פונקציית המטרה · תכנון ליניארי · כיתה י״ב

הנגרייה מרוויחה $500$ ש״ח על ארון ו- $300$ ש״ח על שידה. פונקציית המטרה היא הרווח: $f = 500x + 300y$ . רוצים למצוא את הנקודה בתחום שבה $f$ הכי גדולה.

המקסימום נמצא בקודקוד

בתכנון ליניארי, הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של פונקציית המטרה מתקבלים תמיד בקודקודים של התחום. לכן מספיק להציב את הקודקודים.

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

הרווח בכל קודקוד

$f = 500x + 300y$

O(0,\ 0):\ f = 0

A(7,\ 0):\ f = 3500

\begin{aligned}B(4,\ 6):\ f &= 2000 + 1800 \\ &= 3800\end{aligned}

C(0,\ 10):\ f = 3000

\max f = 3800\ \text{ב-}\ B

$4$ ארונות ו- $6$ שידות

למה לא לייצר רק ארונות, שהם הרווחיים יותר?

להציג את התשובה והפתרון

כי ארון דורש פי $2$ ימי עבודה. ב- $14$ ימים יוצאים רק $7$ ארונות ( $3{,}500$ ש״ח). שילוב נותן יותר.

מינימום בתחום פתוח

בבעיית הוצאות מחפשים מינימום. לפעמים התחום פתוח: הוא לא נסגר. אז יש מינימום, אבל אין מקסימום.

תחום פתוח: הוא ממשיך בלי סוף למעלה ולימין.

הדיאטה

עלות מנה א $4$ ש״ח, מנה ב $5$ ש״ח. $c = 4x + 5y$ , עם $x + 2y \ge 8$ ו- $3x + y \ge 9$ .

A(0,\ 9):\ c = 45

\begin{aligned}B(2,\ 3):\ c &= 8 + 15 \\ &= 23\end{aligned}

חיתוך שני האילוצים

C(8,\ 0):\ c = 32

\min c = 23

$2$ מנות א ו- $3$ מנות ב

שתי טעויות בפונקציית המטרה.

\max\ \text{בנקודה}\ (5,\ 5)

\max\ \text{בקודקוד}

בודקים רק קודקודים, ורק כאלה שבתחום.

\text{תחום פתוח}:\ \max = \ldots

\text{אין מקסימום}

בתחום פתוח אפשר להגדיל את $x$ ו- $y$ בלי סוף.

תרגילים

תרגיל 1

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

נגרייה: $f = 500x + 300y$ . מה הרווח בקודקוד $(7,\ 0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3500

הפתרון:

500 \cdot 7 = 3500

$3{,}500$ ש״ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אם הרווח היה $f = 300x + 400y$ באותו תחום, מה היה הרווח המקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4000

הפתרון:

\begin{aligned}A:\ 2100 \\ \ B:\ 1200 + 2400 &= 3600 \\ \ C:\ 4000\end{aligned}

$4{,}000$ ב- $C(0,\ 10)$ : עכשיו השידות רווחיות יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

תחום עם הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(6,\ 0)$ , $(4,\ 3)$ , $(0,\ 5)$ , ופונקציית מטרה $f = 3x + 5y$ . השלימו.

המקסימום: ____ ; בנקודה: ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המקסימום: 27 ; בנקודה: ( 4 , 3 )

הפתרון:

(6,\ 0):\ 18,\ (4,\ 3):\ 27,\ (0,\ 5):\ 25

$27$ ב- $(4,\ 3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותו תחום: המינימום של $g = 2x - y$ .

המינימום: ____ ; בנקודה: ( 0 , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המינימום: -5 ; בנקודה: ( 0 , 5 )

הפתרון:

(0,\ 0):\ 0,\ (6,\ 0):\ 12,\ (4,\ 3):\ 5,\ (0,\ 5):\ -5

$-5$ ב- $(0,\ 5)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תחום פתוח: הוא ממשיך בלי סוף למעלה ולימין.

הדיאטה ( $c = 4x + 5y$ ): מה העלות בקודקוד $(8,\ 0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

32

$32$ ש״ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בתחום הפתוח של הדיאטה, מה אפשר לומר על העלות?

יש גם וגם
אין אף אחד
יש מינימום ואין מקסימום
יש מקסימום ואין מינימום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יש מינימום ואין מקסימום

הפתרון:

\text{פתוח למעלה ולימין}

אפשר לקנות יותר ויותר, והעלות גדלה בלי גבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נכון או לא נכון: אם פונקציית המטרה מקבלת את אותו ערך מקסימלי בשני קודקודים סמוכים, היא מקבלת אותו ערך בכל הצלע ביניהם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f\ \text{ליניארית}

נכון. אז יש אינסוף פתרונות אופטימליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הקודקודים $(0,\ 0)$ , $(10,\ 0)$ , $(6,\ 4)$ , $(0,\ 8)$ . פונקציית המטרה $f = 2x + 3y$ . מה המקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

20,\ 24,\ 24

24

ב- $(6,\ 4)$ וב- $(0,\ 8)$

$24$ , בשני קודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מוצאים מקסימום של $f = 4x + y$ בקודקודים $(0,\ 0)$ , $(5,\ 0)$ , $(3,\ 4)$ , $(0,\ 6)$ . איזו שורה שגויה?

f(5,\ 0) = 20

\begin{aligned}f(3,\ 4) &= 12 + 4 \\ &= 16\end{aligned}

\max f = 16

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\max f = 16$ → $\max f = 20$

הפתרון:

20 > 16

המקסימום $20$ , ב- $(5,\ 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את שלבי הפתרון של בעיית תכנון ליניארי.

בוחרים את הערך הגדול או הקטן
כותבים את האילוצים
מוצאים את הקודקודים
מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה
מציירים את התחום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כותבים את האילוצים · מציירים את התחום · מוצאים את הקודקודים · מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה · בוחרים את הערך הגדול או הקטן

הפתרון:

\text{אילוצים} \to \text{תחום} \to \text{קודקודים} \to f

מציבים רק בקודקודים, ובוחרים לפי מה שהשאלה מבקשת: מקסימום או מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המקסימום נמצא בקודקוד

מינימום בתחום פתוח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev