פרמטר ושינוי מחירים · תכנון ליניארי · כיתה י״ב

בשאלות מתקדמות פונקציית המטרה כוללת פרמטר, או שהמחירים משתנים. השיטה לא משתנה: מציבים את הקודקודים.

רווח זהה בשני קודקודים

מוצאים את $k$

בנגרייה הרווח מארון $500$ ש״ח, ומשידה $k$ ש״ח. ידוע שהרווח ב- $B(4,\ 6)$ וב- $C(0,\ 10)$ שווה.

500 \cdot 4 + 6k = 0 + 10k

משווים

2000 = 4k

k = 500

ואם $k = 600$ ? באיזה קודקוד המקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

$A$ : $3{,}500$ , $B$ : $2000 + 3600 = 5{,}600$ , $C$ : $6{,}000$ . המקסימום עובר ל- $C$ : משתלם לייצר רק שידות.

שינוי מחירים באחוזים

מחירים חדשים

הרווח מארון ירד ב- $10\%$ , והרווח משידה עלה ב- $20\%$ . מה הרווח המקסימלי החדש?

\begin{aligned}500 \cdot 0.9 &= 450 \\ \ \ 300 \cdot 1.2 &= 360\end{aligned}

הרווחים החדשים

\begin{aligned}A:\ 3150 \\ \ B:\ 1800 + 2160 &= 3960 \\ \ C:\ 3600\end{aligned}

\max = 3960

גדל ב- $160$ ש״ח

שינוי במחירים משנה את פונקציית המטרה, לא את התחום. הקודקודים נשארים אותם קודקודים.

שתי טעויות בפרמטר.

\begin{aligned}500 \cdot 4 + k \cdot 6 &= 10k \Rightarrow k \\ &= 50\end{aligned}

k = 500

בדקו את החשבון: $2000 = 4k$ .

\text{מחירים חדשים} \Rightarrow \text{קודקודים חדשים}

\text{אותם קודקודים}

האילוצים לא השתנו, ולכן גם התחום לא.

תרגילים

תרגיל 1

בתחום עם הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(6,\ 0)$ , $(4,\ 3)$ , $(0,\ 5)$ : הפונקציה $f = kx + 2y$ מקבלת ערך שווה ב- $(6,\ 0)$ וב- $(4,\ 3)$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

6k = 4k + 6

k = 3

$k = 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותו תחום: הפונקציה $f = 3x + ky$ מקבלת ערך שווה ב- $(4,\ 3)$ וב- $(0,\ 5)$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

12 + 3k = 5k

k = 6

$k = 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נגרייה ( $500x + 300y$ , מקסימום $3{,}800$ ב- $(4,\ 6)$ ). הרווח מכל רהיט עלה ב- $10\%$ . מה הרווח המקסימלי החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4180

הפתרון:

3800 \cdot 1.1 = 4180

כל המקדמים כפול $1.1$

$4{,}180$ : כשכל המחירים עולים באותו אחוז, אותו קודקוד נשאר הטוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מסעדה: $x + y \le 100$ , $2x + y \le 160$ , $x,\ y \ge 0$ . רווח $f = 25x + 15y$ . השלימו.

הקודקוד הפנימי: ( ____ , ____ ) ; הרווח המקסימלי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקודקוד הפנימי: ( 60 , 40 ) ; הרווח המקסימלי: 2100

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 60 \\ \ y &= 40\end{aligned}

(80,\ 0):\ 2000,\ (60,\ 40):\ 2100,\ (0,\ 100):\ 1500

$2{,}100$ ב- $(60,\ 40)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותה מסעדה: הרווח ממנה צמחונית ירד ל- $20$ ש״ח, ומבשרית עלה ל- $18$ ש״ח. מה הרווח המקסימלי החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1920

הפתרון:

(80,\ 0):\ 1600

(60,\ 40):\ 1200 + 720 = 1920

(0,\ 100):\ 1800

$1{,}920$ , באותו קודקוד $(60,\ 40)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נכון או לא נכון: אם כל המקדמים של פונקציית המטרה מוכפלים באותו מספר חיובי, הקודקוד האופטימלי לא משתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f \to 1.1 f

נכון. הסדר בין הערכים בקודקודים נשמר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בתחום עם הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(10,\ 0)$ , $(6,\ 4)$ , $(0,\ 8)$ : לאיזה ערך של $k$ הפונקציה $f = x + ky$ שווה ב- $(6,\ 4)$ וב- $(0,\ 8)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

6 + 4k = 8k

k = 1.5

$k = 1.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נגרייה: אם הרווח משידה גדל מאוד (למשל $1{,}000$ ש״ח), איפה יהיה המקסימום?

ב- $B(4,\ 6)$
ב- $O(0,\ 0)$
ב- $A(7,\ 0)$
ב- $C(0,\ 10)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ב- $C(0,\ 10)$

הפתרון:

C:\ 10000,\ B:\ 8000,\ A:\ 3500

כשהשידות רווחיות מאוד, משתלם לייצר רק שידות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בדיאטה ( $c = 4x + 5y$ , מינימום $23$ ב- $(2,\ 3)$ ) מחיר מנה ב ירד ל- $2$ ש״ח. השלימו.

העלות החדשה ב- $(0,\ 9)$ : ____ ; ב- $(2,\ 3)$ : ____ ; המינימום החדש: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: העלות החדשה ב- $(0,\ 9)$ : 18 ; ב- $(2,\ 3)$ : 14 ; המינימום החדש: 14

הפתרון:

0 + 18 = 18

8 + 6 = 14

(8,\ 0):\ 32

המינימום $14$ , עדיין ב- $(2,\ 3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מוצאים $k$ כך ש- $f = 500x + ky$ שווה ב- $(4,\ 6)$ וב- $(0,\ 10)$ . איזו שורה שגויה?

2000 + 6k = 10k

2000 = 16k

k = 125

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2000 = 16k$ → $2000 = 4k$

הפתרון:

10k - 6k = 4k

מעבירים $6k$ לאגף ימין ומחסרים: $4k$ , ולכן $k = 500$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

רווח זהה בשני קודקודים

שינוי מחירים באחוזים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev