מודל ריבועי בחיים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשאלות של הבגרות הפרבולה מתארת מצב מהחיים: גובה של כדור, רווח של חנות, צורה של גשר. החשבון זהה. מה שמשתנה: צריך לתרגם כל תשובה בחזרה לסיפור.

הכדור של מזל

מזל זורקת כדור כלפי מעלה. הגובה שלו (במטרים) אחרי xx שניות הוא y=−5x2+10x+1.5y = -5x^2 + 10x + 1.5.

גובה הכדור של מזל
00.511.522.501234567שניותמטרים

ארבע שאלות על אותו כדור

א. מאיזה גובה נזרק הכדור? ב. מתי הוא בשיא, ובאיזה גובה? ג. מתי הוא נוחת? ד. האם יש משמעות ל-x=3x = 3?

x=0⇒y=1.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1.5\end{aligned}

א. מגובה 1.51.5 מטרים

x=−10−10=1  y=−5+10+1.5=6.5\begin{aligned}x &= \frac{-10}{-10} \\ &= 1 \\ \ \ y &= -5 + 10 + 1.5 \\ &= 6.5\end{aligned}

ב. אחרי שנייה, בגובה 6.56.5 מטרים

x=−10±100+30−10⇒x≈2.14x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 30}}{-10} \Rightarrow x \approx 2.14

ג. הפתרון השני, −0.14-0.14, נפסל: זמן שלילי

x=3>2.14x = 3 > 2.14

ד. אין משמעות: הכדור כבר על הקרקע

למה פוסלים את x≈−0.14x \approx -0.14?

להציג את התשובה והפתרון

כי הזמן מתחיל ב-00, ברגע הזריקה. פתרון שלילי הוא פתרון של המשוואה, אבל לא של הסיפור.

רווח של חנות

חנות מוכרת כובעים. אם המחיר הוא xx ש״ח, הרווח היומי הוא y=−x2+40x−300y = -x^2 + 40x - 300 ש״ח.

מחיר, רווח, הפסד

א. באיזה מחיר הרווח מקסימלי, ומהו? ב. באילו מחירים החנות מרוויחה?

x=−40−2=20  y=−400+800−300=100\begin{aligned}x &= \frac{-40}{-2} \\ &= 20 \\ \ \ y &= -400 + 800 - 300 \\ &= 100\end{aligned}

א. מחיר 2020 ש״ח, רווח 100100 ש״ח

−x2+40x−300=0⇒x=10 x=30\begin{aligned}-x^2 + 40x - 300 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10 \\ \ x &= 30\end{aligned}

נקודות האפס

10<x<3010 < x < 30

ב. תחום החיוביות: שם יש רווח

«מתי מרוויחים» = תחום חיוביות. «מתי הרווח גדל» = תחום עלייה. שתי שאלות שונות, ושני תחומים שונים.

מקדם לא ידוע

לפעמים חסר מקדם, ונותנים נקודה על הגרף. מציבים את הנקודה, ומקבלים משוואה ל-aa.

ההון של מפעל

ההון של מפעל (במיליוני ש״ח) אחרי xx שנים הוא y=ax2−3x+6.5y = ax^2 - 3x + 6.5. אחרי שנה ההון היה 44 מיליון. מצאו את aa.

4=a⋅1−3+6.54 = a \cdot 1 - 3 + 6.5

מציבים (1, 4)(1,\ 4)

a=0.5a = 0.5
a>0a > 0

יש להון מינימום: הוא יורד ואחר כך עולה

שתי טעויות בשאלות מהחיים.

x1=−0.14 x2=2.14\begin{aligned}x_1 &= -0.14 \\ \ x_2 &= 2.14\end{aligned}
x=2.14x = 2.14

פתרון שלילי של זמן נפסל. כותבים במפורש למה.

מרוויחים: x<20\text{מרוויחים}:\ x < 20
מרוויחים: 10<x<30\text{מרוויחים}:\ 10 < x < 30

x<20x < 20 הוא תחום העלייה של הרווח. הרווח חיובי בין נקודות האפס.

תרגילים

תרגיל 1

הגובה של כדור (במטרים) הוא y=−5x2+10x+1.5y = -5x^2 + 10x + 1.5, כאשר xx בשניות. באיזה גובה היה הכדור אחרי חצי שנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.25

הפתרון:

y=−5⋅0.25+5+1.5=5.25\begin{aligned}y &= -5 \cdot 0.25 + 5 + 1.5 \\ &= 5.25\end{aligned}

5.255.25 מטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

דני זורק אבן. הגובה שלה (במטרים) הוא y=−5x2+25x+30y = -5x^2 + 25x + 30. השלימו.

גובה הזריקה: ____ ; הזמן שבו האבן בשיא: ____ שניות ; הגובה בשיא: ____ מטרים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גובה הזריקה: 30 ; הזמן שבו האבן בשיא: 2.5 שניות ; הגובה בשיא: 61.25 מטרים

הפתרון:

x=0⇒y=30\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 30\end{aligned}
x=−25−10=2.5\begin{aligned}x &= \frac{-25}{-10} \\ &= 2.5\end{aligned}
y=−31.25+62.5+30=61.25\begin{aligned}y &= -31.25 + 62.5 + 30 \\ &= 61.25\end{aligned}

הקודקוד (2.5, 61.25)(2.5,\ 61.25).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותה זריקה של דני (y=−5x2+25x+30y = -5x^2 + 25x + 30): אחרי כמה שניות האבן נופלת לקרקע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

−5x2+25x+30=0-5x^2 + 25x + 30 = 0
x2−5x−6=0x^2 - 5x - 6 = 0

מחלקים ב-−5-5

x=6 x=−1\begin{aligned}x &= 6 \\ \ x &= -1\end{aligned}
x=6x = 6

−1-1 נפסל

אחרי 66 שניות. הפתרון x=−1x = -1 נפסל, כי זמן שלילי אין לו משמעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה זריקה: כמה זמן האבן הייתה מעל גובה 5050 מטרים? השלימו.

האבן בגובה 5050 ב-x=x = ____ וב-x=x = ____ ; משך הזמן: ____ שניות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האבן בגובה 5050 ב-x=x = 1 וב-x=x = 4 ; משך הזמן: 3 שניות

הפתרון:

−5x2+25x+30=50-5x^2 + 25x + 30 = 50
x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0
x=1 x=4\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}
4−1=34 - 1 = 3

33 שניות: מהשנייה הראשונה עד השנייה הרביעית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

רווח יומי של מאפייה (בש״ח) הוא y=−2x2+80x−600y = -2x^2 + 80x - 600, כאשר xx הוא מספר העובדים. כמה עובדים נותנים רווח מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

x=−80−4=20\begin{aligned}x &= \frac{-80}{-4} \\ &= 20\end{aligned}

2020 עובדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותה מאפייה: באיזה תחום של מספר עובדים יש רווח (רווח חיובי)?

____ <x<< x < ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10 <x<< x < 30

הפתרון:

−2x2+80x−600=0-2x^2 + 80x - 600 = 0
x2−40x+300=0x^2 - 40x + 300 = 0
x=10 x=30\begin{aligned}x &= 10 \\ \ x &= 30\end{aligned}

בין 1010 ל-3030 עובדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפרבולה y=ax2+6xy = ax^2 + 6x מתארת את גובה הקשת של שער (במטרים), כאשר הקשת פוגשת שוב את הקרקע ב-x=6x = 6. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

0=36a+360 = 36a + 36

מציבים (6, 0)(6,\ 0)

a=−1a = -1

a=−1a = -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותו שער (y=−x2+6xy = -x^2 + 6x): מה הגובה המקסימלי של הקשת, במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

x=3 y=−9+18=9\begin{aligned}x &= 3 \\ \ y &= -9 + 18 \\ &= 9\end{aligned}

99 מטרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגובה של רקטת צעצוע הוא y=−5x2+40xy = -5x^2 + 40x. מה התחום שיש לו משמעות בבעיה?

  1. 0≤x≤40 \le x \le 4
  2. 0≤x≤80 \le x \le 8
  3. כל ערך של xx
  4. x≥0x \ge 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0≤x≤80 \le x \le 8

הפתרון:

−5x2+40x=0⇒x=0 x=8\begin{aligned}-5x^2 + 40x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 8\end{aligned}

מרגע השיגור (x=0x = 0) עד הנחיתה (x=8x = 8). אחרי 88 הנוסחה נותנת גובה שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נכון או לא נכון: בבעיה של זריקת כדור, תחום העלייה של הגובה מתחיל ברגע הזריקה ומסתיים בקודקוד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0<x<xקודקוד0 < x < x_{\text{קודקוד}}

נכון, כשהכדור נזרק כלפי מעלה: הוא עולה עד השיא, ואז יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ההון של חברה (במיליוני ש״ח) הוא y=ax2−4x+10y = ax^2 - 4x + 10, אחרי xx שנים. אחרי שנתיים ההון היה 66 מיליון. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

6=4a−8+106 = 4a - 8 + 10
4a=4⇒a=1\begin{aligned}4a &= 4 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

a=1a = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

באותה חברה (y=x2−4x+10y = x^2 - 4x + 10): מהו ההון הקטן ביותר, במיליוני ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x=2 y=4−8+10=6\begin{aligned}x &= 2 \\ \ y &= 4 - 8 + 10 \\ &= 6\end{aligned}

66 מיליון, אחרי שנתיים. זו בדיוק הנקודה שנתנו בשאלה הקודמת: היא הייתה הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת