נקודות, מרחקים ואמצעים · גאומטריה אנליטית — הקו הישר · כיתה י״ב

בגאומטריה אנליטית כל נקודה מקבלת כתובת: זוג מספרים $(x,\ y)$ . בעזרת הכתובות מחשבים מרחקים, אמצעים ושטחים, בלי סרגל.

המרחק בין שתי נקודות

ההפרש האופקי וההפרש האנכי בין שתי נקודות הם הניצבים של משולש ישר זווית. המרחק בין הנקודות הוא היתר. לכן משתמשים במשפט פיתגורס.

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$A(1,\ 2)$ ו- $B(7,\ 10)$

מצאו את אורך הקטע $AB$ .

\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 7 - 1 \\ &= 6\end{aligned}

ההפרש האופקי

\begin{aligned}y_2 - y_1 &= 10 - 2 \\ &= 8\end{aligned}

ההפרש האנכי

\begin{aligned}d &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

האורך

מה המרחק בין $(2,\ 5)$ ל- $(2,\ 11)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שתי הנקודות על אותו קו אנכי ( $x = 2$ ). המרחק הוא פשוט $11 - 5 = 6$ . הנוסחה נותנת אותו דבר: $\sqrt{0 + 36} = 6$ .

אמצע קטע

שיעורי האמצע הם הממוצע של שיעורי הקצוות: ממוצע ה- $x$ -ים וממוצע ה- $y$ -ים.

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

האמצע של $AB$

$A(1,\ 2)$ , $B(7,\ 10)$ .

\frac{1 + 7}{2} = 4

\frac{2 + 10}{2} = 6

M(4,\ 6)

קצה חסר

$M(4,\ 6)$ הוא אמצע הקטע $AC$ , ו- $A(1,\ 2)$ . מצאו את $C$ .

\begin{aligned}\frac{1 + x}{2} &= 4 \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{2 + y}{2} &= 6 \Rightarrow y \\ &= 10\end{aligned}

C(7,\ 10)

אפשר גם: מ- $A$ ל- $M$ זזים $(+3,\ +4)$ , ושוב אותו צעד

איזה משולש זה?

כשמחשבים את שלוש הצלעות, אפשר לדעת אם משולש שווה שוקיים (שתי צלעות שוות) או ישר זווית (פיתגורס מתקיים).

A(-2,\ 1)

B(6,\ 1)

C(2,\ 7)

AC = BC = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}

: המשולש שווה שוקיים.

שתי טעויות במרחק ובאמצע.

\begin{aligned}d &= (7 - 1) + (10 - 2) \\ &= 14\end{aligned}

\begin{aligned}d &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

המרחק הוא יתר, לא סכום הניצבים.

M = \left(\frac{7 - 1}{2},\ \frac{10 - 2}{2}\right)

M = \left(\frac{7 + 1}{2},\ \frac{10 + 2}{2}\right)

באמצע מחברים את השיעורים. בהפרש משתמשים במרחק.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את המרחק בין $A(2,\ 3)$ ל- $B(5,\ 7)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{3^2 + 4^2} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

$AB = 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את המרחק בין $P(-1,\ 4)$ ל- $Q(11,\ -1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{12^2 + (-5)^2} &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

$PQ = 13$ . ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את אמצע הקטע שבין $A(3,\ -2)$ ל- $B(9,\ 6)$ .

$M =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M =$ ( 6 , 2 )

הפתרון:

\frac{3 + 9}{2} = 6

\frac{-2 + 6}{2} = 2

$M(6,\ 2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$M(2,\ 5)$ הוא אמצע הקטע $AB$ , ו- $A(-1,\ 3)$ . מצאו את $B$ .

$B =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B =$ ( 5 , 7 )

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{-1 + x}{2} &= 2 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{3 + y}{2} &= 5 \Rightarrow y \\ &= 7\end{aligned}

$B(5,\ 7)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מה המרחק בין $(4,\ -3)$ ל- $(4,\ 6)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

6 - (-3) = 9

קו אנכי

$9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשולש $A(0,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(3,\ 4)$ הוא:

שווה שוקיים
שווה צלעות
אף אחד מאלה
ישר זווית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שווה שוקיים

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}BC &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

AB = 6

שווה שוקיים: $AC = BC = 5$ , ו- $AB = 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את היקף המשולש $A(0,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(3,\ 4)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

5 + 5 + 6 = 16

$16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נכון או לא נכון: המשולש $A(1,\ 1)$ , $B(4,\ 1)$ , $C(4,\ 5)$ הוא ישר זווית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 3 \\ \ BC &= 4 \\ \ AC &= 5\end{aligned}

3^2 + 4^2 = 5^2

נכון. הזווית הישרה ב- $B$ : $AB$ אופקית ו- $BC$ אנכית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מוצאים את המרחק בין $(2,\ -1)$ ל- $(8,\ 7)$ . איזו שורה שגויה?

8 - 2 = 6

7 - 1 = 6

d = \sqrt{36 + 36}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $7 - 1 = 6$ → $7 - (-1) = 8$

הפתרון:

\begin{aligned}d &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

ההפרש האנכי הוא $7 - (-1) = 8$ . המרחק הנכון $10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנקודה $C(x,\ 0)$ על ציר $x$ , והמרחק שלה מ- $A(1,\ 4)$ הוא $5$ . מצאו את $x$ , כאשר $x > 1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(x - 1)^2 + 16 = 25

\begin{aligned}(x - 1)^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

$x > 1$

$x = 4$ . (גם $x = -2$ במרחק $5$ , אבל הוא קטן מ- $1$ .)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שביל ישר בפארק מתחיל ב- $A(2,\ 1)$ ונגמר ב- $B(8,\ 9)$ (היחידות במאות מטרים). השלימו.

אורך השביל: ____ ; הספסל באמצע השביל: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אורך השביל: 10 ; הספסל באמצע השביל: ( 5 , 5 )

הפתרון:

\sqrt{36 + 64} = 10

M = (5,\ 5)

$10$ ו- $(5,\ 5)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המרחק בין שתי נקודות

אמצע קטע

איזה משולש זה?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev