מקבילים ומצולעים · גאומטריה אנליטית — הקו הישר · כיתה י״ב

שני ישרים במישור יכולים להיות מקבילים, מתלכדים (אותו ישר), או נחתכים. השיפועים אומרים מה המצב, בלי לצייר.

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ n_1 \neq n_2\end{aligned}

מקבילים: אין נקודה משותפת

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ n_1 &= n_2\end{aligned}

מתלכדים: אותו ישר

m_1 \neq m_2

נחתכים בנקודה אחת

האם הישרים $y = 3x - 1$ ו- $6x - 2y + 4 = 0$ מקבילים?

להציג את התשובה והפתרון

בצורה מפורשת, השני הוא $y = 3x + 2$ . לשניהם $m = 3$ , ו- $n$ שונה: מקבילים.

מצולעים במערכת צירים

מרובע שבו שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית. מרובע שבו בדיוק זוג אחד מקביל הוא טרפז.

A(1,\ 1)

B(7,\ 3)

C(8,\ 7)

D(2,\ 5)

איזה מרובע?

הוכיחו ש- $ABCD$ מקבילית.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{7 - 1} \\ &= \frac{1}{3} \\ \ \ m_{DC} &= \frac{7 - 5}{8 - 2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{5 - 1}{2 - 1} \\ &= 4 \\ \ \ m_{BC} &= \frac{7 - 3}{8 - 7} \\ &= 4\end{aligned}

$AD \parallel BC$

\text{שני זוגות מקבילים}

$ABCD$ מקבילית

הקודקוד הרביעי של מקבילית

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. לכן לשני האלכסונים יש אותו אמצע.

מוצאים את $D$

$A(1,\ 1)$ , $B(7,\ 3)$ , $C(8,\ 7)$ הם שלושה קודקודים של מקבילית $ABCD$ . מצאו את $D$ .

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{1 + 8}{2},\ \frac{1 + 7}{2}\right) \\ &= (4.5,\ 4)\end{aligned}

אמצע האלכסון $AC$

\begin{aligned}\frac{7 + x}{2} &= 4.5 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$M$ הוא גם אמצע $BD$

\begin{aligned}\frac{3 + y}{2} &= 4 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

D(2,\ 5)

שיטה מהירה: מ- $B$ ל- $C$ זזים $(+1,\ +4)$ . אותו צעד מ- $A$ מגיע ל- $D$ : $(1 + 1,\ 1 + 4) = (2,\ 5)$ .

שתי טעויות במקבילים.

m_1 = m_2 \Rightarrow \text{מקבילים}

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ n_1 \neq n_2\end{aligned}

אם גם $n$ שווה, זה אותו ישר.

AB \parallel CD \Rightarrow \text{מקבילית}

\text{גם}\ AD \parallel BC

זוג אחד מקביל יכול להיות טרפז. צריך שני זוגות.

תרגילים

תרגיל 1

מה המצב ההדדי של $y = 2x + 3$ ו- $y = 2x - 5$ ?

מתלכדים
מאונכים
מקבילים
נחתכים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מקבילים

הפתרון:

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= 2 \\ \ 3 \neq -5\end{aligned}

מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מה המצב ההדדי של $y = -x + 4$ ו- $2x + 2y - 8 = 0$ ?

אין מספיק מידע
נחתכים
מקבילים
מתלכדים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מתלכדים

הפתרון:

\begin{aligned}2y &= -2x + 8 \Rightarrow y \\ &= -x + 4\end{aligned}

מתלכדים: זה אותו ישר בשתי כתיבות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את הישר המקביל ל- $y = 3x - 2$ ועובר דרך $(1,\ 5)$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 3 $x +$ 2

הפתרון:

m = 3

מקביל: אותו שיפוע

\begin{aligned}y - 5 &= 3(x - 1) \Rightarrow y \\ &= 3x + 2\end{aligned}

$y = 3x + 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נכון או לא נכון: המרובע $A(0,\ 0)$ , $B(4,\ 0)$ , $C(6,\ 3)$ , $D(2,\ 3)$ הוא מקבילית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}m_{AD} &= m_{BC} \\ &= 1.5\end{aligned}

נכון. שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$A(0,\ 0)$ , $B(5,\ 1)$ , $C(7,\ 4)$ הם קודקודים של מקבילית $ABCD$ . מצאו את $D$ .

$D =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D =$ ( 2 , 3 )

הפתרון:

B \to C:\ (+2,\ +3)

D = (0 + 2,\ 0 + 3)

$D(2,\ 3)$ . בדיקה: אמצע $AC$ הוא $(3.5,\ 2)$ , וגם אמצע $BD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרובע $A(0,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(5,\ 3)$ , $D(2,\ 3)$ הוא:

מלבן
דלתון
טרפז
מקבילית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג טרפז

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0\end{aligned}

זוג מקביל

\begin{aligned}m_{AD} &= 1.5 \\ \ m_{BC} &= -3\end{aligned}

לא מקבילים

טרפז: בדיוק זוג אחד של צלעות מקבילות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הישרים $y = (k - 1)x + 3$ ו- $y = 4x - 1$ מקבילים. מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

k - 1 = 4

$k = 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו כל ישר: מקביל ל- $y = -2x + 1$ , או לא?

מקביל
לא מקביל

$4x + 2y = 3$
$y = -\frac{1}{2}x$
$y = -2x + 7$
$y = 2x + 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y = -2x + 7$ — מקביל · $4x + 2y = 3$ — מקביל · $y = 2x + 1$ — לא מקביל · $y = -\frac{1}{2}x$ — לא מקביל

הפתרון:

\begin{aligned}4x + 2y &= 3 \Rightarrow y \\ &= -2x + 1.5\end{aligned}

רק השיפוע $-2$ קובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ): $A(1,\ 2)$ , $B(7,\ 5)$ , $D(0,\ 6)$ . הקודקוד $C$ נמצא על הישר $x = 4$ . מצאו את $C$ .

$C =$ ( 4 , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C =$ ( 4 , 8 )

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3}{6} \\ &= 0.5\end{aligned}

DC:\ y = 0.5x + 6

דרך $D$ , אותו שיפוע

\begin{aligned}x &= 4 \Rightarrow y \\ &= 8\end{aligned}

$C(4,\ 8)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בודקים אם $y = 4x + 1$ ו- $8x - 2y + 2 = 0$ מקבילים. איזו שורה שגויה?

-2y = -8x - 2

y = 4x + 1

\text{מקבילים}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\text{מקבילים}$ → $\text{מתלכדים}$

הפתרון:

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ n_1 &= n_2\end{aligned}

גם השיפוע וגם $n$ שווים: זה אותו ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מצולעים במערכת צירים

הקודקוד הרביעי של מקבילית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev