ציון תקן

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ציון התקן אומר כמה סטיות תקן נתון רחוק מהממוצע, ובאיזה כיוון. בנוסחאון מסמנים אותו באות zz.

z=x−xˉSz = \frac{x - \bar{x}}{S}

חייל בגובה 181181 ס״מ

הגובה של החיילים: ממוצע 172172 ס״מ, סטיית תקן 66 ס״מ. מהו ציון התקן של חייל בגובה 181181 ס״מ?

z=181−1726z = \frac{181 - 172}{6}

מציבים בנוסחה

z=96=1.5\begin{aligned}z &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

חצי סטיית תקן ועוד אחת

z>0z > 0

הנתון מעל הממוצע

z=0z = 0

הנתון שווה לממוצע

z<0z < 0

הנתון מתחת לממוצע

מהו ציון התקן של חייל בגובה 166166 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

z=166−1726=−1z = \frac{166 - 172}{6} = -1. החייל נמוך מהממוצע בסטיית תקן אחת.

מציון התקן אל האחוז

כש-zz הוא כפולה של 0.50.5, מוצאים את האחוז בעקומה של הנוסחאון. z=1.5z = 1.5 פירושו השנתה xˉ+1.5S\bar{x} + 1.5S.

ציון 5858

ציוני מבחן: ממוצע 7070, סטיית תקן 88. כמה אחוזים מהתלמידים קיבלו פחות מ-5858?

z=58−708=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{58 - 70}{8} \\ &= -1.5\end{aligned}

ציון התקן

0.5+1.5+5=70.5 + 1.5 + 5 = 7

הרצועות משמאל ל-z=−1.5z = -1.5

7%7\%

התשובה

השוואה בין שתי קבוצות

ציון 8282 במבחן קשה יכול להיות הישג גדול יותר מציון 8888 במבחן קל. ציון התקן משווה כל נתון לקבוצה שלו.

מי הצליח יותר?

נועה: 8282, ממוצע 7070, סטיית תקן 88. איתי: 8888, ממוצע 8080, סטיית תקן 1010.

zנועה=82−708=1.5\begin{aligned}z_{\text{נועה}} &= \frac{82 - 70}{8} \\ &= 1.5\end{aligned}
zאיתי=88−8010=0.8\begin{aligned}z_{\text{איתי}} &= \frac{88 - 80}{10} \\ &= 0.8\end{aligned}
1.5>0.81.5 > 0.8

נועה הצליחה יותר ביחס לקבוצה שלה

ומה אם מדובר בזמני ריצה, שבהם זמן קצר הוא טוב?

להציג את התשובה והפתרון

אז ציון התקן הקטן יותר הוא ההישג הטוב יותר. z=−2z = -2 אומר שהרץ מהיר מהממוצע בשתי סטיות תקן.

מציון התקן אל הערך

x=xˉ+z⋅Sx = \bar{x} + z \cdot S

z=−2z = -2

אורך חיי נורה: ממוצע 500500 שעות, סטיית תקן 4040. לנורה מסוימת z=−2z = -2. כמה שעות היא פעלה?

x=500+(−2)⋅40x = 500 + (-2) \cdot 40
x=420x = 420

שעות

שתי טעויות בנוסחה.

z=xˉ−xSz = \frac{\bar{x} - x}{S}
z=x−xˉSz = \frac{x - \bar{x}}{S}

קודם הנתון, אחר כך הממוצע. אחרת הסימן מתהפך, ונתון מעל הממוצע יקבל zz שלילי.

z=x−xˉz = x - \bar{x}
z=x−xˉSz = \frac{x - \bar{x}}{S}

ההפרש לבד הוא ביחידות של הנתונים. רק אחרי החלוקה ב-SS מקבלים מספר סטיות תקן.

תרגילים

תרגיל 1

ציוני מבחן: ממוצע 7070, סטיית תקן 1010. מהו ציון התקן של ציון 8585?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

z=85−7010=1510=1.5\begin{aligned}z &= \frac{85 - 70}{10} \\ &= \frac{15}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

z=1.5z = 1.5: הציון גבוה מהממוצע באחת וחצי סטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משקל תינוקות בלידה: ממוצע 3,2003{,}200 גרם, סטיית תקן 400400 גרם. מהו ציון התקן של תינוק שנולד במשקל 2,6002{,}600 גרם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.5

הפתרון:

z=2600−3200400=−600400=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{2600 - 3200}{400} \\ &= \frac{-600}{400} \\ &= -1.5\end{aligned}

z=−1.5z = -1.5. הסימן השלילי אומר שהתינוק קל מהממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בהתפלגות עם ממוצע 6060 וסטיית תקן 77, לנתון מסוים ציון תקן 22. מהו הנתון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 74

הפתרון:

x=60+2⋅7=74\begin{aligned}x &= 60 + 2 \cdot 7 \\ &= 74\end{aligned}

x=xˉ+z⋅Sx = \bar{x} + z \cdot S

x=74x = 74.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

דנה קיבלה 8080 במתמטיקה (ממוצע הכיתה 7070, סטיית תקן 55) ו-8585 באנגלית (ממוצע 7575, סטיית תקן 1010). באיזה מקצוע היא הצליחה יותר ביחס לכיתה?

  1. באותה מידה, כי בשניהם 1010 נקודות מעל הממוצע
  2. באנגלית, כי הציון גבוה יותר
  3. באנגלית
  4. במתמטיקה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד במתמטיקה

הפתרון:

z1=80−705=2\begin{aligned}z_1 &= \frac{80 - 70}{5} \\ &= 2\end{aligned}

מתמטיקה

z2=85−7510=1\begin{aligned}z_2 &= \frac{85 - 75}{10} \\ &= 1\end{aligned}

אנגלית

2>12 > 1

במתמטיקה. בשני המקצועות דנה גבוהה ב-1010 נקודות מהממוצע, אבל במתמטיקה 1010 נקודות הן שתי סטיות תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה אחוזים מהנתונים נמצאים מעל נתון שציון התקן שלו z=1z = 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

z=1⇒xˉ+Sz = 1 \Rightarrow \bar{x} + S
9+5+1.5+0.5=169 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16

16%16\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה אחוזים מהנתונים נמצאים מתחת לנתון שציון התקן שלו z=0.5z = 0.5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 69

הפתרון:

50+19=6950 + 19 = 69

חצי העקומה ועוד רצועה

69%69\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מספר הדקות שתלמידים קוראים ביום מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 וסטיית תקן 44. השלימו.

ציון התקן של 4646 דקות: ____ ; הנתון שציון התקן שלו −1-1: ____ ; אחוז התלמידים שקוראים פחות מ-4646 דקות: ____%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ציון התקן של 4646 דקות: 1.5 ; הנתון שציון התקן שלו −1-1: 36 ; אחוז התלמידים שקוראים פחות מ-4646 דקות: 93%

הפתרון:

z=46−404=1.5\begin{aligned}z &= \frac{46 - 40}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}
x=40−4=36\begin{aligned}x &= 40 - 4 \\ &= 36\end{aligned}
50+19+15+9=9350 + 19 + 15 + 9 = 93

אחרי שמוצאים את zz, האחוז נקרא מהעקומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נכון או לא נכון: נתון שציון התקן שלו 00 שווה לממוצע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0=x−xˉS⇒x=xˉ\begin{aligned}0 &= \frac{x - \bar{x}}{S} \Rightarrow x \\ &= \bar{x}\end{aligned}

נכון. המונה מתאפס רק כאשר x=xˉx = \bar{x}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו כל ציון תקן לתיאור שלו.

  • z=0z = 0
  • z=2z = 2
  • z=−1z = -1
  • z=0.5z = 0.5
  • חצי סטיית תקן מעל הממוצע
  • סטיית תקן אחת מתחת לממוצע
  • שווה לממוצע
  • שתי סטיות תקן מעל הממוצע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: z=0z = 0 — שווה לממוצע · z=2z = 2 — שתי סטיות תקן מעל הממוצע · z=−1z = -1 — סטיית תקן אחת מתחת לממוצע · z=0.5z = 0.5 — חצי סטיית תקן מעל הממוצע

הפתרון:

z=מספר סטיות התקןz = \text{מספר סטיות התקן}

הסימן אומר את הכיוון

המספר אומר כמה, והסימן אומר לאיזה צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בהתפלגות עם ממוצע 8080, לציון 9090 יש ציון תקן 22. מהי סטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2=90−80S2 = \frac{90 - 80}{S}
S=102=5\begin{aligned}S &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

S=5S = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

זמן נסיעה: ממוצע 4545 דקות, סטיית תקן 66. רוצים את ציון התקן של נסיעה בת 3636 דקות. איזו שורה שגויה?

z=36−456z = \frac{36 - 45}{6}
z=96z = \frac{9}{6}
z=1.5z = 1.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: z=96z = \frac{9}{6} → z=−96=−1.5z = \frac{-9}{6} = -1.5

הפתרון:

36−45=−936 - 45 = -9

הנתון קטן מהממוצע

בשורה השנייה הסימן אבד. 36<4536 < 45, לכן ציון התקן שלילי: −1.5-1.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו את התלמידים: מי מעל ממוצע הכיתה, ומי מתחתיו?

  • מעל הממוצע
  • מתחת לממוצע
  • אורי, z=1.2z = 1.2
  • ליה, z=−2z = -2
  • מאיה, z=−0.5z = -0.5
  • שחר, z=0.3z = 0.3
  • תום, z=2.4z = 2.4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אורי, z=1.2z = 1.2 — מעל הממוצע · מאיה, z=−0.5z = -0.5 — מתחת לממוצע · שחר, z=0.3z = 0.3 — מעל הממוצע · ליה, z=−2z = -2 — מתחת לממוצע · תום, z=2.4z = 2.4 — מעל הממוצע

הפתרון:

z>0⇒x>xˉz > 0 \Rightarrow x > \bar{x}

הסימן של zz מספיק כדי לדעת באיזה צד של הממוצע נמצא הנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת