סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בדרגה בינונית: כלל המכפלה וכלל השרשרת יחד, משיק, זוגיות ונקודות קיצון.

לפני כל גזירה: האם זו מכפלה, מנה, או ee בחזקת ביטוי? הכלל הנכון חוסך את רוב הטעויות.

תרגילים

תרגיל 1

מהי הנגזרת של f(x)=(x2−1)exf(x)=(x^2-1)e^x?

  1. (x2−1)ex(x^2-1)e^x
  2. (x2+2x)ex(x^2+2x)e^x
  3. (x2+2x−1)ex(x^2+2x-1)e^x
  4. 2xex2xe^x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (x2+2x−1)ex(x^2+2x-1)e^x

הפתרון:

f′(x)=2xex+(x2−1)exf'(x)=2xe^x+(x^2-1)e^x

כלל המכפלה

=(x2+2x−1)ex=(x^2+2x-1)e^x

גורם משותף

מי שבחר (x2+2x)ex(x^2+2x)e^x שכח את ה-−1-1 כשהוציא גורם משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=(x2−8)exf(x)=(x^2-8)e^x. בעבור איזה xx יש ל-ff מקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f′(x)=(x2+2x−8)ex=(x+4)(x−2)ex\begin{aligned}f'(x) &= (x^2+2x-8)e^x \\ &= (x+4)(x-2)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה ופירוק

+ (x<−4), − (−4<x<2)+\ (x<-4) ,\ -\ (-4<x<2)

עולה ואחר כך יורדת

x=−4x=-4. ב-x=2x=2 יש מינימום: שם הנגזרת עוברת מ-−- ל-++.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=(x+1)e2xf(x)=(x+1)e^{2x} בנקודה שבה x=0x=0. השלימו: y=mx+ny=mx+n.

m=m= ____ ; n=n= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: m=m= 3 ; n=n= 1

הפתרון:

f′(x)=e2x+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x\begin{aligned}f'(x) &= e^{2x}+2(x+1)e^{2x} \\ &= (2x+3)e^{2x}\end{aligned}

מכפלה ושרשרת

f(0)=1 f′(0)=3⇒y=3x+1\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \ f'(0) &= 3 \Rightarrow y \\ &= 3x+1\end{aligned}

המשיק

y=3x+1y=3x+1. מי שקיבל m=2m=2 שכח את הגורם הראשון של כלל המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חוקרים את f(x)=ex2−2xf(x)=e^{x^2-2x}. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=(2x−2)ex2−2xf'(x)=(2x-2)e^{x^2-2x}
f′(x)=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
f(1)=e−1f(1)=e^{-1}
x=1: max⁡x=1:\ \max
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=1: max⁡x=1:\ \max → x=1: min⁡x=1:\ \min

הפתרון:

f′(0)=−2<0 f′(2)=2>0\begin{aligned}f'(0) &= -2<0 \\ \ f'(2) &= 2>0\end{aligned}

יורדת ואחר כך עולה

ב-x=1x=1 יש מינימום. הגורם 2x−22x-2 שלילי משמאל ל-11 וחיובי מימין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיינו: איזו פונקציה זוגית ואיזו אי-זוגית?

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • xex2\frac{x}{e^{x^2}}
  • ex2e^{x^2}
  • ex−e−xe^x-e^{-x}
  • ex+e−xe^x+e^{-x}
  • x2e−x2x^2e^{-x^2}
  • xex2xe^{x^2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ex2e^{x^2} — זוגית · ex−e−xe^x-e^{-x} — אי-זוגית · xex2xe^{x^2} — אי-זוגית · ex+e−xe^x+e^{-x} — זוגית · x2e−x2x^2e^{-x^2} — זוגית · xex2\frac{x}{e^{x^2}} — אי-זוגית

הפתרון:

f(−x)=±f(x) ?f(-x)=\pm f(x)\ ?

מציבים −x-x ומשווים

ex−e−xe^x-e^{-x} ו-ex+e−xe^x+e^{-x} נראות דומות: בראשונה f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), בשנייה f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). ו-xx כפול זוגית נותן אי-זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=e2x−8exf(x)=e^{2x}-8e^x. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון. עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.39

הפתרון:

f′(x)=2e2x−8ex=2ex(ex−4)\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-8e^x \\ &= 2e^x(e^x-4)\end{aligned}

גורם משותף

ex=4⇒x=ln⁡4≈1.39\begin{aligned}e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4\approx 1.39\end{aligned}

ln⁡\ln

ln⁡4≈1.39\ln 4\approx 1.39. מי שכתב ln⁡8\ln 8 שכח לגזור את e2xe^{2x} ל-2e2x2e^{2x}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי הנגזרת של f(x)=xe−x2f(x)=xe^{-x^2}?

  1. −2xe−x2-2xe^{-x^2}
  2. (1−2x2)e−x2(1-2x^2)e^{-x^2}
  3. (1+2x2)e−x2(1+2x^2)e^{-x^2}
  4. (1−2x)e−x2(1-2x)e^{-x^2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (1−2x2)e−x2(1-2x^2)e^{-x^2}

הפתרון:

f′(x)=e−x2+x⋅(−2x)e−x2f'(x)=e^{-x^2}+x\cdot(-2x)e^{-x^2}

מכפלה, ובתוכה שרשרת

=(1−2x2)e−x2=(1-2x^2)e^{-x^2}

גורם משותף

הנגזרת של −x2-x^2 היא −2x-2x, ומכפילים אותה ב-xx שבחוץ: −2x2-2x^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הפונקציה f(x)=(x2+2)exf(x)=(x^2+2)e^x עולה לכל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=(x2+2x+2)exf'(x)=(x^2+2x+2)e^x

כלל המכפלה

Δ=4−8<0\Delta=4-8<0

הסוגריים חיוביים תמיד

נכון. x2+2x+2=(x+1)2+1>0x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0, וגם ex>0e^x>0. לנגזרת אין אפסים, ולכן אין קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ex−3∣=2|e^x-3|=2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

ex−3=2⇒x=ln⁡5\begin{aligned}e^x-3 &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\end{aligned}

מקרה ראשון

ex−3=−2⇒ex=1⇒x=0\begin{aligned}e^x-3 &= -2 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

מקרה שני

שניים: x=ln⁡5x=\ln 5 ו-x=0x=0. מי שפתר רק ex−3=2e^x-3=2 שכח את המקרה השלילי של הערך המוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ל-f(x)=x2exf(x)=x^2e^x יש נקודת מקסימום. השלימו את שיעוריה. עגלו את yy לשתי ספרות.

x=x= ____ ; y≈y\approx ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= -2 ; y≈y\approx 0.54

הפתרון:

f′(x)=x(x+2)exf'(x)=x(x+2)e^x

אפסים: −2-2 ו-00

f(−2)=4e−2≈0.54f(-2)=4e^{-2}\approx 0.54

המקסימום

המקסימום ב-x=−2x=-2; ב-x=0x=0 יש מינימום (0,0)(0,0). מי שבחר (0,0)(0,0) לא בדק סימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת