סדרה 3 — ברמת בגרות · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה eˣ · כיתה י״ב

שתי שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה עם פרמטר שמוצאים מתוך קיצון, ופונקציה עם פרמטר שמוצאים מתוך אסימפטוטה.

אחרי סעיף א, כתבו את $f$ עם הערך של $a$ . סעיף מאוחר משתמש בתשובה של סעיף מוקדם: אם נתקעתם, חזרו לטבלת הסימנים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2xe^{-x}-(x^2-a)e^{-x} \\ &= (2x-x^2+a)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(3) &= (6-9+a)e^{-3} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

$a=3$ . מי שכתב $a=9$ איפס את $f$ במקום את $f'$ : $9-a=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ב. הציבו $a=3$ . מצאו את נקודות החיתוך של $f$ עם הצירים. עגלו לשתי ספרות.

עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____ ; עם ציר ה- $x$ , בצד החיובי: $x\approx$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה- $y$ : $y=$ -3 ; עם ציר ה- $x$ , בצד החיובי: $x\approx$ 1.73

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= (0-3)\cdot 1 \\ &= -3\end{aligned}

$x=0$

\begin{aligned}x^2-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3}\approx\pm 1.73\end{aligned}

$e^{-x}\neq 0$

יש שתי נקודות על ציר ה- $x$ : $\pm\sqrt{3}$ . ב- $f(0)$ , $e^0=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ג. הציבו $a=3$ . מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

מינימום $(1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מינימום $(-1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מקסימום $(-1,-2e)$ , מינימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מינימום $(-1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= (-x^2+2x+3)e^{-x} \\ &= -(x-3)(x+1)e^{-x}\end{aligned}

מציבים $a=3$

-\ ,\ +\ ,\ -

הסימנים בשלושת התחומים

\begin{aligned}f(-1) &= -2e \\ \ f(3) &= 6e^{-3}\end{aligned}

הערכים

שתי נקודות. מי שבחר «מקסימום בלבד» שכח את האפס השני של $-x^2+2x+3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ד. הציבו $a=3$ . באיזה תחום $f$ עולה?

$x>3$
$-1<x<3$
$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$
$x<-1$ או $x>3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-1<x<3$

הפתרון:

-1<x<3:\ f'>0

בין שני הקיצונים

$-1<x<3$ : מהמינימום עד המקסימום. $\pm\sqrt{3}$ הם חיתוכים עם הציר, לא גבולות של תחום עלייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ה. הציבו $a=3$ . קבעו: לגרף של $f$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ כאשר $x\to+\infty$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x\to+\infty:\ e^{-x}\to 0

$e^{-x}$ מנצח את $x^2-3$

x\to-\infty:\ f\to\infty

משמאל אין אסימפטוטה

נכון, ורק מימין. משמאל $e^{-x}$ גדל מאוד, ו- $f\to\infty$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ו. הציבו $a=3$ . היעזרו בסעיפים הקודמים: כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=0.2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x<-1:\ \infty\searrow -2e

פתרון אחד

-1<x<3:\ -2e\nearrow 0.30

$\frac{6}{e^3}\approx 0.30>0.2$ : פתרון אחד

x>3:\ 0.30\searrow 0

עוד פתרון אחד

שלושה. המקסימום $\frac{6}{e^3}\approx 0.30$ גבוה מ- $0.2$ , ומימין הגרף יורד לאסימפטוטה $y=0$ , מעל $0$ : עוד חיתוך אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

e^{\ln 2}+a=0

המכנה מתאפס

\begin{aligned}2+a &= 0 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

$e^{\ln 2}=2$

$a=-2$ . מי שכתב $a=2$ שכח שהמכנה הוא $e^x+a$ , ולכן $a=-e^x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ב. הציבו $a=-2$ . מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x\neq\ln 2$
$x\neq 2$
כל $x$
$x>\ln 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x\neq\ln 2$

הפתרון:

e^x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq\ln 2

המכנה

$x\neq\ln 2$ . $x\neq 2$ מבלבל בין $e^x=2$ ל- $x=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ג. הציבו $a=-2$ . קבעו: $f$ יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x-2)-e^x\cdot e^x}{(e^x-2)^2} \\ &= \frac{-2e^x}{(e^x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

-2e^x<0 ,\ (e^x-2)^2>0

שלילית

נכון. הנגזרת שלילית בכל התחום. אבל $f$ לא יורדת «לכל $x$ »: יש קפיצה באסימפטוטה $x=\ln 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ד. הציבו $a=-2$ . מצאו את האסימפטוטות האופקיות.

כאשר $x\to-\infty$ : $y=$ ____ ; כאשר $x\to+\infty$ : $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כאשר $x\to-\infty$ : $y=$ 0 ; כאשר $x\to+\infty$ : $y=$ 1

הפתרון:

x\to-\infty:\ \frac{0}{0-2}=0

$e^x\to 0$

x\to+\infty:\ \frac{1}{1-2e^{-x}}\to 1

מחלקים ב- $e^x$

שתי אסימפטוטות שונות, אחת בכל צד. מי שכתב $y=-1$ הציב $x=0$ , ולא בדק מה קורה כאשר $e^x\to 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev