טרנספורמציות · חזקות והפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

מתחילים מ- $y=2^x$ ומשנים את הנוסחה. כל שינוי מזיז, מותח או משקף את הגרף.

הזזה אנכית: האסימפטוטה זזה

$y=2^x+c$ : כל הגרף זז למעלה ב- $c$ (למטה, כאשר $c<0$ ). גם האסימפטוטה זזה: היא $y=c$ .

פעילות אינטראקטיבית

איזה גרף מתאר את $y=2^x-3$ ?

שתי שאלות מספיקות: איפה האסימפטוטה, ובאיזו נקודה הגרף חותך את ציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

לא. בגרף I האסימפטוטה $y=3$ : זה $2^x+3$ , הזזה למעלה.

לא. בגרף II האסימפטוטה נשארה $y=0$ , והנקודה $(0,1)$ זזה ל- $(3,1)$ : זו הזזה ימינה, $2^{x-3}$ .

נכון. האסימפטוטה $y=-3$ , והחיתוך עם ציר ה- $y$ : $2^0-3=-2$ .

לא. גרף IV יורד והפוך: זה $-2^x+3$ , שיקוף ואחר כך הזזה.

נכון. האסימפטוטה $y=-3$ , והחיתוך עם ציר ה- $y$ הוא $(0,-2)$ .

מינוס מחוץ לחזקה מזיז את הגרף למטה. מינוס במעריך מזיז אותו ימינה.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהי האסימפטוטה של $y=5^x-4$ ? ובאיזו נקודה הגרף חותך את ציר ה- $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

האסימפטוטה $y=-4$ . החיתוך עם ציר ה- $y$ : $5^0-4=-3$ , כלומר $(0,-3)$ .

הזזה אופקית

$y=2^{x-3}$ : הגרף זז ימינה ב- $3$ . הנקודה $(0,1)$ עוברת ל- $(3,1)$ . האסימפטוטה נשארת $y=0$ .

f(x)=2^x

ו-

g(x)=2^{x-3}

. אותו גרף, שלוש יחידות ימינה. המינוס במעריך מזיז ימינה.

לאן זזה הנקודה $(0,1)$ בגרף של $y=2^{x+1}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ל- $(-1,1)$ : הזזה שמאלה ב- $1$ . ובדיקה: $2^{-1+1}=2^0=1$ .

$2^{x-3}=\frac{2^x}{2^3}=\frac{2^x}{8}$ . כלומר הזזה ימינה ב- $3$ היא גם כיווץ אנכי פי $8$ . שתי דרכים לראות את אותו גרף.

מתיחה, כיווץ ושיקוף

y=3 \cdot 2^x

מתיחה אנכית פי $3$ . החיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,3)$ . האסימפטוטה $y=0$

\begin{aligned}y &= 2^{2x} \\ &= 4^x\end{aligned}

כיווץ אופקי פי $2$ . הגרף עולה מהר יותר

y=-2^x

שיקוף בציר ה- $x$ . הגרף מתחת לציר, האסימפטוטה $y=0$

\begin{aligned}y &= 2^{-x} \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^x\end{aligned}

שיקוף בציר ה- $y$ . הגרף יורד

פעילות אינטראקטיבית

איזה גרף מתאר את $y=4-2^{x}$ ?

קודם שיקוף בציר ה- $x$ : $-2^x$ . אחר כך הזזה למעלה ב- $4$ . איפה האסימפטוטה, והאם הגרף עולה או יורד?

להציג את התשובה והפתרון

לא. גרף I מעל האסימפטוטה $y=4$ . אבל $4-2^x<4$ לכל $x$ : הגרף מתחת לה.

נכון. אסימפטוטה $y=4$ משמאל, הגרף מתחתיה ויורד, חיתוך $(0,3)$ , ואפס ב- $x=2$ כי $2^2=4$ .

לא. גרף III עולה והאסימפטוטה שלו $y=-4$ : זה $2^x-4$ .

כמעט. אסימפטוטה $y=4$ וחיתוך $(0,3)$ . אבל גרף IV עולה, והאסימפטוטה מימין: זה $4-2^{-x}$ .

נכון. אסימפטוטה $y=4$ , חיתוך עם ציר ה- $y$ ב- $(0,3)$ , וחיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $(2,0)$ .

בכל גרף כזה מחפשים שלושה דברים: אסימפטוטה, חיתוך עם ציר ה- $y$ , וכיוון.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה ההבדל בין $y=-2^x$ ל- $y=2^{-x}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$-2^x$ : המינוס מחוץ לחזקה, כל הערכים שליליים, הגרף מתחת לציר ה- $x$ . $2^{-x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ : המינוס במעריך, הגרף חיובי ויורד.

ערך מוחלט

$y=f(|x|)$ : לוקחים את החצי הימני של הגרף, ומשקפים אותו לצד שמאל. הגרף סימטרי לציר ה- $y$ .

$y=|f(x)|$ : מה שמעל ציר ה- $x$ נשאר. מה שמתחתיו מתהפך למעלה.

f(x)=2^x-4

בקו מקווקו, ו-

g(x)=|2^x-4|

. החלק שמשמאל ל-

x=2

עלה למעלה, ואיתו גם האסימפטוטה:

y=4

מהי האסימפטוטה של $y=|2^x-4|$ ? ובאיזו נקודה הגרף חותך את ציר ה- $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כאשר $x\to-\infty$ , $2^x-4\to-4$ , והערך המוחלט נותן $4$ : האסימפטוטה $y=4$ . החיתוך: $|1-4|=3$ , כלומר $(0,3)$ .

שלוש טעויות שחוזרות.

y=2^{x-3}\ \Rightarrow\ (-3,\,1)

y=2^{x-3}\ \Rightarrow\ (3,\,1)

מינוס במעריך מזיז ימינה. מציבים $x=3$ : $2^0=1$ .

\begin{aligned}y &= 2^x+5:\ y \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}y &= 2^x+5:\ y \\ &= 5\end{aligned}

הזזה אנכית מזיזה גם את האסימפטוטה.

-2^x=\left(\frac{1}{2}\right)^x

2^{-x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x

המינוס מחוץ לחזקה משקף בציר ה- $x$ . רק מינוס במעריך הופך את הבסיס.

תרגילים

תרגיל 1

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x)=3^{x+1}-5$ ? כתבו את שיעור ה- $y$ שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

3^{x+1}\to 0 \quad (x\to-\infty)

החזקה מתקרבת ל- $0$

f(x)\to -5

האסימפטוטה $y=-5$

$y=-5$ . ההזזה במעריך ( $x+1$ ) לא מזיזה את האסימפטוטה. רק המספר מחוץ לחזקה מזיז אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באיזו נקודה חותך הגרף של $f(x)=3^{x+1}-5$ את ציר ה- $y$ ? כתבו את שיעור ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(0)=3^{1}-5

מציבים $x=0$

=-2

$-2$ . מי שקיבל $-4$ הציב $3^0=1$ : שכח את ה- $+1$ במעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איך מקבלים את הגרף של $y=2^{x-2}+1$ מהגרף של $y=2^x$ ?

הזזה שמאלה ב- $2$ והזזה למעלה ב- $1$
הזזה ימינה ב- $2$ והזזה למעלה ב- $1$
מתיחה פי $2$ והזזה למעלה ב- $1$
הזזה ימינה ב- $2$ והזזה למטה ב- $1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הזזה ימינה ב- $2$ והזזה למעלה ב- $1$

הפתרון:

x-2

במעריך: ימינה ב- $2$

+1

מחוץ לחזקה: למעלה ב- $1$

הנכונה: ימינה ב- $2$ , למעלה ב- $1$ . $x-2$ במעריך מזיז ימינה, לא שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=2^{x-1}+3$ . השלימו.

האסימפטוטה: $y=$ ____ ; החיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: האסימפטוטה: $y=$ 3 ; החיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ 3.5 $)$

הפתרון:

y=3

המספר מחוץ לחזקה

\begin{aligned}f(0) &= 2^{-1}+3 \\ &= 0.5+3 \\ &= 3.5\end{aligned}

מציבים $x=0$

החיתוך $3.5$ : $2^{-1}=\frac{1}{2}$ . מי שכתב $1$ חשב $2^{-1}=-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: הגרף של $y=2^{x+2}$ הוא הגרף של $y=4 \cdot 2^x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}2^{x+2} &= 2^x \cdot 2^2 \\ &= 4 \cdot 2^x\end{aligned}

כפל חזקות

הטענה נכונה. הזזה שמאלה ב- $2$ ומתיחה אנכית פי $4$ נותנות את אותו גרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזה גרף מתאר את $y=1-2^x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א I

הפתרון:

1-2^x<1

הגרף מתחת לאסימפטוטה $y=1$

2^x \nearrow \ \Rightarrow\ 1-2^x \searrow

הפונקציה יורדת

1-2^0=0

עובר בראשית

הנכון: I. III גם מתחת ל- $y=1$ ועובר בראשית, אבל הוא עולה: זה $1-2^{-x}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באיזו נקודה חותך הגרף של $f(x)=9-3^x$ את ציר ה- $x$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}9-3^x &= 0 \ \Rightarrow\ 3^x \\ &= 9 \\ &= 3^2\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : $y=0$

x=2

$x=2$ . מי שכתב $9$ בלבל בין חיתוך עם ציר ה- $x$ לחיתוך עם ציר ה- $y$ , שהוא $(0,8)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: באיזו פונקציה האסימפטוטה האופקית היא $y=0$ , ובאיזו לא?

האסימפטוטה $y=0$
אסימפטוטה אחרת

$y=-3 \cdot 2^x$
$y=|2^x-1|$
$y=2^{-x}$
$y=2^{x-5}$
$y=2^x-5$
$y=7+2^{x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=2^{x-5}$ — האסימפטוטה $y=0$ · $y=-3 \cdot 2^x$ — האסימפטוטה $y=0$ · $y=2^{-x}$ — האסימפטוטה $y=0$ · $y=2^x-5$ — אסימפטוטה אחרת · $y=|2^x-1|$ — אסימפטוטה אחרת · $y=7+2^{x}$ — אסימפטוטה אחרת

הפתרון:

2^{x-5},\ -3 \cdot 2^x,\ 2^{-x} \ \to 0

שינוי במעריך או כפל לא מזיז את $y=0$

2^x-5 \to -5 \quad |2^x-1| \to 1 \quad 7+2^x \to 7

הזזה אנכית מזיזה

רק מספר שמחברים לחזקה (או ערך מוחלט שהופך אותו) מזיז את האסימפטוטה. כפל ב- $-3$ משקף, אבל $0$ נשאר $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את התיאור שלה, יחסית ל- $y=2^x$ .

$y=2^{x}-2$
$y=2^{x+2}$
$y=2^{-x}$
$y=-2^{x}$
$y=2^{|x|}$

הזזה למטה ב- $2$
הזזה שמאלה ב- $2$
החצי הימני ושיקופו
שיקוף בציר ה- $x$
שיקוף בציר ה- $y$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=2^{x}-2$ — הזזה למטה ב- $2$ · $y=2^{x+2}$ — הזזה שמאלה ב- $2$ · $y=2^{-x}$ — שיקוף בציר ה- $y$ · $y=-2^{x}$ — שיקוף בציר ה- $x$ · $y=2^{|x|}$ — החצי הימני ושיקופו

הפתרון:

2^{x+2}:\ (0,1)\to(-2,1)

פלוס במעריך: שמאלה

המקום של השינוי קובע: בתוך המעריך — אופקי, מחוץ לחזקה — אנכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הגרף של $f(x)=2^x+k$ עובר בנקודה $(1,\,5)$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 2+k \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את הנקודה

k=3

$k=3$ , והאסימפטוטה $y=3$ . מי שקיבל $4$ הציב $2^1=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה $g(x)=|2^x-4|$ . כמה פתרונות יש למשוואה $g(x)=2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}2^x-4 &= 2 \ \Rightarrow\ 2^x \\ &= 6\end{aligned}

פתרון אחד, מימין ל- $x=2$

\begin{aligned}2^x-4 &= -2 \ \Rightarrow\ 2^x \\ &= 2 \ \Rightarrow\ x \\ &= 1\end{aligned}

פתרון שני

0<2<4

הקו $y=2$ בין הציר לאסימפטוטה $y=4$ : חותך פעמיים

שני פתרונות. ערך מוחלט שווה ל- $2$ כאשר הביטוי הוא $2$ או $-2$ . מי ששכח את $-2$ מצא רק פתרון אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

תלמיד בדק את $f(x)=3-2^{x+1}$ : החיתוך עם ציר ה- $y$ , החיתוך עם ציר ה- $x$ , והאם הגרף מעל האסימפטוטה $y=3$ או מתחתיה. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}f(0) &= 3-2^{1} \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}3-2^{x+1} &= 0 \ \Rightarrow\ 2^{x+1} \\ &= 3\end{aligned}

2^{x+1}>0 \ \Rightarrow\ f(x)>3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^{x+1}>0 \ \Rightarrow\ f(x)>3$ → $2^{x+1}>0 \ \Rightarrow\ f(x)<3$

הפתרון:

3-2^{x+1}<3

מחסרים מ- $3$ מספר חיובי

בשורה 3: הגרף מתחת לאסימפטוטה, כי מורידים מ- $3$ מספר חיובי. המינוס לפני החזקה הוא שיקוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הזזה אנכית: האסימפטוטה זזה

הזזה אופקית

מתיחה, כיווץ ושיקוף

ערך מוחלט

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev