מהאחוז אל הערך

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו קיבלנו ערך ומצאנו אחוז. הרבה שאלות בבגרות הולכות בכיוון ההפוך: נותנים אחוז, ומבקשים ערך.

הפרס ל-2%2\% הטובים

הציונים במבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070 וסטיית תקן 1010. התלמידים שנמצאים ב-2%2\% העליונים מקבלים פרס. מהו הציון הנמוך ביותר שמקבל פרס?

2%=1.5%+0.5%2\% = 1.5\% + 0.5\%

שתי הרצועות האחרונות מימין

x=xˉ+2Sx = \bar{x} + 2S

שם מתחילות שתי הרצועות

x=70+2⋅10=90\begin{aligned}x &= 70 + 2 \cdot 10 \\ &= 90\end{aligned}

הציון

ומי נמצא ב-16%16\% התחתונים באותו מבחן?

להציג את התשובה והפתרון

16=0.5+1.5+5+916 = 0.5 + 1.5 + 5 + 9: ארבע רצועות משמאל. הן מסתיימות ב-xˉ−S=70−10=60\bar{x} - S = 70 - 10 = 60. כלומר, מי שקיבל פחות מ-6060.

טבלת העזר: כמה אחוזים מתחת לכל שנתה

כדאי לזכור כמה אחוזים נמצאים משמאל לכל שנתה. מחברים את הרצועות מהקצה השמאלי.

xˉ−2S\bar{x} - 2S

2%2\%

xˉ−1.5S\bar{x} - 1.5S

7%7\%

xˉ−S\bar{x} - S

16%16\%

xˉ−0.5S\bar{x} - 0.5S

31%31\%

xˉ\bar{x}

50%50\%

xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S

69%69\%

xˉ+S\bar{x} + S

84%84\%

xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S

93%93\%

xˉ+2S\bar{x} + 2S

98%98\%

מוצאים את הממוצע

חשבונות החשמל

חשבונות החשמל בשכונה מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 160160 ש״ח. 16%16\% מהחשבונות נמוכים מ-400400 ש״ח. מהו הממוצע?

16%⇒xˉ−S16\% \Rightarrow \bar{x} - S

מתחת ל-xˉ−S\bar{x} - S נמצאים 16%16\%

xˉ−160=400\bar{x} - 160 = 400

משוואה

xˉ=560\bar{x} = 560

הממוצע: 560560 ש״ח

מוצאים את סטיית התקן

84%84\% מתחת ל-8282

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070. 84%84\% מהתלמידים קיבלו פחות מ-8282. מהי סטיית התקן?

84%⇒xˉ+S84\% \Rightarrow \bar{x} + S

לפי טבלת העזר

70+S=8270 + S = 82

משוואה

S=12S = 12

סטיית התקן

ואם היו אומרים ש-69%69\% קיבלו פחות מ-8282?

להציג את התשובה והפתרון

69%69\% הם xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S. אז 70+0.5S=8270 + 0.5S = 82, 0.5S=120.5S = 12, ולכן S=24S = 24.

שני אחוזים, שני נעלמים

כשלא יודעים לא את הממוצע ולא את סטיית התקן, צריך שני נתונים. כל נתון נותן משוואה.

שני נעלמים

נתונים מתפלגים נורמלית. 69%69\% מהם קטנים מ-6262, ו-16%16\% מהם קטנים מ-5050. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן.

xˉ+0.5S=62\bar{x} + 0.5S = 62

69%69\%

xˉ−S=50\bar{x} - S = 50

16%16\%

1.5S=12⇒S=8\begin{aligned}1.5S &= 12 \Rightarrow S \\ &= 8\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

xˉ=50+8=58\begin{aligned}\bar{x} &= 50 + 8 \\ &= 58\end{aligned}

מציבים

האחוז אינו מספר סטיות תקן.

16%⇒x=xˉ−1616\% \Rightarrow x = \bar{x} - 16
16%⇒x=xˉ−S16\% \Rightarrow x = \bar{x} - S

האחוז אומר באיזו שנתה עומדים. את השנתה מתרגמים לסטיות תקן.

84%⇒x=xˉ+0.84S84\% \Rightarrow x = \bar{x} + 0.84S
84%⇒x=xˉ+S84\% \Rightarrow x = \bar{x} + S

84%84\% הם 50+19+1550 + 19 + 15: שתי רצועות מעל הממוצע, כלומר סטיית תקן שלמה.

תרגילים

תרגיל 1

מנת המשכל (IQ) מתפלגת נורמלית עם ממוצע 100100 וסטיית תקן 1515. ל-16%16\% מהאנשים מנת משכל גבוהה מערך מסוים. מהו הערך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 115

הפתרון:

16%=9+5+1.5+0.516\% = 9 + 5 + 1.5 + 0.5

ארבע רצועות מימין

xˉ+S=100+15=115\begin{aligned}\bar{x} + S &= 100 + 15 \\ &= 115\end{aligned}

השנתה שבה הן מתחילות

115115. מעל xˉ+S\bar{x} + S נמצאים 16%16\%, ומתחת ל-xˉ−S\bar{x} - S עוד 16%16\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משקל של ביצים מתפלג נורמלית עם ממוצע 6060 גרם וסטיית תקן 44 גרם. 7%7\% מהביצים הקלות ביותר נפסלות. מתחת לאיזה משקל ביצה נפסלת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

7%=0.5+1.5+57\% = 0.5 + 1.5 + 5

שלוש רצועות משמאל

xˉ−1.5S=60−6=54\begin{aligned}\bar{x} - 1.5S &= 60 - 6 \\ &= 54\end{aligned}

5454 גרם. מי שענה 5353 חיסר 77 גרם במקום 1.51.5 סטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

משקל של חבילות שוקולד מתפלג נורמלית עם סטיית תקן 1010 גרם. 31%31\% מהחבילות שוקלות פחות מ-245245 גרם. מהו המשקל הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 250

הפתרון:

31%⇒xˉ−0.5S31\% \Rightarrow \bar{x} - 0.5S

לפי טבלת העזר

xˉ−5=245\bar{x} - 5 = 245
xˉ=250\bar{x} = 250

הממוצע 250250 גרם. 245245 נמצא חצי סטיית תקן מתחת לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

אורך של ברגים מתפלג נורמלית עם ממוצע 3030 מ״מ. 98%98\% מהברגים קצרים מ-3434 מ״מ. מהי סטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

98%⇒xˉ+2S98\% \Rightarrow \bar{x} + 2S

רק 2%2\% מעל

30+2S=3430 + 2S = 34
S=2S = 2

סטיית התקן 22 מ״מ. שימו לב: 34−30=434 - 30 = 4 הם שתי סטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה אחוזים מהנתונים נמצאים מתחת ל-xˉ+S\bar{x} + S?

  1. 34%34\%
  2. 16%16\%
  3. 66%66\%
  4. 84%84\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 84%84\%

הפתרון:

50+19+15=8450 + 19 + 15 = 84

כל החצי השמאלי ועוד שתי רצועות

84%84\%. מי שבחר 34%34\% ספר רק את מה שבין הממוצע ל-xˉ+S\bar{x} + S, ושכח את החצי שמתחת לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השלימו לפי הנוסחאון.

מתחת ל-xˉ−S\bar{x} - S: ____% ; מתחת ל-xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S: ____% ; מעל xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S: ____%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מתחת ל-xˉ−S\bar{x} - S: 16% ; מתחת ל-xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S: 69% ; מעל xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S: 7%

הפתרון:

0.5+1.5+5+9=160.5 + 1.5 + 5 + 9 = 16
50+19=6950 + 19 = 69
5+1.5+0.5=75 + 1.5 + 0.5 = 7

מתחת לממוצע תמיד 50%50\%, וזה מקצר את החישוב של «מתחת ל-xˉ+0.5S\bar{x} + 0.5S».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

זמני הריצה של אתלטים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 5656 שניות. 2%2\% מהאתלטים רצים מהר יותר מ-5050 שניות. מהי סטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2%⇒xˉ−2S2\% \Rightarrow \bar{x} - 2S

המהירים ביותר: הזמנים הקטנים

56−2S=5056 - 2S = 50
S=3S = 3

סטיית התקן 33 שניות. «מהר יותר» פירושו זמן קטן יותר, ולכן מסתכלים על הצד השמאלי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונים מתפלגים נורמלית. 7%7\% מהם קטנים מ-3131, ו-69%69\% מהם קטנים מ-4343. מצאו את סטיית התקן ואת הממוצע.

סטיית התקן: ____ ; הממוצע: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סטיית התקן: 6 ; הממוצע: 40

הפתרון:

xˉ−1.5S=31\bar{x} - 1.5S = 31

7%7\%

xˉ+0.5S=43\bar{x} + 0.5S = 43

69%69\%

2S=12⇒S=6\begin{aligned}2S &= 12 \Rightarrow S \\ &= 6\end{aligned}

מחסרים

xˉ=43−3=40\begin{aligned}\bar{x} &= 43 - 3 \\ &= 40\end{aligned}

מציבים

S=6S = 6 ו-xˉ=40\bar{x} = 40. בין 3131 ל-4343 יש שתי סטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בשכבה 500500 תלמידים. הציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7575. 8080 תלמידים קיבלו יותר מ-8585. מהי סטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

80500=0.16=16%\begin{aligned}\frac{80}{500} &= 0.16 \\ &= 16\%\end{aligned}

אחוז התלמידים מעל 8585

16%⇒xˉ+S16\% \Rightarrow \bar{x} + S
75+S=85⇒S=10\begin{aligned}75 + S &= 85 \Rightarrow S \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן 1010. קודם הופכים את מספר התלמידים לאחוז, ורק אז משתמשים בעקומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נכון או לא נכון: אם בהתפלגות נורמלית 50%50\% מהנתונים גדולים מ-6464, אז הממוצע הוא 6464.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

50%⇒xˉ50\% \Rightarrow \bar{x}

הממוצע מחלק את העקומה לשני חצאים

נכון. בעקומה נורמלית הממוצע הוא בדיוק הנקודה שמחלקת את הנתונים לחצי וחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 7070. 84%84\% מהתלמידים קיבלו פחות מ-8282. איזו שורה בפתרון שגויה?

84%=50%+34%84\% = 50\% + 34\%
82=xˉ−S82 = \bar{x} - S
S=12S = 12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 82=xˉ−S82 = \bar{x} - S → 82=xˉ+S82 = \bar{x} + S

הפתרון:

84%>50%84\% > 50\%

הערך נמצא מעל הממוצע

82=70+S⇒S=12\begin{aligned}82 &= 70 + S \Rightarrow S \\ &= 12\end{aligned}

יותר מחצי מהתלמידים מתחת ל-8282, לכן 8282 נמצא מעל הממוצע: 82=xˉ+S82 = \bar{x} + S. התוצאה S=12S = 12 נכונה רק עם השורה המתוקנת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

34%34\% מהנתונים נמצאים בין הממוצע 200200 לבין 230230. מהי סטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

34%=19%+15%34\% = 19\% + 15\%

שתי רצועות

230=xˉ+S230 = \bar{x} + S
S=30S = 30

סטיית התקן 3030. 34%34\% הם בדיוק סטיית תקן אחת מהממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת