חוקי חזקות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בכיתה ט למדנו חוקי חזקות עם מעריך שלם. בפרק הזה הם הכלי המרכזי: כל משוואה מעריכית מתחילה בהם.

מהו 23⋅242^3 \cdot 2^4? ומהו (23)4(2^3)^4?

להציג את התשובה והפתרון

23⋅24=27=1282^3 \cdot 2^4=2^7=128: בכפל מחברים מעריכים. (23)4=212=4096(2^3)^4=2^{12}=4096: בחזקה של חזקה כופלים מעריכים.

מעריך אפס ומעריך שלילי

a0=1a−n=1an(a≠0)\begin{aligned}a^0 &= 1 \qquad a^{-n} \\ &= \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0)\end{aligned}
5−2=1255^{-2}=\frac{1}{25}

הופכים לשבר, המעריך נעשה חיובי

(23)−2=(32)2=94\begin{aligned}\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} &= \left(\frac{3}{2}\right)^{2} \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

שבר בחזקה שלילית: הופכים את השבר

10−3=11000=0.001\begin{aligned}10^{-3} &= \frac{1}{1000} \\ &= 0.001\end{aligned}

מעריך שלילי לא נותן מספר שלילי

מהו (14)−2\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}?

להציג את התשובה והפתרון

(14)−2=42=16\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=4^2=16. הופכים את השבר, והמעריך נעשה חיובי.

מעריך שבור: שורש כחזקה

גם שורש הוא חזקה. a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, כי a12⋅a12=a1=aa^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}=a^{1}=a.

amn=amn=(an)m(a>0)\begin{aligned}a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m} \\ &= \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \qquad (a>0)\end{aligned}

מחשבים 8238^{\frac{2}{3}} ו-27−2327^{-\frac{2}{3}}

המכנה של המעריך הוא השורש, והמונה הוא החזקה.

823=(83)2=22=4\begin{aligned}8^{\frac{2}{3}} &= \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 \\ &= 2^2 \\ &= 4\end{aligned}

קודם שורש שלישי, אחר כך ריבוע

27−23=1272327^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}

המינוס הופך לשבר

1(273)2=132=19\begin{aligned}\frac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2} &= \frac{1}{3^2} \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

ואז אותו חישוב כמו קודם

מהו 163416^{\frac{3}{4}}?

להציג את התשובה והפתרון

164=2\sqrt[4]{16}=2, ולכן 1634=23=816^{\frac{3}{4}}=2^3=8.

מחשבים קודם את השורש, ורק אחר כך את החזקה. כך המספרים נשארים קטנים: 164=2\sqrt[4]{16}=2 קל יותר מ-40964\sqrt[4]{4096}.

לכתוב הכול באותו בסיס

בכל הפרק נכתוב מספרים כחזקה של בסיס אחד. למשל 8=238=2^3, 14=2−2\frac{1}{4}=2^{-2} ו-2=212\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}.

42=22⋅212=252\begin{aligned}4\sqrt{2} &= 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \\ &= 2^{\frac{5}{2}}\end{aligned}

כפל: מחברים מעריכים

193=1323=3−23\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt[3]{9}} &= \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \\ &= 3^{-\frac{2}{3}}\end{aligned}

שורש, ואחר כך שבר

0.04=125=5−2\begin{aligned}0.04 &= \frac{1}{25} \\ &= 5^{-2}\end{aligned}

מספר עשרוני: קודם כותבים אותו כשבר

כתבו את 82\frac{8}{\sqrt{2}} כחזקה של 22.

להציג את התשובה והפתרון

23212=23−12=252\frac{2^3}{2^{\frac{1}{2}}}=2^{3-\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{2}}. בחילוק מחסרים מעריכים.

שלוש טעויות שחוזרות.

2−3=−82^{-3}=-8
2−3=182^{-3}=\frac{1}{8}

מעריך שלילי הופך את החזקה לשבר. הוא לא הופך את המספר לשלילי.

912=4.59^{\frac{1}{2}}=4.5
912=9=3\begin{aligned}9^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

המעריך 12\frac{1}{2} הוא שורש, לא חצי מהמספר.

23+23=262^3+2^3=2^6
23+23=2⋅23=24\begin{aligned}2^3+2^3 &= 2 \cdot 2^3 \\ &= 2^4\end{aligned}

אין חוק לחיבור חזקות. שתי חזקות שוות הן 22 כפול החזקה.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו: 272327^{\frac{2}{3}}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

273=3\sqrt[3]{27}=3

המכנה 33: שורש שלישי

32=93^2=9

המונה 22: ריבוע

99. מי שכתב 1818 הכפיל את 2727 ב-23\frac{2}{3}: המעריך לא כופל את הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו: (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

(12)−3=23\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}

הופכים את השבר, המעריך נעשה חיובי

23=82^3=8

88. התשובה −18-\frac{1}{8} הופכת את הסימן במקום את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה ביטוי שווה ל-x23\sqrt[3]{x^2}, כאשר x>0x>0?

  1. x−23x^{-\frac{2}{3}}
  2. x6x^{6}
  3. x32x^{\frac{3}{2}}
  4. x23x^{\frac{2}{3}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x23x^{\frac{2}{3}}

הפתרון:

xmn=xmn\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}

השורש הוא המכנה, החזקה היא המונה

x23=x23\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}

הנכונה: x23x^{\frac{2}{3}}. x32x^{\frac{3}{2}} מחליפה בין המונה למכנה. x6x^6 כופלת 2⋅32 \cdot 3 במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כתבו את 32232\sqrt{2} כחזקה של 22. השלימו את המעריך (כמספר עשרוני).

322=2 □32\sqrt{2}=2^{\,\square} , □=\square= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 322=2 □32\sqrt{2}=2^{\,\square} , □=\square= 5.5

הפתרון:

32=252=20.5\begin{aligned}32 &= 2^5 \qquad \sqrt{2} \\ &= 2^{0.5}\end{aligned}

כל גורם כחזקה של 22

25⋅20.5=25.52^5 \cdot 2^{0.5}=2^{5.5}

כפל: מחברים מעריכים

המעריך 5.55.5, כלומר 112\frac{11}{2}. מי שכתב 2.52.5 כפל 5⋅0.55 \cdot 0.5 במקום לחבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: 4−12=−24^{-\frac{1}{2}}=-2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

4−12=1412=14=12\begin{aligned}4^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המינוס הופך לשבר, החצי הוא שורש

הטענה לא נכונה: 4−12=124^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}. חזקה של בסיס חיובי היא תמיד חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל חזקה את הערך שלה.

  • 8138^{\frac{1}{3}}
  • 8−18^{-1}
  • 808^{0}
  • 4324^{\frac{3}{2}}
  • 16−1416^{-\frac{1}{4}}
  • 12\frac{1}{2}
  • 18\frac{1}{8}
  • 11
  • 22
  • 88
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8138^{\frac{1}{3}} — 22 · 8−18^{-1} — 18\frac{1}{8} · 808^{0} — 11 · 4324^{\frac{3}{2}} — 88 · 16−1416^{-\frac{1}{4}} — 12\frac{1}{2}

הפתרון:

432=(4)3=23=8\begin{aligned}4^{\frac{3}{2}} &= \left(\sqrt{4}\right)^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8\end{aligned}

שורש, ואחר כך חזקה

16−14=1164=12\begin{aligned}16^{-\frac{1}{4}} &= \frac{1}{\sqrt[4]{16}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מינוס: שבר

שימו לב: 80=18^{0}=1 ולא 00, ו-8−18^{-1} חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מפשטים את x34⋅x12x14\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}}, כאשר x>0x>0. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x34⋅x12=x34+12x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}
=x38=x^{\frac{3}{8}}
x54x14=x54−14=x1=x\begin{aligned}\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}} &= x^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}} \\ &= x^{1} \\ &= x\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =x38=x^{\frac{3}{8}} → =x54=x^{\frac{5}{4}}

הפתרון:

34+12=34+24=54\begin{aligned}\frac{3}{4}+\frac{1}{2} &= \frac{3}{4}+\frac{2}{4} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

מכנה משותף

x54−14=xx^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}=x

השורה השלישית כבר נכונה

בשורה 2 כפלו את השברים 34⋅12\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} במקום לחבר אותם. בכפל חזקות מחברים מעריכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו: 932⋅3−22713\frac{9^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{-2}}{27^{\frac{1}{3}}}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

932=332713=3\begin{aligned}9^{\frac{3}{2}} &= 3^{3} \qquad 27^{\frac{1}{3}} \\ &= 3\end{aligned}

הכול בבסיס 33

33⋅3−231=33−2−1=30\begin{aligned}\frac{3^{3} \cdot 3^{-2}}{3^{1}} &= 3^{3-2-1} \\ &= 3^0\end{aligned}

מחברים ומחסרים מעריכים

30=13^0=1

11. כשכותבים הכול באותו בסיס, החישוב הוא רק חשבון של מעריכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו 210+2102^{10}+2^{10}?

  1. 4204^{20}
  2. 2202^{20}
  3. 2112^{11}
  4. 4104^{10}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2112^{11}

הפתרון:

210+210=2⋅2102^{10}+2^{10}=2 \cdot 2^{10}

שני מחוברים שווים

=21⋅210=211=2^{1} \cdot 2^{10}=2^{11}

כפל: מחברים מעריכים

הנכונה: 2112^{11}. 2202^{20} מחברת מעריכים של סכום, ואין חוק כזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את המספרים מהקטן לגדול.

  • (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}
  • 2−12^{-1}
  • 4124^{\frac{1}{2}}
  • 8238^{\frac{2}{3}}
  • 9−129^{-\frac{1}{2}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9−129^{-\frac{1}{2}} · 2−12^{-1} · 4124^{\frac{1}{2}} · 8238^{\frac{2}{3}} · (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}

הפתרון:

9−12=132−1=12\begin{aligned}9^{-\frac{1}{2}} &= \frac{1}{3} \qquad 2^{-1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שני המספרים הקטנים מ-11

412=2823=4(12)−3=8\begin{aligned}4^{\frac{1}{2}} &= 2 \qquad 8^{\frac{2}{3}} \\ &= 4 \qquad \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \\ &= 8\end{aligned}

שלושת הגדולים

מחשבים כל חזקה לפני שמשווים. (12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} נראית קטנה, אבל היא הגדולה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון 3k=393^{k}=\frac{\sqrt{3}}{9}. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.5

הפתרון:

3=3129=32\begin{aligned}\sqrt{3} &= 3^{\frac{1}{2}} \qquad 9 \\ &= 3^{2}\end{aligned}

כל מספר כחזקה של 33

31232=312−2=3−1.5\begin{aligned}\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{2}} &= 3^{\frac{1}{2}-2} \\ &= 3^{-1.5}\end{aligned}

חילוק: מחסרים מעריכים

k=−1.5k=-1.5. מי שקיבל 2.52.5 חיבר את המעריכים במקום לחסר: 99 נמצא במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מיינו: איזה מספר שווה ל-2−22^{-2}, ואיזה לא?

  • שווה ל-2−22^{-2}
  • לא שווה
  • −14-\frac{1}{4}
  • −4-4
  • 14\frac{1}{4}
  • (12)2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
  • 0.250.25
  • 16−1416^{-\frac{1}{4}}
  • 4−14^{-1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14\frac{1}{4} — שווה ל-2−22^{-2} · 0.250.25 — שווה ל-2−22^{-2} · 4−14^{-1} — שווה ל-2−22^{-2} · (12)2\left(\frac{1}{2}\right)^{2} — שווה ל-2−22^{-2} · −4-4 — לא שווה · 16−1416^{-\frac{1}{4}} — לא שווה · −14-\frac{1}{4} — לא שווה

הפתרון:

2−2=14=0.25\begin{aligned}2^{-2} &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}
16−14=1216^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}

זה 2−12^{-1}, לא 2−22^{-2}

מעריך שלילי נותן שבר חיובי. לכן −4-4 ו-−14-\frac{1}{4} לא מתאימים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת