פותרים יחד · מודל ריבועי · כיתה י״ב

שלוש שאלות בנוסח הבגרות: מסירה של כדור, רווח עם מקדם חסר, וגרף שצריך לקרוא. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה.

בכל סעיף שאלו: מבקשים $x$ (זמן, מחיר, מרחק) או $y$ (גובה, רווח)? ובסוף: האם התשובה מתאימה לסיפור?

1 — מסירה במגרש

מסלול הכדור

פעילות אינטראקטיבית

תומר מוסר כדור ליואב. הכדור נע לאורך הפרבולה $y = -0.2x^2 + 1.6x + 1.8$ , כאשר $x$ הוא המרחק האופקי ממקום הזריקה ו- $y$ הגובה, במטרים. א. מאיזה גובה נזרק הכדור? ב. מצאו את הגובה המקסימלי. ג. בעבור אילו ערכי $x$ הכדור במגמת עלייה? ד. יואב תפס את הכדור ב- $x = 7$ . באיזה גובה? ה. אילו יואב לא היה תופס, איפה הכדור היה פוגע בקרקע?

y = -0.2x^2 + 1.6x + 1.8

לחצו «להתחיל».

א.

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1.8\end{aligned}

מגובה $1.8$ מטרים.

ב.

\begin{aligned}x &= \frac{-1.6}{2 \cdot (-0.2)} \\ &= 4\end{aligned}

שיעור ה- $x$ של הקודקוד.

ב.

\begin{aligned}y &= -0.2 \cdot 16 + 6.4 + 1.8 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה המקסימלי: $5$ מטרים.

ג.

0 < x < 4

מהזריקה עד הקודקוד.

ד.

\begin{aligned}y &= -0.2 \cdot 49 + 11.2 + 1.8 \\ &= 3.2\end{aligned}

בגובה $3.2$ מטרים.

ה.

\begin{aligned}-0.2x^2 + 1.6x + 1.8 &= 0 \Rightarrow x^2 - 8x - 9 \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב- $-0.2$ .

ה.

\begin{aligned}x &= 9 \\ \ x &= -1\end{aligned}

$-1$ נפסל: הכדור פוגע בקרקע במרחק $9$ מטרים.

בסעיף ה, החלוקה ב- $-0.2$ הופכת את כל הסימנים. בדקו: $81 - 72 - 9 = 0$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ג, למה לא כתבנו $x < 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי לפני $x = 0$ אין כדור: התנועה מתחילה בזריקה. התחום שיש לו משמעות מתחיל ב- $0$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — רווח עם מקדם חסר

פעילות אינטראקטיבית

הרווח היומי של עגלת קפה (במאות ש״ח) הוא $y = ax^2 + 12x - 20$ , כאשר $x$ הוא מספר שעות הפעילות. כאשר העגלה פועלת שעתיים, הרווח הוא $0$ . א. מצאו את $a$ . ב. כמה שעות פעילות נותנות רווח מקסימלי, ומהו? ג. באילו מספרי שעות יש רווח?

y = ax^2 + 12x - 20

לחצו «להתחיל». הנקודה הנתונה היא $(2,\ 0)$ .

א.

0 = 4a + 24 - 20

מציבים $x = 2$ , $y = 0$ .

א.

a = -1

ב.

\begin{aligned}x &= \frac{-12}{-2} \\ &= 6\end{aligned}

$6$ שעות.

ב.

\begin{aligned}y &= -36 + 72 - 20 \\ &= 16\end{aligned}

$16$ מאות ש״ח, כלומר $1{,}600$ ש״ח.

ג.

\begin{aligned}-x^2 + 12x - 20 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ x &= 10\end{aligned}

נקודות האפס.

ג.

2 < x < 10

רווח חיובי בין שתי נקודות האפס.

היחידות! $16$ הוא במאות ש״ח. מי שכתב $16$ ש״ח איבד שני אפסים.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה המשמעות של $x = 12$ בסיפור?

להציג את התשובה והפתרון

אין משמעות: ביום יש רק $24$ שעות, אבל הנוסחה נותנת רווח שלילי ( $-20$ מאות ש״ח). כלומר, הפסד.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — קוראים את הגרף ומאשרים בחשבון

הגרף של

y = x^2 - 8x + 12

פעילות אינטראקטיבית

בציור הגרף של $y = x^2 - 8x + 12$ . א. מצאו בחשבון את הנקודות $A$ ו- $B$ , החיתוך עם ציר $x$ . ב. מצאו את $D$ , החיתוך עם ציר $y$ . ג. מצאו את הקודקוד $C$ . ד. באיזה תחום הפונקציה שלילית? ה. מצאו נקודה נוספת על הגרף שבה $y = 12$ .

y = x^2 - 8x + 12

לחצו «להתחיל».

א.

\begin{aligned}x &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} \\ &= \frac{8 \pm 4}{2}\end{aligned}

א.

A(2,\ 0),\ B(6,\ 0)

ב.

D(0,\ 12)

$c = 12$ .

ג.

\begin{aligned}x &= 4 \\ \ y &= 16 - 32 + 12 \\ &= -4\end{aligned}

הקודקוד $C(4,\ -4)$ , מינימום.

ד.

2 < x < 6

הגרף מתחת לציר $x$ בין $A$ ל- $B$ .

ה.

4 + (4 - 0) = 8 \Rightarrow (8,\ 12)

בסימטריה ל- $D$ סביב $x = 4$ .

סעיף ה בלי משוואה: הנקודה $D$ במרחק $4$ משמאל לציר, אז התאומה שלה במרחק $4$ מימינו.

לעשות את הפעילות ב-elev

איך בודקים את סעיף ה בחשבון?

להציג את התשובה והפתרון

$8^2 - 8 \cdot 8 + 12 = 64 - 64 + 12 = 12$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

שאלה 1. כדור נבעט לאורך הפרבולה $y = -0.25x^2 + 2x + 5$ ( $x$ ו- $y$ במטרים). השלימו.

גובה הבעיטה: ____ ; הגובה המקסימלי: ____ ; הגובה ב- $x = 6$ : ____ ; הכדור פוגע בקרקע ב- $x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גובה הבעיטה: 5 ; הגובה המקסימלי: 9 ; הגובה ב- $x = 6$ : 8 ; הכדור פוגע בקרקע ב- $x =$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \frac{-2}{-0.5} \\ &= 4 \\ \ y &= -4 + 8 + 5 \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}y &= -9 + 12 + 5 \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 - 8x - 20 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מחלקים ב- $-0.25$ ; $-2$ נפסל

כמו בשאלה 1 של הדרך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שאלה 2. הרווח של דוכן (במאות ש״ח) הוא $y = ax^2 + 14x - 24$ , כאשר $x$ שעות פעילות. בשעתיים הרווח הוא $0$ . השלימו.

$a =$ ____ ; שעות לרווח מקסימלי: ____ ; הרווח המקסימלי (במאות ש״ח): ____ ; יש רווח כאשר $2 < x <$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a =$ -1 ; שעות לרווח מקסימלי: 7 ; הרווח המקסימלי (במאות ש״ח): 25 ; יש רווח כאשר $2 < x <$ 12

הפתרון:

\begin{aligned}0 &= 4a + 28 - 24 \Rightarrow a \\ &= -1\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 7 \\ \ y &= -49 + 98 - 24 \\ &= 25\end{aligned}

\begin{aligned}-x^2 + 14x - 24 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ 12\end{aligned}

קודם $a$ , ורק אחר כך כל השאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שאלה 3. הפונקציה $y = x^2 - 6x + 5$ . השלימו.

נקודות החיתוך עם ציר $x$ : ____ ו-____ ; הקודקוד: $x =$ ____, $y =$ ____ ; נקודה נוספת שבה $y = 5$ : $x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודות החיתוך עם ציר $x$ : 1 ו-5 ; הקודקוד: $x =$ 3, $y =$ -4 ; נקודה נוספת שבה $y = 5$ : $x =$ 6

הפתרון:

x = \frac{6 \pm 4}{2}

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ y &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

(0,\ 5) \to (6,\ 5)

סימטריה סביב $x = 3$

שלוש שאלות, שלושה כלים: נוסחה, קודקוד, סימטריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — מסירה במגרש

2 — רווח עם מקדם חסר

3 — קוראים את הגרף ומאשרים בחשבון

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev