אילוצים ותחום אפשרי · תכנון ליניארי · כיתה י״ב

בתכנון ליניארי מתחילים מסיפור: נגרייה, מסעדה, דיאטה. מתרגמים אותו לאילוצים, ומציירים את התחום האפשרי.

מהסיפור לאילוצים

נגרייה מייצרת ארונות ושידות. במחסן יש מקום ל- $10$ רהיטים לכל היותר. ארון דורש $2$ ימי עבודה, שידה יום אחד, ויש $14$ ימי עבודה.

x

מספר הארונות

y

מספר השידות

x \ge 0,\ y \ge 0

אי אפשר לייצר מספר שלילי

x + y \le 10

מקום במחסן

2x + y \le 14

ימי עבודה

למה $2x$ ולא $x$ באילוץ של ימי העבודה?

להציג את התשובה והפתרון

כי כל ארון דורש $2$ ימים. $x$ ארונות דורשים $2x$ ימים, ו- $y$ שידות דורשות $y$ ימים.

הקודקודים

התחום הוא מצולע. כל קודקוד שלו הוא נקודת חיתוך של שני ישרים.

התחום האפשרי (הצבוע):

x \ge 0

y \ge 0

x + y \le 10

2x + y \le 14

הקודקוד $B$

מצאו את נקודת החיתוך של $x + y = 10$ ו- $2x + y = 14$ .

(2x + y) - (x + y) = 14 - 10

מחסרים

x = 4

\begin{aligned}y &= 10 - 4 \\ &= 6\end{aligned}

B(4,\ 6)

שאר הקודקודים על הצירים: $O(0,\ 0)$ , $A(7,\ 0)$ (מ- $2x = 14$ ), $C(0,\ 10)$ (מ- $y = 10$ ).

למה $A$ היא $(7,\ 0)$ ולא $(10,\ 0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $(10,\ 0)$ שוברת את האילוץ $2x + y \le 14$ : $20 > 14$ . על ציר $x$ הישר $2x + y = 14$ מגיע קודם.

שתי טעויות בתחום.

\text{קודקוד} = (10,\ 0)

(7,\ 0)

נקודת חיתוך עם ציר נכנסת רק אם היא מקיימת את כל האילוצים.

x + y \le 14

2x + y \le 14

המקדם הוא כמות המשאב ליחידה.

תרגילים

תרגיל 1

מסעדה מכינה מנות צמחוניות ( $x$ ) ובשריות ( $y$ ). בסך הכול לכל היותר $100$ מנות ביום. השלימו את האילוץ.

$x + y \le$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x + y \le$ 100

הפתרון:

x + y \le 100

$x + y \le 100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מנה צמחונית דורשת $2$ דקות הכנה, ובשרית $4$ דקות. יש $300$ דקות. השלימו: $a x + b y \le 300$ .

$a =$ ____ ; $b =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a =$ 2 ; $b =$ 4

הפתרון:

2x + 4y \le 300

$2x + 4y \le 300$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את נקודת החיתוך של $x + y = 8$ ו- $x + 3y = 12$ .

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 6 , 2 )

הפתרון:

\begin{aligned}2y &= 4 \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

מחסרים

x = 6

$(6,\ 2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נגרייה: $x + y \le 10$ , $2x + y \le 14$ . האם אפשר לייצר $3$ ארונות ו- $8$ שידות?

לא, משני הטעמים
לא, אין מספיק מקום במחסן
כן
לא, אין מספיק ימי עבודה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא, אין מספיק מקום במחסן

הפתרון:

3 + 8 = 11 > 10

מחסן

6 + 8 = 14 \le 14

ימי עבודה: בדיוק

רק המחסן חורג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המערכת $x \ge 0$ , $y \ge 0$ , $x + 2y \le 12$ , $3x + y \le 21$ . מצאו את הקודקודים על הצירים.

על ציר $x$ : ( ____ , 0 ) ; על ציר $y$ : ( 0 , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: על ציר $x$ : ( 7 , 0 ) ; על ציר $y$ : ( 0 , 6 )

הפתרון:

3x = 21 \Rightarrow 7

$x + 2y$ נותן $12$ , אבל $36 > 21$

2y = 12 \Rightarrow 6

$3x + y$ נותן $21$ , אבל $42 > 12$

$(7,\ 0)$ ו- $(0,\ 6)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותה מערכת: מצאו את הקודקוד הפנימי.

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 6 , 3 )

הפתרון:

\begin{aligned}x + 2y &= 12 \\ \ 3x + y &= 21\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 12 - 2y \Rightarrow 36 - 5y \\ &= 21 \Rightarrow y \\ &= 3\end{aligned}

$(6,\ 3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נכון או לא נכון: בתחום של אילוצים מסוג $\le$ עם $x \ge 0$ , $y \ge 0$ וצדי ימין חיוביים, הראשית $(0,\ 0)$ היא תמיד קודקוד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(0,\ 0)

מקיימת כל $\le$ עם צד ימין חיובי

נכון, כשצדי ימין חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את שלבי בניית התחום האפשרי.

כותבים אילוץ לכל מגבלה בסיפור
מגדירים את $x$ ואת $y$
מוצאים את הקודקודים
מציירים את הישרים
צובעים את החלק המשותף

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מגדירים את $x$ ואת $y$ · כותבים אילוץ לכל מגבלה בסיפור · מציירים את הישרים · צובעים את החלק המשותף · מוצאים את הקודקודים

הפתרון:

\text{סיפור} \to \text{אילוצים} \to \text{תחום}

קודם המשתנים, בסוף הקודקודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מטופל צריך לפחות $8$ יחידות ויטמין. בכל מנה מסוג א יש $1$ יחידה, ובכל מנה מסוג ב יש $2$ יחידות. האם $2$ מנות א ו- $3$ מנות ב מספיקות? כתבו כמה יחידות ויטמין יש בהן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8

8 \ge 8

בדיוק מספיק

$8$ יחידות: בדיוק המינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מוצאים את חיתוך $x + y = 10$ ו- $2x + y = 14$ . איזו שורה שגויה?

x = 4

\begin{aligned}y &= 10 + 4 \\ &= 14\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y = 10 + 4 = 14$ → $y = 10 - 4 = 6$

הפתרון:

y = 10 - x

$y = 6$ , והנקודה $(4,\ 6)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מהסיפור לאילוצים

הקודקודים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev