פותרים יחד · חזקות והפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

ארבע שאלות בסגנון הבגרות: חקירה של פונקציה מעריכית, משוואה בהצבה, אי-שוויון עם בסיס קטן מ- $1$ , וערך מוחלט. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה.

בכל פונקציה מעריכית, לפני כל חישוב: האסימפטוטה. היא אומרת איפה הגרף נמצא, ואם הוא חותך את ציר ה- $x$ .

1 — אסימפטוטה, חיתוכים וחיוביות

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=3^{x-1}-9$ . א. מצאו את האסימפטוטה האופקית של $f$ . ב. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. ג. מצאו בעבור אילו ערכי $x$ הפונקציה חיובית.

f(x)=3^{x-1}-9

לחצו «להתחיל». סעיף ב משתמש בסעיף א, וסעיף ג משתמש בסעיף ב.

א.

3^{x-1} \to 0 \ \ (x \to -\infty) \ \Rightarrow\ y=-9

המספר מחוץ לחזקה הוא האסימפטוטה.

ב. ציר y

\begin{aligned}f(0) &= 3^{-1}-9 \\ &= \tfrac{1}{3}-9 \\ &= -\tfrac{26}{3}\end{aligned}

הנקודה $\left(0,\,-8\tfrac{2}{3}\right)$ .

ב. ציר x

\begin{aligned}3^{x-1} &= 9 \\ &= 3^{2} \ \Rightarrow\ x-1 \\ &= 2 \ \Rightarrow\ x \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה $(3,\,0)$ .

ג.

3^{x-1}>3^{2} \ \Rightarrow\ x-1>2 \ \Rightarrow\ x>3

הבסיס $3>1$ : הסימן נשאר.

האסימפטוטה $y=-9$ מתחת לציר ה- $x$ . לכן הגרף העולה חייב לחתוך את הציר, בדיוק פעם אחת.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם לגרף של $h(x)=3^{x-1}+9$ יש חיתוך עם ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. האסימפטוטה $y=9$ , והגרף מעליה: $h(x)>9>0$ לכל $x$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואה עם הצבה

פעילות אינטראקטיבית

משוואה עם $2^{x+1}$

פתרו את המשוואה $4^{x}-3 \cdot 2^{x+1}+8=0$ .

מה עושים קודם עם $2^{x+1}$ ?

$2^{x+1}=2 \cdot 2^{x}$

להציג את התשובה והפתרון

כפל חזקות: $2^{x} \cdot 2^{1}$ .

$2^{x+1}=2^x+2$

להציג את התשובה והפתרון

פלוס במעריך הופך לכפל, לא לחיבור.

4^{x}-6 \cdot 2^{x}+8=0

$3 \cdot 2=6$ .

איזו הצבה?

$t=2^x$

להציג את התשובה והפתרון

$4^x=\left(2^x\right)^2=t^2$ .

$t=4^x$

להציג את התשובה והפתרון

אז $2^x=\sqrt{t}$ . בוחרים את הבסיס הקטן.

t^2-6t+8=0

משוואה ריבועית.

מהם הערכים של $t$ , והאם אחד נפסל?

$t=2$ ו- $t=4$ , שניהם חיוביים

להציג את התשובה והפתרון

$(t-2)(t-4)=0$ .

$t=-2$ ו- $t=-4$ : אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

בדיקה: $4+12+8 \neq 0$ . הסימנים הפוכים.

\begin{aligned}t &= 2 \\ \ t &= 4\end{aligned}

שניהם חיוביים: אף אחד לא נפסל.

מה הם הפתרונות ב- $x$ ?

$x=1$ ו- $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

$2^x=2^1$ ו- $2^x=2^2$ .

$x=2$ ו- $x=4$

להציג את התשובה והפתרון

אלה הערכים של $t$ . חוזרים ל- $x$ .

\begin{aligned}2^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1 \qquad 2^x \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה ב- $x=2$ : $16-24+8=0$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$x=1$ או $x=2$ . הצעד הראשון הוא הקובע: $2^{x+1}=2 \cdot 2^x$ . בלי הפירוק הזה אין הצבה.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה היה משתנה אם במשוואה היה $+3 \cdot 2^{x+1}$ במקום $-3 \cdot 2^{x+1}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אז $t^2+6t+8=0$ , כלומר $t=-2$ או $t=-4$ . שני הערכים שליליים, ולמשוואה אין פתרון.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — אי-שוויון עם מעריך ריבועי

פעילות אינטראקטיבית

א. פתרו את אי-השוויון $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x} \ge \frac{1}{16}$ . ב. כמה מספרים שלמים מקיימים אותו?

\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x^2-3x} \ge \tfrac{1}{16}

לחצו «להתחיל». שימו לב לבסיס: הוא קטן מ- $1$ .

אותו בסיס

\tfrac{1}{16}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}

$2^4=16$ .

הסימן

x^2-3x \le 4

הבסיס $\frac{1}{2}<1$ : הסימן מתהפך.

שורשים

x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \le 0

השורשים $-1$ ו- $4$ .

א.

-1 \le x \le 4

פרבולה «שמחה»: מתחת לציר בין השורשים.

ב.

\begin{aligned}x &= -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{aligned}

שישה מספרים שלמים. הגבולות כלולים.

מי שלא הפך את הסימן קיבל $x \le -1$ או $x \ge 4$ : אינסוף מספרים שלמים. זה סימן שמשהו לא בסדר.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו הפתרון של $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-3x} < \frac{1}{16}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

המשלים: $x<-1$ או $x>4$ . שם $x^2-3x>4$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — ערך מוחלט ומספר פתרונות

פעילות אינטראקטיבית

ערך מוחלט ומספר פתרונות

נתונה הפונקציה $g(x)=|2^x-4|$ . א. מצאו את האסימפטוטה האופקית של $g$ . ב. מצאו את נקודות החיתוך של $g$ עם הצירים. ג. בעבור אילו ערכים של $k$ יש למשוואה $g(x)=k$ בדיוק שני פתרונות?

א. מה קורה ל- $g$ כאשר $x \to -\infty$ ?

$g(x) \to 4$

להציג את התשובה והפתרון

$2^x-4 \to -4$ , והערך המוחלט נותן $4$ .

$g(x) \to -4$

להציג את התשובה והפתרון

ערך מוחלט אף פעם לא שלילי.

$g(x) \to 0$

להציג את התשובה והפתרון

$2^x \to 0$ , אבל נשאר $-4$ בתוך הערך המוחלט.

y=4

האסימפטוטה משמאל.

ב. איפה $g$ פוגשת את הצירים?

$(0,\,3)$ ו- $(2,\,0)$

להציג את התשובה והפתרון

$g(0)=|1-4|=3$ , ו- $2^x=4$ ב- $x=2$ .

$(0,\,-3)$ ו- $(2,\,0)$

להציג את התשובה והפתרון

$-3$ הוא $f(0)$ לפני הערך המוחלט.

\begin{aligned}g(0) &= 3 \qquad g(2) \\ &= 0\end{aligned}

ב- $(2,0)$ הגרף נוגע בציר ועולה שוב.

ג. קו אופקי $y=k$ , עם $0<k<4$ . כמה פעמים הוא פוגש את הגרף?

פעמיים: פעם בכל צד של $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

משמאל הגרף יורד מ- $4$ ל- $0$ , ומימין עולה מ- $0$ לאינסוף.

פעם אחת

להציג את התשובה והפתרון

זה נכון רק כאשר $k \ge 4$ : אז רק הענף הימני מגיע.

0<k<4

שני פתרונות.

ומה קורה ב- $k=0$ וב- $k=4$ ?

פתרון אחד בכל אחד מהם

להציג את התשובה והפתרון

$k=0$ : רק $x=2$ . $k=4$ : האסימפטוטה לא נפגשת, ונשאר רק $x=3$ .

שני פתרונות

להציג את התשובה והפתרון

ב- $k=4$ הענף השמאלי רק מתקרב ל- $4$ , ולא מגיע.

\begin{aligned}k &= 0:\ x \\ &= 2 \qquad k \\ &= 4:\ 2^x \\ &= 8 \\ \ x &= 3\end{aligned}

לכן הגבולות לא כלולים.

להציג את התשובה והפתרון

$0<k<4$ . האסימפטוטה $y=4$ היא הגבול העליון: מעליה רק ענף אחד.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה פתרונות יש למשוואה $|2^x-4|=1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שניים: $k=1$ בין $0$ ל- $4$ . ובחישוב: $2^x=5$ או $2^x=3$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=2^{x+1}-8$ . השלימו.

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $($ ____ $,0)$ ; $f(x)<0$ כאשר $x<$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטה: $y=$ -8 ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ -6 $)$ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $($ 2 $,0)$ ; $f(x)<0$ כאשר $x<$ 2

הפתרון:

y=-8

המספר מחוץ לחזקה

\begin{aligned}f(0) &= 2-8 \\ &= -6\end{aligned}

\begin{aligned}2^{x+1} &= 8 \\ &= 2^3 \ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

2^{x+1}<2^3 \ \Rightarrow\ x<2

הבסיס $2>1$

אותו מבנה כמו בשאלה 1. החיתוך עם ציר ה- $x$ הוא בדיוק הגבול של תחום השליליות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המשוואה $9^{x}-10 \cdot 3^{x}+9=0$ . כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

$x_1=$ ____ , $x_2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1=$ 0 , $x_2=$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}t &= 3^x \ \Rightarrow\ t^2-10t+9 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}t &= 1 \\ \ t &= 9\end{aligned}

שניהם חיוביים

\begin{aligned}3^x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0 \qquad 3^x \\ &= 9 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$t=1$ נותן $x=0$ , לא $x=1$ : $3^0=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון $3^{x^2+x}<9$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x^2+x<2

הבסיס $3>1$ : הסימן נשאר

(x+2)(x-1)<0 \ \Rightarrow\ -2<x<1

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 0\end{aligned}

שניים: $-1$ ו- $0$ . הגבולות $-2$ ו- $1$ לא כלולים: הסימן חזק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $h(x)=|3^x-9|$ . השלימו.

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; מספר הפתרונות של $h(x)=5$ : ____ ; מספר הפתרונות של $h(x)=12$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטה: $y=$ 9 ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ 8 $)$ ; מספר הפתרונות של $h(x)=5$ : 2 ; מספר הפתרונות של $h(x)=12$ : 1

הפתרון:

3^x-9 \to -9 \ \Rightarrow\ |{-9}|=9

האסימפטוטה משמאל

\begin{aligned}h(0) &= |1-9| \\ &= 8\end{aligned}

0<5<9

שני ענפים: שני פתרונות

12>9

רק הענף הימני: פתרון אחד

כמו בשאלה 4: מתחת לאסימפטוטה שני פתרונות, מעליה אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המשוואה $2^{x+3}-2^{x+1}=48$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2^{x+1}\left(2^2-1\right)=48

גורם משותף: החזקה הקטנה

\begin{aligned}2^{x+1} &= 16 \\ &= 2^4 \ \Rightarrow\ x \\ &= 3\end{aligned}

$x=3$ . בדיקה: $64-16=48$ ✓. מי שהוציא $2^{x+3}$ קיבל שברים: $2^{x+3}\left(1-\frac{1}{4}\right)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — אסימפטוטה, חיתוכים וחיוביות

2 — משוואה עם הצבה

3 — אי-שוויון עם מעריך ריבועי

4 — ערך מוחלט ומספר פתרונות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev