פותרים יחד · התפלגות נורמלית וציון תקן · כיתה י״ב

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: אחוז מתוך העקומה, מציאת ממוצע וסטיית תקן, השוואה בעזרת ציון תקן, ובקרת איכות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה.

בבחינה כתבו כל שלב: איזו שנתה, אילו רצועות, ואיזה חשבון. כשהשאלה מבקשת «על פי גרף ההתפלגות הנורמלית», השתמשו באחוזים של הנוסחאון בלבד.

1 — חשבונות המים

פעילות אינטראקטיבית

חשבונות המים של משפחות בעיר מתפלגים נורמלית. סטיית התקן היא $40$ ש״ח, ו- $16\%$ מהחשבונות נמוכים מ- $180$ ש״ח. א. מצאו את הממוצע. ב. כמה אחוזים מהחשבונות בין $200$ ל- $300$ ש״ח? ג. בעיר $5{,}000$ משפחות. כמה משפחות משלמות יותר מ- $300$ ש״ח? ד. ציון התקן של משפחת לוי הוא $1.2$ . האם היא משלמת יותר מ- $260$ ש״ח?

\begin{aligned}\bar{x} &= ? \quad S \\ &= 40\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם מתרגמים את $16\%$ לשנתה.

א.

16\% \Rightarrow \bar{x} - S

$16\%$ מתחת: ארבע רצועות משמאל.

א.

\begin{aligned}\bar{x} - 40 &= 180 \Rightarrow \bar{x} \\ &= 220\end{aligned}

הממוצע: $220$ ש״ח.

ב.

\begin{aligned}200 &= \bar{x} - 0.5S \\ \quad 300 &= \bar{x} + 2S\end{aligned}

$20 = 0.5 \cdot 40$ ו- $80 = 2 \cdot 40$ .

ב.

19 + 19 + 15 + 9 + 5 = 67

$67\%$ מהחשבונות.

ג.

1.5\% + 0.5\% = 2\%

מעל $\bar{x} + 2S$ .

ג.

5000 \cdot 0.02 = 100

$100$ משפחות.

ד.

\begin{aligned}x &= 220 + 1.2 \cdot 40 \\ &= 268\end{aligned}

מתרגמים את ציון התקן לסכום.

ד.

268 > 260

כן, משפחת לוי משלמת יותר מ- $260$ ש״ח.

שני מקומות שבהם השאלה «תופסת»: $16\%$ הם $\bar{x} - S$ ולא $\bar{x} - 16$ , ובסעיף ג צריך מספר משפחות, לא אחוז.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם היו שואלים כמה אחוזים מהחשבונות בין $140$ ל- $180$ ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

$140 = \bar{x} - 2S$ ו- $180 = \bar{x} - S$ . בין שתי השנתות: $5\% + 9\% = 14\%$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שני אחוזים, שני נעלמים

פעילות אינטראקטיבית

ציוני מבחן ארצי מתפלגים נורמלית. $69\%$ מהתלמידים קיבלו פחות מ- $80$ , ו- $7\%$ קיבלו פחות מ- $56$ . א. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן. ב. כמה אחוזים קיבלו בין $68$ ל- $92$ ? ג. בבית ספר $400$ תלמידים. כמה מהם קיבלו יותר מ- $86$ , אם ההתפלגות בבית הספר זהה?

69\%:\ 80 \qquad 7\%:\ 56

לחצו «להתחיל». כל אחוז נותן משוואה.

א.

\bar{x} + 0.5S = 80

$69\% = 50\% + 19\%$

א.

\bar{x} - 1.5S = 56

$7\% = 0.5\% + 1.5\% + 5\%$

א.

\begin{aligned}2S &= 24 \Rightarrow S \\ &= 12\end{aligned}

מחסרים את המשוואות.

א.

\begin{aligned}\bar{x} &= 80 - 6 \\ &= 74\end{aligned}

מציבים.

ב.

\begin{aligned}68 &= \bar{x} - 0.5S \\ \quad 92 &= \bar{x} + 1.5S\end{aligned}

ב.

19 + 19 + 15 + 9 = 62

$62\%$

ג.

86 = \bar{x} + S \Rightarrow 16\%

ג.

400 \cdot 0.16 = 64

$64$ תלמידים.

בין $56$ ל- $80$ יש שתי סטיות תקן: מ- $\bar{x} - 1.5S$ עד $\bar{x} + 0.5S$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

איך בודקים שהממוצע וסטיית התקן נכונים?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים בחזרה: $74 + 0.5 \cdot 12 = 80$ ✓, ו- $74 - 1.5 \cdot 12 = 56$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מי הצליחה יותר?

פעילות אינטראקטיבית

רונה רצה $100$ מטר ב- $13.2$ שניות. בקבוצה שלה הזמנים מתפלגים נורמלית עם ממוצע $14$ שניות וסטיית תקן $0.4$ שניות. ליאור שחתה $50$ מטר ב- $31$ שניות. בקבוצה שלה הממוצע $33$ שניות וסטיית התקן $1.6$ שניות. א. מצאו את ציון התקן של כל אחת. ב. מי הצליחה יותר ביחס לקבוצה שלה? נמקו. ג. כמה אחוזים מהרצות בקבוצה של רונה מהירות ממנה?

z = \frac{x - \bar{x}}{S}

לחצו «להתחיל». שימו לב: כאן זמן קצר הוא טוב.

א.

\begin{aligned}z_{\text{רונה}} &= \frac{13.2 - 14}{0.4} \\ &= -2\end{aligned}

א.

\begin{aligned}z_{\text{ליאור}} &= \frac{31 - 33}{1.6} \\ &= -1.25\end{aligned}

ב.

-2 < -1.25

שתיהן מהירות מהממוצע, אבל רונה בשתי סטיות תקן. רונה הצליחה יותר.

ג.

\begin{aligned}z &= -2 \Rightarrow 1.5\% + 0.5\% \\ &= 2\%\end{aligned}

רק $2\%$ מהרצות מהירות מרונה.

בזמנים, ציון תקן שלילי הוא הישג. מי שבחר את ציון התקן הגדול יותר בחר את האיטית.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר למצוא באותה דרך כמה אחוזים מהשחיינות מהירות מליאור?

להציג את התשובה והפתרון

לא בעזרת הנוסחאון בלבד: $-1.25$ אינו כפולה של $0.5$ . אפשר רק לומר שהאחוז בין $7\%$ ל- $16\%$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — בקבוקים שנפסלים

פעילות אינטראקטיבית

מכונה ממלאת בקבוקי מים. הנפח מתפלג נורמלית עם ממוצע $500$ מ״ל וסטיית תקן $4$ מ״ל. בקבוק שנפחו פחות מ- $494$ מ״ל נפסל. א. כמה אחוזים מהבקבוקים נפסלים? ב. כמה בקבוקים נפסלים מתוך $3{,}000$ ? ג. המפעל רוצה שרק $2\%$ מהבקבוקים ייפסלו. סטיית התקן לא משתנה. לאיזה ממוצע צריך לכוון את המכונה?

\begin{aligned}\bar{x} &= 500 \quad S \\ &= 4\end{aligned}

לחצו «להתחיל».

א.

\begin{aligned}494 &= 500 - 6 \\ &= \bar{x} - 1.5S\end{aligned}

א.

0.5 + 1.5 + 5 = 7

$7\%$ נפסלים.

ב.

3000 \cdot 0.07 = 210

$210$ בקבוקים.

ג.

2\% \Rightarrow \bar{x} - 2S = 494

הגבול צריך להיות שתי סטיות תקן מתחת לממוצע.

ג.

\begin{aligned}\bar{x} &= 494 + 8 \\ &= 502\end{aligned}

מכוונים ל- $502$ מ״ל.

בסעיף ג הגבול $494$ קבוע, והממוצע זז. מזיזים את כל הפעמון ימינה.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה המפעל לא מכוון פשוט ל- $510$ מ״ל, ואז כמעט אף בקבוק לא נפסל?

להציג את התשובה והפתרון

כי כל מיליליטר מעל $500$ הוא מים שהמפעל נותן בחינם. הוא מחפש את הממוצע הקטן ביותר שעומד בדרישה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

שאלה 1. משך השיחות במוקד מתפלג נורמלית. סטיית התקן $50$ שניות, ו- $16\%$ מהשיחות קצרות מ- $300$ שניות. השלימו.

הממוצע: ____ שניות ; אחוז השיחות בין $325$ ל- $400$ שניות: ____% ; מתוך $2{,}000$ שיחות, מספר השיחות הארוכות מ- $400$ שניות: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 350 שניות ; אחוז השיחות בין $325$ ל- $400$ שניות: 53% ; מתוך $2{,}000$ שיחות, מספר השיחות הארוכות מ- $400$ שניות: 320

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} - 50 &= 300 \Rightarrow \bar{x} \\ &= 350\end{aligned}

$16\%$ הם $\bar{x} - S$

\begin{aligned}325 &= \bar{x} - 0.5S \\ \ 400 &= \bar{x} + S \Rightarrow 19 + 19 + 15 \\ &= 53\end{aligned}

\begin{aligned}400 &= \bar{x} + S \Rightarrow 16\% \\ \ 2000 \cdot 0.16 &= 320\end{aligned}

כמו בשאלה 1 של הדרך: האחוז הופך לשנתה, השנתה הופכת למשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שאלה 2. גובה שתילים במשתלה מתפלג נורמלית. $84\%$ מהשתילים נמוכים מ- $64$ ס״מ, ו- $2\%$ מהם נמוכים מ- $34$ ס״מ. השלימו.

סטיית התקן: ____ ; הממוצע: ____ ; מתוך $600$ שתילים, מספר השתילים בין $49$ ל- $74$ ס״מ: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סטיית התקן: 10 ; הממוצע: 54 ; מתוך $600$ שתילים, מספר השתילים בין $49$ ל- $74$ ס״מ: 402

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} + S &= 64 \\ \ \ \bar{x} - 2S &= 34\end{aligned}

$84\%$ ו- $2\%$

\begin{aligned}3S &= 30 \Rightarrow S \\ &= 10\end{aligned}

מחסרים

\begin{aligned}\bar{x} &= 64 - 10 \\ &= 54\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}49 &= \bar{x} - 0.5S \\ \ 74 &= \bar{x} + 2S \Rightarrow 67\%\end{aligned}

600 \cdot 0.67 = 402

מספר השתילים

בין $34$ ל- $64$ יש שלוש סטיות תקן: מ- $\bar{x} - 2S$ עד $\bar{x} + S$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שאלה 3. נועם רץ $400$ מטר ב- $48$ שניות; בקבוצה שלו ממוצע $52$ וסטיית תקן $2$ . עדי רכבה מסלול ב- $95$ שניות; בקבוצה שלה ממוצע $100$ וסטיית תקן $4$ . השלימו. בסעיף האחרון כתבו $1$ אם נועם הצליח יותר, ו- $2$ אם עדי.

ציון התקן של נועם: ____ ; ציון התקן של עדי: ____ ; מי הצליח יותר: ____ ; אחוז הרצים בקבוצה של נועם שמהירים ממנו: ____%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ציון התקן של נועם: -2 ; ציון התקן של עדי: -1.25 ; מי הצליח יותר: 1 ; אחוז הרצים בקבוצה של נועם שמהירים ממנו: 2%

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{48 - 52}{2} \\ &= -2\end{aligned}

נועם

\begin{aligned}z &= \frac{95 - 100}{4} \\ &= -1.25\end{aligned}

עדי

-2 < -1.25

בזמנים, ציון תקן קטן יותר הוא טוב יותר

1.5 + 0.5 = 2

נועם הצליח יותר. מהירים ממנו רק $2\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שאלה 4. מכונה ממלאת שקי מלט. המשקל מתפלג נורמלית עם ממוצע $1{,}000$ גרם וסטיית תקן $8$ גרם. שק שמשקלו פחות מ- $984$ גרם נפסל. השלימו.

אחוז השקים שנפסלים: ____% ; אם רוצים ש- $7\%$ ייפסלו כאשר הגבול הוא $980$ גרם, הממוצע צריך להיות: ____ גרם

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אחוז השקים שנפסלים: 2% ; אם רוצים ש- $7\%$ ייפסלו כאשר הגבול הוא $980$ גרם, הממוצע צריך להיות: 992 גרם

הפתרון:

\begin{aligned}984 &= 1000 - 16 \\ &= \bar{x} - 2S \Rightarrow 2\%\end{aligned}

7\% \Rightarrow \bar{x} - 1.5S = 980

\begin{aligned}\bar{x} &= 980 + 12 \\ &= 992\end{aligned}

בסעיף השני הגבול קבוע, ומחפשים את הממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חשבונות המים

2 — שני אחוזים, שני נעלמים

3 — מי הצליחה יותר?

4 — בקבוקים שנפסלים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev