המקדמים והצורה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הפונקציה הריבועית נכתבת y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, כאשר a≠0a \neq 0. שלושת המקדמים aa, bb, cc מספרים לנו הרבה על הפרבולה, עוד לפני שמציירים אותה.

המקדם aa: לאן הפרבולה פתוחה

a>0a > 0

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד הוא מינימום.

a<0a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד הוא מקסימום.

הגובה של כדור הוא y=−5x2+20xy = -5x^2 + 20x. האם לגרף יש מקסימום או מינימום?

להציג את התשובה והפתרון

a=−5<0a = -5 < 0: הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן יש מקסימום. זה הגובה הגדול ביותר של הכדור.

המקדם cc: החיתוך עם ציר yy

מציבים x=0x = 0: מקבלים y=a⋅0+b⋅0+c=cy = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c. לכן הפרבולה חותכת את ציר yy בנקודה (0, c)(0,\ c).

הקודקוד

הקודקוד נמצא בדיוק באמצע בין שתי נקודות החיתוך עם ציר xx. קפלו את הפרבולה וראו.

בדף הנוסחאות יש נוסחה לשיעור ה-xx של הקודקוד, גם כשאין חיתוך עם ציר xx:

xקודקוד=−b2ax_{\text{קודקוד}} = \frac{-b}{2a}

את שיעור ה-yy מוצאים כך: מציבים את xx של הקודקוד בפונקציה.

y=−2x2+8x−6y = -2x^2 + 8x - 6

מצאו את הקודקוד, וקבעו אם הוא מקסימום או מינימום.

x=−82⋅(−2)=−8−4=2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot (-2)} \\ &= \frac{-8}{-4} \\ &= 2\end{aligned}

שיעור ה-xx

y=−2⋅22+8⋅2−6=2\begin{aligned}y &= -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

a=−2<0a = -2 < 0

הקודקוד (2, 2)(2,\ 2) הוא מקסימום

מהו הקודקוד של y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5? בדקו בעזרת הנוסחה.

להציג את התשובה והפתרון

x=62=3x = \frac{6}{2} = 3, ו-y=9−18+5=−4y = 9 - 18 + 5 = -4. הקודקוד (3, −4)(3,\ -4), מינימום. זה מה שהקיפול הראה.

מקדם שלא יודעים

מוצאים את aa

הפרבולה y=ax2−2x+8y = ax^2 - 2x + 8 עוברת בנקודה (2, 0)(2,\ 0). מצאו את aa.

0=a⋅22−2⋅2+80 = a \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 8

מציבים x=2x = 2, y=0y = 0

0=4a+40 = 4a + 4
a=−1a = -1

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

שתי טעויות בנוסחת הקודקוד.

y=−2x2+8x: x=82⋅(−2)\begin{aligned}y &= -2x^2 + 8x:\ x \\ &= \frac{8}{2 \cdot (-2)}\end{aligned}
x=−82⋅(−2)=2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot (-2)} \\ &= 2\end{aligned}

במונה יש −b-b. כאן b=8b = 8, ולכן המונה הוא −8-8.

הקודקוד=2\text{הקודקוד} = 2
הקודקוד=(2, 2)\text{הקודקוד} = (2,\ 2)

הנוסחה נותנת רק את xx. את yy מוצאים בהצבה.

תרגילים

תרגיל 1

איזו מהפונקציות הבאות היא פרבולה פתוחה כלפי מטה?

  1. y=−3x2+x+4y = -3x^2 + x + 4
  2. y=0.5x2+3x−1y = 0.5x^2 + 3x - 1
  3. y=2x2−5xy = 2x^2 - 5x
  4. y=x2−9y = x^2 - 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=−3x2+x+4y = -3x^2 + x + 4

הפתרון:

a=−3<0a = -3 < 0

רק בראשונה aa שלילי. הסימן של bb או של cc לא קובע לאן הפרבולה פתוחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באיזו נקודה הפרבולה y=2x2−3x+7y = 2x^2 - 3x + 7 חותכת את ציר yy? כתבו את שיעור ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x=0⇒y=7\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 7\end{aligned}

y=c=7y = c = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו שיעור ה-xx של הקודקוד של y=x2−10x+21y = x^2 - 10x + 21?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x=102⋅1=5\begin{aligned}x &= \frac{10}{2 \cdot 1} \\ &= 5\end{aligned}

x=5x = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את הקודקוד של y=−x2+4x+5y = -x^2 + 4x + 5.

הקודקוד: x=x = ____, y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקודקוד: x=x = 2, y=y = 9

הפתרון:

x=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}
y=−4+8+5=9\begin{aligned}y &= -4 + 8 + 5 \\ &= 9\end{aligned}

הקודקוד (2, 9)(2,\ 9), מקסימום כי a<0a < 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לפונקציה y=3x2−12x+1y = 3x^2 - 12x + 1 יש בקודקוד:

  1. אין קודקוד
  2. גם מקסימום וגם מינימום
  3. מינימום
  4. מקסימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מינימום

הפתרון:

a=3>0a = 3 > 0

מינימום: a>0a > 0, והפרבולה פתוחה כלפי מעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפרבולה y=ax2+4x−3y = ax^2 + 4x - 3 עוברת בנקודה (1, 3)(1,\ 3). מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3=a+4−33 = a + 4 - 3

מציבים

a=2a = 2

a=2a = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את הקודקוד של y=0.5x2−2x+3y = 0.5x^2 - 2x + 3.

הקודקוד: x=x = ____, y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקודקוד: x=x = 2, y=y = 1

הפתרון:

x=22⋅0.5=2\begin{aligned}x &= \frac{2}{2 \cdot 0.5} \\ &= 2\end{aligned}
y=0.5⋅4−4+3=1\begin{aligned}y &= 0.5 \cdot 4 - 4 + 3 \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד (2, 1)(2,\ 1), מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מוצאים את הקודקוד של y=−x2−6x+2y = -x^2 - 6x + 2. איזו שורה שגויה?

x=−(−6)2⋅(−1)x = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)}
x=6−2=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}
y=−9−18+2=−25\begin{aligned}y &= -9 - 18 + 2 \\ &= -25\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=6−2=3x = \frac{6}{-2} = 3 → x=6−2=−3x = \frac{6}{-2} = -3

הפתרון:

6−2=−3\frac{6}{-2} = -3

חילוק בשלילי

y=−9+18+2=11\begin{aligned}y &= -9 + 18 + 2 \\ &= 11\end{aligned}

הקודקוד הנכון (−3, 11)(-3,\ 11)

בשורה השנייה הסימן אבד: 6−2=−3\frac{6}{-2} = -3. גם השורה השלישית יוצאת שגויה בגלל זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נכון או לא נכון: אם בפונקציה y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c המקדם b=0b = 0, אז הקודקוד נמצא על ציר yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x=−02a=0\begin{aligned}x &= \frac{-0}{2a} \\ &= 0\end{aligned}

נכון. הקודקוד ב-x=0x = 0, כלומר על ציר yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו כל פונקציה לתיאור שלה.

  • y=x2−4y = x^2 - 4
  • y=−x2+4y = -x^2 + 4
  • y=x2+4y = x^2 + 4
  • y=−x2−4y = -x^2 - 4
  • פתוחה כלפי מטה, חותכת את ציר yy ב-44
  • פתוחה כלפי מטה, לא חותכת את ציר xx
  • פתוחה כלפי מעלה, חותכת את ציר yy ב-−4-4
  • פתוחה כלפי מעלה, לא חותכת את ציר xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=x2−4y = x^2 - 4 — פתוחה כלפי מעלה, חותכת את ציר yy ב-−4-4 · y=−x2+4y = -x^2 + 4 — פתוחה כלפי מטה, חותכת את ציר yy ב-44 · y=x2+4y = x^2 + 4 — פתוחה כלפי מעלה, לא חותכת את ציר xx · y=−x2−4y = -x^2 - 4 — פתוחה כלפי מטה, לא חותכת את ציר xx

הפתרון:

a קובע כיוון, c קובע חיתוך עם ya\ \text{קובע כיוון},\ c\ \text{קובע חיתוך עם}\ y

מסתכלים על הסימן של aa ועל הערך של cc.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

רווח יומי של דוכן (בש״ח) הוא y=−x2+30x−125y = -x^2 + 30x - 125, כאשר xx הוא מחיר מנה בש״ח. באיזה מחיר הרווח מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

x=−30−2=15\begin{aligned}x &= \frac{-30}{-2} \\ &= 15\end{aligned}

במחיר 1515 ש״ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

באותו דוכן: מהו הרווח המקסימלי, בש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

y=−225+450−125=100\begin{aligned}y &= -225 + 450 - 125 \\ &= 100\end{aligned}

מציבים x=15x = 15

הרווח המקסימלי 100100 ש״ח. השאלה מבקשת yy, ולא את המחיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת