משוואות מעריכיות · חזקות והפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

במשוואה מעריכית הנעלם נמצא במעריך: $2^x=32$ .

בפרק הזה נפתור משוואות שבהן אפשר לכתוב את שני האגפים באותו בסיס.

אותו בסיס: משווים מעריכים

הפונקציה $a^x$ עולה תמיד או יורדת תמיד. לכן כל ערך מתקבל פעם אחת בלבד.

הישר

y=8

פוגש את הגרף של

y=2^x

בנקודה אחת. לכן ל-

2^x=8

יש פתרון אחד:

x=3

\begin{aligned}a^{f(x)} &= a^{g(x)} \iff f(x) \\ &= g(x)\end{aligned}

פתרו: $9^{x+1}=27^{x}$

$9$ ו- $27$ הם חזקות של $3$ .

\left(3^2\right)^{x+1}=\left(3^3\right)^{x}

כותבים הכול בבסיס $3$

3^{2x+2}=3^{3x}

חזקה של חזקה: כופלים מעריכים

\begin{aligned}2x+2 &= 3x \ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

אותו בסיס: משווים מעריכים

\begin{aligned}9^{3} &= 729 \\ &= 27^{2}\end{aligned}

בדיקה ✓

פתרו: $4^{x}=\frac{1}{8}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$2^{2x}=2^{-3}$ , ולכן $2x=-3$ ו- $x=-1.5$ .

גורם משותף

כשיש חיבור או חיסור של חזקות, לא משווים מעריכים מיד. מוציאים גורם משותף.

פתרו: $2^{x+2}+2^{x}=40$

$2^{x+2}=2^x \cdot 2^2=4 \cdot 2^x$ .

4 \cdot 2^x+2^x=40

מפרקים את החזקה

2^x(4+1)=40

גורם משותף $2^x$

\begin{aligned}2^x &= 8 \\ &= 2^3 \ \Rightarrow\ x \\ &= 3\end{aligned}

אותו בסיס

\begin{aligned}2^5+2^3 &= 32+8 \\ &= 40\end{aligned}

בדיקה ✓

פתרו: $3^{x+1}-3^{x}=54$ .

להציג את התשובה והפתרון

$3^x(3-1)=54$ , ולכן $3^x=27$ ו- $x=3$ .

הצבה $t=a^x$

כשמופיעים $a^{2x}$ ו- $a^{x}$ יחד, מציבים $t=a^x$ . אז $a^{2x}=t^2$ , ומקבלים משוואה ריבועית.

פתרו: $4^{x}-6 \cdot 2^{x}+8=0$

$4^x=\left(2^2\right)^x=\left(2^x\right)^2$ .

\begin{aligned}t &= 2^x \ \Rightarrow\ t^2-6t+8 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}(t-2)(t-4) &= 0 \ \Rightarrow\ t \\ &= 2 \\ \ t &= 4\end{aligned}

פותרים ב- $t$

\begin{aligned}2^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1 \qquad 2^x \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

פעילות אינטראקטיבית

הצבה, ופתרון שנפסל

פתרו את המשוואה $9^x-2 \cdot 3^x-3=0$ .

מה כדאי להציב?

$t=3^x$

להציג את התשובה והפתרון

$9^x=\left(3^x\right)^2=t^2$ : כל המשוואה נכתבת ב- $t$ .

$t=9^x$

להציג את התשובה והפתרון

אז $3^x=\sqrt{t}$ , ומקבלים שורש. עדיף לבחור את הבסיס הקטן.

$t=x^2$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $x$ נמצא במעריך. מציבים את החזקה, לא את $x$ .

\begin{aligned}t &= 3^x \ \Rightarrow\ t^2-2t-3 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב- $t$ .

מהם הפתרונות של $t^2-2t-3=0$ ?

$t=3$ או $t=-1$

להציג את התשובה והפתרון

$(t-3)(t+1)=0$ .

$t=-3$ או $t=1$

להציג את התשובה והפתרון

בדיקה: $9+6-3 \neq 0$ . הסימנים הפוכים.

\begin{aligned}(t-3)(t+1) &= 0 \ \Rightarrow\ t \\ &= 3 \\ \ t &= -1\end{aligned}

שני ערכים של $t$ . עכשיו חוזרים ל- $x$ .

מה עושים עם $t=-1$ ?

פוסלים: $3^x=-1$ אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

$3^x>0$ לכל $x$ .

$3^x=-1$ , ולכן $x=-1$

להציג את התשובה והפתרון

$3^{-1}=\frac{1}{3}$ , לא $-1$ . חזקה של $3$ לא יכולה להיות שלילית.

3^x=-1 \ \Rightarrow\ \emptyset

$t=a^x$ חייב להיות חיובי.

ומה עם $t=3$ ?

$3^x=3$ , ולכן $x=1$

להציג את התשובה והפתרון

אותו בסיס: משווים מעריכים.

$x=3$

להציג את התשובה והפתרון

$3$ הוא הערך של $t$ , לא של $x$ . צריך לחזור מ- $t$ ל- $x$ .

\begin{aligned}3^x &= 3^1 \ \Rightarrow\ x \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה: $9-6-3=0$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון: $x=1$ בלבד. מי שכתב גם $x=-1$ לא בדק ש- $t=3^x$ חיובי. מי שכתב $x=3$ שכח לחזור מ- $t$ ל- $x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה למשוואה $3^x=-1$ אין פתרון?

להציג את התשובה והפתרון

כי $3^x>0$ לכל $x$ : הגרף כולו מעל ציר ה- $x$ . הישר $y=-1$ לא פוגש אותו.

שלוש שאלות לפני כל משוואה: האם אפשר אותו בסיס? יש חיבור של חזקות (גורם משותף)? יש $a^{2x}$ ו- $a^x$ (הצבה)?

שלוש טעויות שחוזרות.

2^{x+3}=2^x+2^3

\begin{aligned}2^{x+3} &= 2^x \cdot 2^3 \\ &= 8 \cdot 2^x\end{aligned}

פלוס במעריך הופך לכפל, לא לחיבור.

2^x+2^x=2^{2x}

\begin{aligned}2^x+2^x &= 2 \cdot 2^x \\ &= 2^{x+1}\end{aligned}

בחיבור לא מחברים מעריכים.

\begin{aligned}2^x &= -4 \ \Rightarrow\ x \\ &= -2\end{aligned}

2^x=-4 \ \Rightarrow\ \emptyset

חזקה של בסיס חיובי לא שלילית. $2^{-2}=\frac{1}{4}$ .

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה $3^{x-1}=81$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

81=3^4

\begin{aligned}x-1 &= 4 \ \Rightarrow\ x \\ &= 5\end{aligned}

משווים מעריכים

$x=5$ . מי שקיבל $4$ שכח את ה- $-1$ במעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המשוואה $25^{x}=125$ . כתבו מספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

5^{2x}=5^{3}

שני האגפים בבסיס $5$

\begin{aligned}2x &= 3 \ \Rightarrow\ x \\ &= 1.5\end{aligned}

$x=1.5$ . $125$ אינו חזקה שלמה של $25$ , אבל שניהם חזקות של $5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המשוואה $2^{x^2-3x}=\frac{1}{4}$ . כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

$x_1=$ ____ , $x_2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_1=$ 1 , $x_2=$ 2

הפתרון:

\frac{1}{4}=2^{-2}

\begin{aligned}x^2-3x &= -2 \ \Rightarrow\ x^2-3x+2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים מעריכים

(x-1)(x-2)=0

מעריך ריבועי נותן משוואה ריבועית: שני פתרונות. מי שכתב $\frac{1}{4}=2^{2}$ פתר $x^2-3x-2=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את המשוואה $2^{x+1}+2^{x}=24$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2^x(2+1)=24

גורם משותף

\begin{aligned}2^x &= 8 \ \Rightarrow\ x \\ &= 3\end{aligned}

$x=3$ . אסור לכתוב $2^{x+1}+2^x=2^{2x+1}$ : אין חוק לחיבור חזקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המשוואה $5^{x+1}-5^{x-1}=120$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

5^{x-1}\left(5^2-1\right)=120

גורם משותף: החזקה הקטנה, $5^{x-1}$

\begin{aligned}5^{x-1} \cdot 24 &= 120 \ \Rightarrow\ 5^{x-1} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}x-1 &= 1 \ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

$x=2$ . בדיקה: $125-5=120$ ✓. מוציאים את החזקה הקטנה, ואז כל המעריכים שנשארים חיוביים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המשוואה $4^{x}-5 \cdot 2^{x}+4=0$ בעזרת ההצבה $t=2^x$ . השלימו.

$t_1=$ ____ , $t_2=$ ____ ; $x_1=$ ____ , $x_2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $t_1=$ 1 , $t_2=$ 4 ; $x_1=$ 0 , $x_2=$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}t^2-5t+4 &= 0 \ \Rightarrow\ (t-1)(t-4) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ב- $t$

\begin{aligned}2^x &= 1 \\ &= 2^0 \Rightarrow x \\ &= 0 \qquad 2^x \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

שני ערכים של $t$ , שני ערכים של $x$ . $2^x=1$ נותן $x=0$ , כי $a^0=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה פתרונות יש למשוואה $9^{x}-4 \cdot 3^{x}+3=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2$

הפתרון:

\begin{aligned}t &= 3^x \ \Rightarrow\ t^2-4t+3 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}t &= 1 \\ \ t &= 3\end{aligned}

שני ערכים חיוביים

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 1\end{aligned}

שני פתרונות: $x=0$ ו- $x=1$ . כאן שני הערכים של $t$ חיוביים, ולכן אף אחד לא נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: למשוואה $2^x+8=0$ אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2^x=-8

2^x>0

לכל $x$

הטענה נכונה. $2^x+8>8$ לכל $x$ . מי שכתב $x=-3$ חשב $2^{-3}=-8$ , אבל $2^{-3}=\frac{1}{8}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו את המשוואה $\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=9$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

\left(\frac{1}{3}\right)^x=3^{-x}

בסיס $3$

\begin{aligned}3^{-x} &= 3^{2} \ \Rightarrow\ -x \\ &= 2\end{aligned}

$x=-2$ . מי שקיבל $2$ שכח שהבסיס $\frac{1}{3}$ הוא $3^{-1}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו את המשוואה $\left(\sqrt{2}\right)^{x}=8$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^x=2^{\frac{x}{2}}

השורש כחזקה

\begin{aligned}\frac{x}{2} &= 3 \ \Rightarrow\ x \\ &= 6\end{aligned}

$x=6$ . $\sqrt{2}$ הוא $2^{\frac{1}{2}}$ : המעריך הוא $\frac{x}{2}$ , ולכן $x$ גדול פי $2$ מ- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פותרים את $2^{2x}-2^{x+2}=0$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2^{2x}-4 \cdot 2^{x}=0

2^x\left(2^x-4\right)=0

\begin{aligned}2^x &= 0 \ \Rightarrow\ x \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}2^x &= 4 \ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^x=0 \ \Rightarrow\ x=0$ → $2^x=0 \ \Rightarrow\ \emptyset$

הפתרון:

2^x>0

לכן $2^x=0$ אין פתרון

x=2

הפתרון היחיד. בדיקה: $16-16=0$ ✓

בשורה 3: $2^0=1$ , לא $0$ . לחזקה אין אפס: הגורם $2^x$ לא מתאפס אף פעם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו לכל משוואה את הדרך הראשונה לפתור אותה.

$8^{x}=4^{x+1}$
$3^{x+2}-3^{x}=72$
$4^{x}-3 \cdot 2^{x}-4=0$
$5^{x}=-5$

אין פתרון
גורם משותף
הצבה $t=2^x$
כותבים באותו בסיס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $8^{x}=4^{x+1}$ — כותבים באותו בסיס · $3^{x+2}-3^{x}=72$ — גורם משותף · $4^{x}-3 \cdot 2^{x}-4=0$ — הצבה $t=2^x$ · $5^{x}=-5$ — אין פתרון

הפתרון:

\begin{aligned}8^x &= 4^{x+1}\ \Rightarrow\ 2^{3x} \\ &= 2^{2x+2}\ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}3^x(9-1) &= 72\ \Rightarrow\ 3^x \\ &= 9\ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}t^2-3t-4 &= 0\ \Rightarrow\ t \\ &= 4\ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

$t=-1$ נפסל

מה שקובע את הדרך הוא הצורה: חזקה אחת בכל אגף, חיבור של חזקות, או $a^{2x}$ ליד $a^x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אותו בסיס: משווים מעריכים

גורם משותף

הצבה t=axt=a^xt=ax

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

הצבה $t=a^x$