המשוואה הריבועית · מודל ריבועי · כיתה י״ב

הנקודות שבהן הפרבולה חותכת את ציר $x$ הן הנקודות שבהן $y = 0$ . כדי למצוא אותן פותרים את המשוואה הריבועית $ax^2 + bx + c = 0$ .

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הנוסחה מדף הנוסחאות

$x^2 - 6x + 5 = 0$

מצאו את נקודות החיתוך של $y = x^2 - 6x + 5$ עם ציר $x$ .

\begin{aligned}a &= 1 \\ \ b &= -6 \\ \ c &= 5\end{aligned}

מזהים את המקדמים

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 36 - 20 \\ &= 16\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

x = \frac{6 \pm 4}{2}

\begin{aligned}x_1 &= 5 \\ \ \ x_2 &= 1\end{aligned}

הנקודות $(1,\ 0)$ ו- $(5,\ 0)$

משוואה עם מכנה

כשיש מכנה מספרי, כופלים את כל המשוואה במכנה. המשוואה נעשית נוחה יותר, והפתרונות לא משתנים.

$\frac{x^2}{4} - x - 3 = 0$

פתרו את המשוואה.

x^2 - 4x - 12 = 0

כופלים ב- $4$ כל איבר

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 + 48 \\ &= 64\end{aligned}

x = \frac{4 \pm 8}{2}

\begin{aligned}x_1 &= 6 \\ \ \ x_2 &= -2\end{aligned}

מה קורה כאשר המספר שמתחת לשורש שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

אין לו שורש, ולכן אין פתרון: הפרבולה לא חותכת את ציר $x$ .

b^2 - 4ac > 0

שני פתרונות: שתי נקודות חיתוך

b^2 - 4ac = 0

פתרון אחד: הקודקוד על ציר $x$

b^2 - 4ac < 0

אין פתרון: אין חיתוך

מתי $y$ שווה למספר מסוים?

כדי למצוא מתי $y = k$ , משווים את הפונקציה ל- $k$ , ומעבירים את $k$ לאגף שמאל. מקבלים שוב משוואה עם $0$ באגף ימין.

הכדור בגובה $15$ מטרים

גובה הכדור הוא $y = -5x^2 + 20x$ . מתי הוא בגובה $15$ מטרים?

-5x^2 + 20x = 15

משווים ל- $15$

-5x^2 + 20x - 15 = 0

מעבירים אגף

x^2 - 4x + 3 = 0

מחלקים ב- $-5$

\begin{aligned}x_1 &= 1 \\ \ \ x_2 &= 3\end{aligned}

בעלייה ובירידה

למה יצאו שתי תשובות?

להציג את התשובה והפתרון

הכדור עובר בגובה $15$ פעמיים: פעם בדרך למעלה (אחרי שנייה), ופעם בדרך למטה (אחרי $3$ שניות).

שתי טעויות במשוואה ריבועית.

\begin{aligned}-5x^2 + 20x &= 15 \Rightarrow a \\ &= -5 \\ \ b &= 20 \\ \ c &= 0\end{aligned}

c = -15

קודם מעבירים את $15$ לאגף שמאל. רק אז מזהים את $c$ .

\begin{aligned}\sqrt{b^2 - 4ac}:\ \ b &= -6 \Rightarrow b^2 \\ &= -36\end{aligned}

(-6)^2 = 36

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה $x^2 - 7x + 10 = 0$ . כתבו את הפתרון הקטן קודם.

$x_1 =$ ____ ; $x_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1 =$ 2 ; $x_2 =$ 5

הפתרון:

49 - 40 = 9

x = \frac{7 \pm 3}{2}

$x = 2$ או $x = 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את נקודות החיתוך של $y = -x^2 + 2x + 8$ עם ציר $x$ . כתבו את הקטן קודם.

$x_1 =$ ____ ; $x_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1 =$ -2 ; $x_2 =$ 4

הפתרון:

-x^2 + 2x + 8 = 0

4 + 32 = 36

x = \frac{-2 \pm 6}{-2}

$(-2,\ 0)$ ו- $(4,\ 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו: $\frac{x^2}{2} - x - 4 = 0$ . כתבו את הקטן קודם.

$x_1 =$ ____ ; $x_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1 =$ -2 ; $x_2 =$ 4

הפתרון:

x^2 - 2x - 8 = 0

כופלים ב- $2$

4 + 32 = 36

x = \frac{2 \pm 6}{2}

$x = -2$ או $x = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה נקודות חיתוך יש לפרבולה $y = x^2 + 2x + 5$ עם ציר $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 4 - 20 \\ &= -16 < 0\end{aligned}

אף אחת: המספר שמתחת לשורש שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה נקודות חיתוך יש לפרבולה $y = x^2 - 6x + 9$ עם ציר $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

36 - 36 = 0

אחת: הקודקוד $(3,\ 0)$ נוגע בציר $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גובה של אבן הוא $y = -5x^2 + 30x$ ( $x$ בשניות, $y$ במטרים). מתי האבן בגובה $40$ מטרים? כתבו את הקטן קודם.

$x_1 =$ ____ ; $x_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1 =$ 2 ; $x_2 =$ 4

הפתרון:

-5x^2 + 30x - 40 = 0

מעבירים אגף

x^2 - 6x + 8 = 0

מחלקים ב- $-5$

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

אחרי $2$ שניות (בעלייה) ואחרי $4$ שניות (בירידה).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו: $x^2 - 3x - 5 = 0$ . מצאו את הפתרון החיובי בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.19

הפתרון:

9 + 20 = 29

x = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} \approx 4.19

$x \approx 4.19$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פותרים $x^2 + 4x - 5 = 0$ . איזו שורה שגויה?

\begin{aligned}b^2 - 4ac &= 16 - 20 \\ &= -4\end{aligned}

\text{אין פתרון}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4$ → $b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36$

הפתרון:

-4 \cdot 1 \cdot (-5) = +20

\begin{aligned}x &= \frac{-4 \pm 6}{2} \\ &= 1 \\ \ -5\end{aligned}

$c = -5$ , ולכן $-4ac = +20$ . יש שני פתרונות: $1$ ו- $-5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נכון או לא נכון: המשוואות $x^2 - 5x + 6 = 0$ ו- $2x^2 - 10x + 12 = 0$ יש להן אותם פתרונות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2x^2 - 10x + 12 = 2(x^2 - 5x + 6)

נכון. כפל של כל המשוואה במספר שונה מ- $0$ לא משנה את הפתרונות: $2$ ו- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בפונקציה $y = x^2 - 4x + 7$ : מצאו את $x$ החיובי שעבורו $y = 7$ , כאשר $x \neq 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x^2 - 4x + 7 = 7

x^2 - 4x = 0

x(x - 4) = 0

פירוק לגורמים

$x = 4$ . גם $x = 0$ פותר, אבל ביקשו פתרון אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

סדרו את שלבי הפתרון של «מתי $y = k$ ?».

בודקים אילו פתרונות מתאימים לסיפור
מזהים את $a$ , $b$ , $c$
מעבירים את $k$ לאגף שמאל
מציבים בנוסחה
משווים את הפונקציה ל- $k$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: משווים את הפונקציה ל- $k$ · מעבירים את $k$ לאגף שמאל · מזהים את $a$ , $b$ , $c$ · מציבים בנוסחה · בודקים אילו פתרונות מתאימים לסיפור

הפתרון:

ax^2 + bx + c - k = 0

הבדיקה בסוף חשובה: זמן שלילי או כמות שלילית נפסלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משוואה עם מכנה

מתי yyy שווה למספר מסוים?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

מתי $y$ שווה למספר מסוים?