תרגול · חזקות והפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

עשרה תרגילים על כל הפרק: חזקות, הגרף של $a^x$ , טרנספורמציות, משוואות ואי-שוויונות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

חשבו: $64^{-\frac{2}{3}}$ . כתבו מספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.0625

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt[3]{64} &= 4 \ \Rightarrow\ 64^{\frac{2}{3}} \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}64^{-\frac{2}{3}} &= \frac{1}{16} \\ &= 0.0625\end{aligned}

מינוס: שבר

$0.0625$ . קודם שורש, אחר כך חזקה, ובסוף המינוס הופך לשבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזו פונקציה יורדת?

$y=-5^{-x}$
$y=5^{x}-1$
$y=\left(\frac{1}{5}\right)^{-x}$
$y=5^{-x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y=5^{-x}$

הפתרון:

5^{-x}=\left(\frac{1}{5}\right)^x

בסיס קטן מ- $1$

הנכונה: $5^{-x}$ . $-5^{-x}$ היא שיקוף של פונקציה יורדת בציר ה- $x$ , ולכן היא עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המשוואה $27^{x}=9$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

3^{3x}=3^{2}

x=\frac{2}{3} \approx 0.67

$x=\frac{2}{3} \approx 0.67$ . מי שקיבל $1.5$ השווה $2x=3$ : הפך בין שני האגפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הפתרון של $0.1^{x}<100$ ?

$x>2$
$x<2$
$x<-2$
$x>-2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x>-2$

הפתרון:

100=0.1^{-2}

x>-2

הבסיס $0.1<1$ : הסימן מתהפך

הנכונה: $x>-2$ . בדיקה: $x=0$ נותן $1<100$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 5

פתרו את המשוואה $2^{x+1}-2^{x-1}=6$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}2^{x-1}(4-1) &= 6 \ \Rightarrow\ 2^{x-1} \\ &= 2\end{aligned}

גורם משותף: החזקה הקטנה

\begin{aligned}x-1 &= 1 \ \Rightarrow\ x \\ &= 2\end{aligned}

$x=2$ . בדיקה: $8-2=6$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-8$ . השלימו.

אסימפטוטה: $y=$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ ____ $)$ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $($ ____ $,0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטה: $y=$ -8 ; חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,$ -4 $)$ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $($ -1 $,0)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}-8 \\ &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

\begin{aligned}\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} &= 8 \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \ \Rightarrow\ x-2 \\ &= -3\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : הפונקציה יורדת, ולכן היא חיובית משמאל לנקודה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו סכום הפתרונות של המשוואה $25^{x}-6 \cdot 5^{x}+5=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}t &= 5^x \ \Rightarrow\ t^2-6t+5 \\ &= 0 \ \Rightarrow\ t \\ &= 1 \\ \ t &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 1\end{aligned}

$1$ . מי שענה $6$ חיבר את ערכי $t$ , לא את ערכי $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו הפתרון של אי-השוויון $4^{x^2}>2^{x+1}$ ?

$x<-1$ או $x>0.5$
$x>1$
$x<-0.5$ או $x>1$
$-0.5<x<1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x<-0.5$ או $x>1$

הפתרון:

2^{2x^2}>2^{x+1} \ \Rightarrow\ 2x^2-x-1>0

אותו בסיס, הסימן נשאר

(2x+1)(x-1)>0

השורשים $-0.5$ ו- $1$

הנכונה: $x<-0.5$ או $x>1$ : מחוץ לשורשים. האפשרות האחרונה פתרה $2x^2+x-1>0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — אתגר

תרגיל 9

כמה פתרונות יש למשוואה $|2^{x}-8|=7$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

0<7<8

מתחת לאסימפטוטה $y=8$

\begin{aligned}2^x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0 \qquad 2^x \\ &= 15\end{aligned}

שני ענפים

שניים. $|2^x-8|=7$ פירושו $2^x-8=7$ או $2^x-8=-7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו את אי-השוויון $9^{x}-4 \cdot 3^{x}+3<0$ בעזרת $t=3^x$ . השלימו.

____ $<t<$ ____ ; ____ $<x<$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1 $<t<$ 3 ; 0 $<x<$ 1

הפתרון:

t^2-4t+3<0 \ \Rightarrow\ 1<t<3

אי-שוויון ריבועי ב- $t$

3^0<3^x<3^1 \ \Rightarrow\ 0<x<1

הבסיס $3>1$

אותה הצבה כמו במשוואה, ואחר כך שני אי-שוויונות מעריכיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — אתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev