פותרים יחד · תכנון ליניארי · כיתה י״ב

שתי שאלות בנוסח הבגרות: מאפייה עם שינוי מחירים, ופונקציית מטרה עם פרמטר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב.

בבגרות כותבים את כל הקודקודים ואת ערך הפונקציה בכל אחד, בטבלה קטנה. ככה הבודק רואה שבדקתם הכול.

1 — מאפייה

כל שנתה בציור היא

10

A(60,\ 0)

B(30,\ 30)

C(0,\ 45)

פעילות אינטראקטיבית

מאפייה אופה עוגות ( $x$ ) ופשטידות ( $y$ ) בכל יום. האילוצים: $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x + y \le 60$ , $x + 2y \le 90$ . א. מצאו את הקודקודים של התחום. ב. הרווח מעוגה $40$ ש״ח ומפשטידה $50$ ש״ח. כמה מכל סוג כדאי לאפות? ג. הרווח מעוגה ירד ב- $10\%$ , ומפשטידה עלה ב- $20\%$ . בכמה גדל הרווח המקסימלי?

x + y \le 60,\quad x + 2y \le 90

לחצו «להתחיל».

א.

O(0,\ 0),\ A(60,\ 0),\ C(0,\ 45)

על הצירים: $60 < 90$ ב- $x$ , ו- $45 < 60$ ב- $y$ .

א.

\begin{aligned}y &= 30 \\ \ x &= 30 \Rightarrow B(30,\ 30)\end{aligned}

מחסרים: $(x + 2y) - (x + y) = 30$ .

ב.

\begin{aligned}A:\ 2400 \\ \ B:\ 1200 + 1500 &= 2700 \\ \ C:\ 2250\end{aligned}

מציבים בכל קודקוד.

ב.

\max = 2700\ \text{ב-}\ B

$30$ עוגות ו- $30$ פשטידות.

ג.

\begin{aligned}40 \cdot 0.9 &= 36 \\ \ \ 50 \cdot 1.2 &= 60\end{aligned}

הרווחים החדשים.

ג.

\begin{aligned}A:\ 2160 \\ \ B:\ 1080 + 1800 &= 2880 \\ \ C:\ 2700\end{aligned}

ג.

2880 - 2700 = 180

הרווח המקסימלי גדל ב- $180$ ש״ח.

סעיף ג: התחום לא השתנה, רק פונקציית המטרה. אין צורך לצייר מחדש.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — פרמטר

פעילות אינטראקטיבית

באותה מאפייה הרווח מעוגה $k$ ש״ח, ומפשטידה $50$ ש״ח. א. ידוע שהרווח ב- $A(60,\ 0)$ שווה לרווח ב- $B(30,\ 30)$ . מצאו את $k$ . ב. מה הרווח המקסימלי? ג. כמה פתרונות אופטימליים יש?

f = kx + 50y

לחצו «להתחיל».

א.

60k = 30k + 1500

א.

k = 50

ב.

A:\ 3000,\ B:\ 3000,\ C:\ 2250

ב.

\max = 3000

ג.

\text{כל הצלע}\ AB

אינסוף: כל נקודה על הצלע $AB$ (עם שיעורים שלמים: $31$ נקודות).

כשהמקסימום בשני קודקודים, כל הצלע ביניהם אופטימלית.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

שאלה 1. $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x + y \le 40$ , $2x + y \le 60$ . רווח $f = 30x + 20y$ . השלימו.

הקודקוד הפנימי: ( ____ , ____ ) ; הרווח המקסימלי: ____ ; אחרי שינוי ל- $f = 24x + 25y$ , הרווח המקסימלי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקודקוד הפנימי: ( 20 , 20 ) ; הרווח המקסימלי: 1000 ; אחרי שינוי ל- $f = 24x + 25y$ , הרווח המקסימלי: 1000

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 20 \\ \ y &= 20\end{aligned}

(30,\ 0):\ 900,\ (20,\ 20):\ 1000,\ (0,\ 40):\ 800

(20,\ 20):\ 980,\ (0,\ 40):\ 1000

אחרי השינוי הקודקוד האופטימלי עבר ל- $(0,\ 40)$ , והרווח המקסימלי נשאר $1{,}000$ במקרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שאלה 2. באותו תחום, $f = kx + 20y$ , והרווח ב- $(30,\ 0)$ שווה לרווח ב- $(20,\ 20)$ . השלימו.

$k =$ ____ ; הרווח המקסימלי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 40 ; הרווח המקסימלי: 1200

הפתרון:

30k = 20k + 400

k = 40

1200,\ 1200,\ 800

$k = 40$ , רווח מקסימלי $1{,}200$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מאפייה

2 — פרמטר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev