השיפוע ומשוואת הישר · גאומטריה אנליטית — הקו הישר · כיתה י״ב

ישר במערכת צירים מתואר על ידי משוואה. כל נקודה שמקיימת את המשוואה נמצאת על הישר, וכל נקודה על הישר מקיימת אותה.

השיפוע

השיפוע $m$ אומר בכמה $y$ משתנה כאשר $x$ גדל ב- $1$ . זה קצב השינוי של הישר.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

השיפוע בין $(1,\ 3)$ ל- $(4,\ 9)$

\begin{aligned}m &= \frac{9 - 3}{4 - 1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

כל צעד ימינה, $2$ למעלה

m > 0

הישר עולה

m < 0

הישר יורד

m = 0

ישר אופקי: $y = n$

לישר אנכי אין שיפוע. המשוואה שלו היא $x = a$ .

משוואת הישר

הצורה המפורשת: $y = mx + n$ . המספר $n$ הוא נקודת החיתוך עם ציר $y$ . הצורה הסתומה: $ax + by + c = 0$ . כדי לעבור למפורשת, מבודדים את $y$ .

מסתומה למפורשת

$2x + y - 6 = 0$

y = -2x + 6

מעבירים אגף

\begin{aligned}m &= -2 \\ \ n &= 6\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה

y - y_1 = m(x - x_1)

מדף הנוסחאות

$m = 3$ , דרך $(2,\ 1)$

מצאו את משוואת הישר.

y - 1 = 3(x - 2)

מציבים

y = 3x - 5

פותחים סוגריים

ישר דרך שתי נקודות

$(1,\ 3)$ ו- $(4,\ 9)$ .

m = 2

השיפוע מקודם

y - 3 = 2(x - 1)

נקודה אחת מהשתיים

y = 2x + 1

איך בודקים שהמשוואה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים את הנקודה השנייה: $2 \cdot 4 + 1 = 9$ ✓.

נקודות חיתוך

x = 0

חיתוך עם ציר $y$

y = 0

חיתוך עם ציר $x$

m_1x + n_1 = m_2x + n_2

חיתוך של שני ישרים: משווים

שני ישרים

$y = 2x + 1$ ו- $y = -x + 7$ .

2x + 1 = -x + 7

משווים

\begin{aligned}3x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

y = 5

נקודת החיתוך $(2,\ 5)$

שתי טעויות בשיפוע ובמשוואה.

m = \frac{4 - 1}{9 - 3}

m = \frac{9 - 3}{4 - 1}

במונה ה- $y$ -ים, במכנה ה- $x$ -ים. ובאותו סדר בשניהם.

\begin{aligned}2x + y - 6 &= 0 \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}y &= -2x + 6 \Rightarrow m \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע נקרא רק מהצורה המפורשת, אחרי שמבודדים את $y$ .

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את השיפוע של הישר שעובר דרך $(2,\ 1)$ ו- $(6,\ 9)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{9 - 1}{6 - 2} &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

$m = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את השיפוע של הישר שעובר דרך $(-1,\ 5)$ ו- $(3,\ -3)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{-3 - 5}{3 - (-1)} &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

$m = -2$ : הישר יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כתבו בצורה מפורשת: $3x - y + 4 = 0$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 3 $x +$ 4

הפתרון:

y = 3x + 4

$m = 3$ , $n = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את משוואת הישר ששיפועו $-1$ והוא עובר דרך $(3,\ 2)$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1 $x +$ 5

הפתרון:

y - 2 = -1(x - 3)

y = -x + 5

$y = -x + 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את משוואת הישר דרך $(0,\ -3)$ ו- $(2,\ 1)$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2 $x +$ -3

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{1 + 3}{2} \\ &= 2\end{aligned}

n = -3

החיתוך עם ציר $y$ נתון

$y = 2x - 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את נקודות החיתוך של $y = -2x + 8$ עם הצירים.

עם ציר $x$ : ( ____ , 0 ) ; עם ציר $y$ : ( 0 , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר $x$ : ( 4 , 0 ) ; עם ציר $y$ : ( 0 , 8 )

הפתרון:

\begin{aligned}0 &= -2x + 8 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 8\end{aligned}

$(4,\ 0)$ ו- $(0,\ 8)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את נקודת החיתוך של $y = x + 2$ ו- $y = -2x + 11$ .

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 3 , 5 )

הפתרון:

\begin{aligned}x + 2 &= -2x + 11 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

y = 5

$(3,\ 5)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מה משוואת הישר האופקי שעובר דרך $(4,\ -2)$ ?

$y = 4$
$y = -2$
$x = -2$
$x = 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = -2$

הפתרון:

\begin{aligned}m &= 0 \Rightarrow y \\ &= n\end{aligned}

$y = -2$ . ישר אופקי: לכל נקודה עליו אותו $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נכון או לא נכון: הנקודה $(2,\ 7)$ נמצאת על הישר $y = 3x + 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

3 \cdot 2 + 1 = 7

נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מוצאים את הישר ששיפועו $2$ ועובר דרך $(1,\ -4)$ . איזו שורה שגויה?

y - (-4) = 2(x - 1)

y + 4 = 2x - 1

y = 2x - 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y + 4 = 2x - 1$ → $y + 4 = 2x - 2$

הפתרון:

2(x - 1) = 2x - 2

y = 2x - 6

בפתיחת הסוגריים צריך לכפול גם את $-1$ : $2x - 2$ . המשוואה הנכונה $y = 2x - 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מחיר נסיעה במונית: $12$ ש״ח פתיחה ו- $4$ ש״ח לכל ק״מ. המחיר הוא ישר $y = mx + n$ . מהו השיפוע $m$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

m = 4

קצב השינוי: ש״ח לכל ק״מ

$m = 4$ , ו- $n = 12$ . השיפוע הוא קצב השינוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיפוע

משוואת הישר

ישר לפי שיפוע ונקודה

נקודות חיתוך

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev