האחוזים של הנוסחאון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בדף הנוסחאות של הבגרות יש ציור של העקומה הנורמלית. הציר מחולק לחצאי סטיות תקן, ובכל רצועה כתוב איזה אחוז מהנתונים נמצא בה.

הגובה של החיילים: xˉ=172\bar{x} = 172, S=6S = 6
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%1541601661721781841900ס״מ
19%19\%

בין xˉ\bar{x} ל-xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S

15%15\%

בין xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S ל-xˉ+S\bar{x} + S

9%9\%

בין xˉ+S\bar{x} + S ל-xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S

5%5\%

בין xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S ל-xˉ+2S\bar{x} + 2S

1.5%1.5\%

בין xˉ+2S\bar{x} + 2S ל-xˉ+2.5S\bar{x} + 2.5S

0.5%0.5\%

בין xˉ+2.5S\bar{x} + 2.5S ל-xˉ+3S\bar{x} + 3S

בצד אחד: 19+15+9+5+1.5+0.5=5019 + 15 + 9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 50. הצד השני זהה, כי העקומה סימטרית.

כמה אחוזים מהחיילים נמצאים בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו, כלומר בין 172172 ל-178178 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

סטיית תקן אחת היא שתי רצועות: 19%+15%=34%19\% + 15\% = 34\%.

אחוז בין שני ערכים

מתרגמים כל ערך למספר סטיות תקן מהממוצע. אחר כך מחברים את הרצועות שביניהם.

בין 166166 ל-178178 ס״מ

כמה אחוזים מהחיילים גבוהים מ-166166 ס״מ ונמוכים מ-178178 ס״מ?

166=172−6=xˉ−S\begin{aligned}166 &= 172 - 6 \\ &= \bar{x} - S\end{aligned}

סטיית תקן אחת מתחת לממוצע

178=172+6=xˉ+S\begin{aligned}178 &= 172 + 6 \\ &= \bar{x} + S\end{aligned}

סטיית תקן אחת מעל הממוצע

15+19+19+15=6815 + 19 + 19 + 15 = 68

ארבע רצועות

68%68\%

בין xˉ−S\bar{x} - S ל-xˉ+S\bar{x} + S נמצאים 68%68\% מהנתונים

כמה אחוזים מהחיילים גבוהים מ-160160 ס״מ ונמוכים מ-184184 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

160=xˉ−2S160 = \bar{x} - 2S ו-184=xˉ+2S184 = \bar{x} + 2S. בכל צד: 19+15+9+5=4819 + 15 + 9 + 5 = 48. יחד: 96%96\%.

אחוז מעל ערך, ואחוז מתחת לערך

גבוהים מ-181181 ס״מ

כמה אחוזים מהחיילים גבוהים מ-181181 ס״מ?

181=172+9=xˉ+1.5S\begin{aligned}181 &= 172 + 9 \\ &= \bar{x} + 1.5S\end{aligned}

כי 9=1.5⋅69 = 1.5 \cdot 6

5+1.5+0.5=75 + 1.5 + 0.5 = 7

כל הרצועות מימין ל-181181

7%7\%

התשובה

מתחת לממוצע תמיד 50%50\%. לכן «נמוכים מ-175175» (xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S) הם 50%+19%=69%50\% + 19\% = 69\%. אין צורך לחבר את כל הרצועות משמאל.

כמה אחוזים מהחיילים גבוהים מ-169169 ס״מ ונמוכים מ-184184 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

169=xˉ−0.5S169 = \bar{x} - 0.5S, 184=xˉ+2S184 = \bar{x} + 2S. מחברים: 19+19+15+9+5=6719 + 19 + 15 + 9 + 5 = 67. כלומר 67%67\%.

מאחוז אל מספר אנשים

אם יודעים כמה אנשים יש בקבוצה, מכפילים את מספרם באחוז.

2,4002{,}400 חיילים

בבסיס 2,4002{,}400 חיילים. כמה מהם בגובה בין 172172 ל-184184 ס״מ?

19+15+9+5=4819 + 15 + 9 + 5 = 48

מהממוצע עד xˉ+2S\bar{x} + 2S

2400⋅0.48=11522400 \cdot 0.48 = 1152

אחוז מתוך מספר

11521152

חיילים

שתי טעויות שחוזרות בבגרות.

xˉ עד xˉ+S: 19%\bar{x}\ \text{עד}\ \bar{x} + S:\ 19\%
19%+15%=34%19\% + 15\% = 34\%

סטיית תקן אחת היא שתי רצועות של חצי סטיית תקן.

x>xˉ+S: 100%−34%x > \bar{x} + S:\ 100\% - 34\%
50%−34%=16%50\% - 34\% = 16\%

מעל הממוצע יש רק 50%50\%. מורידים את 34%34\% מ-50%50\%, לא מ-100%100\%.

תרגילים

תרגיל 1

הציונים במבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 6060 וסטיית תקן 88. כמה אחוזים מהתלמידים קיבלו ציון בין 6060 ל-6868?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34

הפתרון:

68=60+8=xˉ+S\begin{aligned}68 &= 60 + 8 \\ &= \bar{x} + S\end{aligned}

סטיית תקן אחת מעל

19+15=3419 + 15 = 34

שתי רצועות

34%34\%. מי שענה 19%19\% ספר רצועה אחת, אבל סטיית תקן שלמה היא שתי רצועות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותו מבחן (ממוצע 6060, סטיית תקן 88): כמה אחוזים קיבלו ציון בין 5252 ל-7676?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 82

הפתרון:

52=xˉ−S  76=xˉ+2S\begin{aligned}52 &= \bar{x} - S \\ \ \ 76 &= \bar{x} + 2S\end{aligned}

מתרגמים לסטיות תקן

15+19+19+15+9+5=8215 + 19 + 19 + 15 + 9 + 5 = 82

מחברים את הרצועות

82%82\%. משמאל לממוצע שתי רצועות ומימינו ארבע, לכן הסכום אינו סימטרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותו מבחן: כמה אחוזים קיבלו ציון גבוה מ-7272?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

72=60+12=xˉ+1.5S\begin{aligned}72 &= 60 + 12 \\ &= \bar{x} + 1.5S\end{aligned}

12=1.5⋅812 = 1.5 \cdot 8

5+1.5+0.5=75 + 1.5 + 0.5 = 7

הרצועות מימין

7%7\%. אפשר גם: 50−19−15−9=750 - 19 - 15 - 9 = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותו מבחן: כמה אחוזים קיבלו ציון נמוך מ-5656?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31

הפתרון:

56=60−4=xˉ−0.5S\begin{aligned}56 &= 60 - 4 \\ &= \bar{x} - 0.5S\end{aligned}

חצי סטיית תקן מתחת

50−19=3150 - 19 = 31

מחצי העקומה מורידים רצועה אחת

31%31\%. מתחת לממוצע 50%50\%, ומהם 19%19\% נמצאים בין 5656 ל-6060.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

זמן ההמתנה לרופא מתפלג נורמלית עם ממוצע 3030 דקות וסטיית תקן 66 דקות. השלימו את הערכים.

הערך xˉ+S\bar{x} + S: ____ ; הערך xˉ−2S\bar{x} - 2S: ____ ; הערך xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הערך xˉ+S\bar{x} + S: 36 ; הערך xˉ−2S\bar{x} - 2S: 18 ; הערך xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S: 33

הפתרון:

30+6=3630 + 6 = 36

סטיית תקן אחת מעל

30−2⋅6=1830 - 2 \cdot 6 = 18

שתי סטיות תקן מתחת

30+3=3330 + 3 = 33

חצי סטיית תקן מעל

כל חצי סטיית תקן הוא 33 דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכל התפלגות נורמלית, כמה אחוזים מהנתונים נמצאים בין xˉ−S\bar{x} - S לבין xˉ+S\bar{x} + S?

  1. 50%50\%
  2. 68%68\%
  3. 34%34\%
  4. 96%96\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 68%68\%

הפתרון:

2⋅(19+15)=682 \cdot (19 + 15) = 68

שתי רצועות בכל צד

68%68\%, כשני שלישים מהנתונים. 34%34\% הוא רק צד אחד, ו-96%96\% הוא בין xˉ−2S\bar{x} - 2S ל-xˉ+2S\bar{x} + 2S.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשכבה 800800 תלמידים. הציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070 וסטיית תקן 1010. כמה תלמידים קיבלו יותר מ-9090?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

90=70+20=xˉ+2S\begin{aligned}90 &= 70 + 20 \\ &= \bar{x} + 2S\end{aligned}

שתי סטיות תקן מעל

1.5+0.5=21.5 + 0.5 = 2

אחוז התלמידים מעל 9090

800⋅0.02=16800 \cdot 0.02 = 16

מספר התלמידים

1616 תלמידים. מי שענה 22 עצר באחוז ולא חישב את המספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרו את הרצועות לפי האחוז שבהן, מהגדולה לקטנה.

  • בין xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S ל-xˉ+S\bar{x} + S
  • בין xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S ל-xˉ+2S\bar{x} + 2S
  • בין xˉ+2S\bar{x} + 2S ל-xˉ+2.5S\bar{x} + 2.5S
  • בין xˉ+S\bar{x} + S ל-xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S
  • בין xˉ\bar{x} ל-xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בין xˉ\bar{x} ל-xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S · בין xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S ל-xˉ+S\bar{x} + S · בין xˉ+S\bar{x} + S ל-xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S · בין xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S ל-xˉ+2S\bar{x} + 2S · בין xˉ+2S\bar{x} + 2S ל-xˉ+2.5S\bar{x} + 2.5S

הפתרון:

19>15>9>5>1.519 > 15 > 9 > 5 > 1.5

האחוזים של הנוסחאון

ככל שהרצועה רחוקה יותר מהממוצע, יש בה פחות נתונים: העקומה יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נכון או לא נכון: בכל התפלגות נורמלית, אחוז הנתונים בין xˉ−S\bar{x} - S ל-xˉ\bar{x} שווה לאחוז הנתונים בין xˉ\bar{x} ל-xˉ+S\bar{x} + S.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

15+19=19+15=34\begin{aligned}15 + 19 &= 19 + 15 \\ &= 34\end{aligned}

הסימטריה

נכון. העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן בכל צד 34%34\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

זמן הפעולה של סוללת טלפון מתפלג נורמלית עם ממוצע 1818 שעות וסטיית תקן 22 שעות. כמה אחוזים מהסוללות פועלות בין 1515 ל-1919 שעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62

הפתרון:

15=18−3=xˉ−1.5S\begin{aligned}15 &= 18 - 3 \\ &= \bar{x} - 1.5S\end{aligned}
19=18+1=xˉ+0.5S\begin{aligned}19 &= 18 + 1 \\ &= \bar{x} + 0.5S\end{aligned}
9+15+19+19=629 + 15 + 19 + 19 = 62

ארבע רצועות

62%62\%. הרצועות אינן סימטריות סביב הממוצע: שלוש משמאל ואחת מימין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הסוללות מהשאלה הקודמת: ממוצע 1818 שעות, סטיית תקן 22. איזו שורה בפתרון שגויה?

22=18+2⋅2=xˉ+2S\begin{aligned}22 &= 18 + 2 \cdot 2 \\ &= \bar{x} + 2S\end{aligned}
P(x>22)=5%P(x > 22) = 5\%
1000⋅P(x>22)=201000 \cdot P(x > 22) = 20
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(x>22)=5%P(x > 22) = 5\% → P(x>22)=1.5%+0.5%=2%P(x > 22) = 1.5\% + 0.5\% = 2\%

הפתרון:

x>xˉ+2Sx > \bar{x} + 2S

רק שתי הרצועות האחרונות

1.5+0.5=21.5 + 0.5 = 2

הרצועה של 5%5\% נמצאת לפני xˉ+2S\bar{x} + 2S. מעל 2222 נשארות רק 1.5%1.5\% ו-0.5%0.5\%, יחד 2%2\%. השורה האחרונה כבר השתמשה ב-2%2\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במפעל ממלאים 1,5001{,}500 שקיות אורז. המשקל מתפלג נורמלית עם ממוצע 1,0001{,}000 גרם וסטיית תקן 55 גרם. בכמה שקיות המשקל בין 990990 ל-1,0101{,}010 גרם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1440

הפתרון:

990=xˉ−2S  1010=xˉ+2S\begin{aligned}990 &= \bar{x} - 2S \\ \ \ 1010 &= \bar{x} + 2S\end{aligned}
2⋅48=962 \cdot 48 = 96

האחוז

1500⋅0.96=14401500 \cdot 0.96 = 1440

מספר השקיות

1,4401{,}440 שקיות. רק 4%4\% מהשקיות רחוקות מהממוצע ביותר משתי סטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת