{k^2}{4}-2\cdot k\cdot\frac{k}{2}\cos\alpha

משפט הקוסינוסים ב- $\triangle ABM$

BM=k\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}

מוציאים $k$

הנכונה: $k\sqrt{\frac{5}{4}-\cos\alpha}$ . $k\sqrt{2-2\cos\alpha}$ הוא הבסיס $BC$ , לא התיכון: המשולש הנכון הוא $ABM$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle BAC = \alpha$ . $BM$ הוא התיכון לצלע $AC$ . (ב) נתון $BM = k$ . מצאו את $\alpha$ , במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75.52

הפתרון:

k^2\left(\frac{5}{4}-\cos\alpha\right)=k^2

מעלים בריבוע את הביטוי מסעיף א

\cos\alpha=\frac{1}{4}

$k^2$ מצטמצם

\alpha \approx 75.52^\circ

תשובה

גם כאן $k$ נעלם: שוויון בין שני אורכים קובע צורה, לא גודל. וכדאי לעבוד עם $BM^2$ , בלי שורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev