גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בבגרות נותנים לפעמים ארבעה גרפים, ושואלים: איזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת? ונמקו.

f′(x)>0f^{\prime}(x)>0

הגרף של f′f^{\prime} מעל ציר ה-xx: ff עולה

f′(x)<0f^{\prime}(x)<0

הגרף של f′f^{\prime} מתחת לציר ה-xx: ff יורדת

f′(x0)=0f^{\prime}(x_0)=0

הגרף של f′f^{\prime} חוצה את הציר: ל-ff יש קיצון

Df′=DfD_{f^{\prime}}=D_f

ל-f′f^{\prime} אותו תחום כמו ל-ff. אם ff מוגדרת רק ל-x>0x>0, גם f′f^{\prime}

לפי הגרף הנכון, באיזה תחום ff עולה?

להציג את התשובה והפתרון

x>1x>1: שם הגרף של f′f^{\prime} מעל ציר ה-xx.

מה הסימן של f′f^{\prime} כאשר x<0x<0? מה זה אומר על ff?

להציג את התשובה והפתרון

f′<0f^{\prime}<0: המונה 2x2x שלילי, והמכנה חיובי. לכן ff יורדת ב-x<0x<0.

פעולות על פונקציות

מ-ff בונים פונקציות חדשות. שתי פעולות חוזרות בבגרות: הזזה וערך מוחלט.

g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k

הגרף זז למטה kk. אותה נגזרת, אותו xx של הקיצון

g(x)=0  ⟺  f(x)=k\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= k\end{aligned}

נקודות החיתוך של gg עם ציר ה-xx = כמה פעמים הקו y=ky=k חותך את ff

g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|

מה שמתחת לציר ה-xx מתהפך למעלה. מה שמעליו נשאר

1234−2−112xyx = 0(1,0)I
1234−2−112xyx = 0(1,0)II
I: y=ln⁡xy=\ln x. II: y=∣ln⁡x∣y=|\ln x|. החלק של ln⁡x\ln x שבין 00 ל-11 (מתחת לציר) מתהפך למעלה. ב-(1, 0)(1,\,0) נוצר "שפיץ": מינימום של ∣ln⁡x∣|\ln x|.

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ln⁡x∣=1|\ln x|=1?

להציג את התשובה והפתרון

שניים: ln⁡x=1\ln x=1 נותן x=ex=e, ו-ln⁡x=−1\ln x=-1 נותן x=1ex=\frac1e.

f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). כמה נקודות חיתוך יש ל-g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k עם ציר ה-xx?

g(x)=0g(x)=0 פירושו f(x)=kf(x)=k. סופרים חיתוכים של הקו y=ky=k עם הגרף של ff.

k<1k<1

הקו מתחת למינימום: אין חיתוך

k=1k=1

הקו נוגע במינימום: חיתוך אחד

k>1k>1

הגרף יורד מאינסוף עד 11 ועולה שוב: שני חיתוכים

שטח מתחת לגרף של הנגזרת

אם ff ידועה, השטח בין הגרף של f′f^{\prime} לציר ה-xx מחושב בלי לחפש פונקציה קדומה: ff עצמה היא הקדומה של f′f^{\prime}.

∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f^{\prime}(x)\,dx=f(b)-f(a)

f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′f^{\prime}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1, x=ex=e.

בתחום הזה f′≥0f^{\prime}\ge 0: הגרף מעל הציר.

S=∫1ef′(x) dx=f(e)−f(1)\begin{aligned}S &= \int_1^e f^{\prime}(x)\,dx \\ &= f(e)-f(1)\end{aligned}
f(e)=e2−2f(1)=1\begin{aligned}f(e) &= e^2-2 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}
S=e2−3≈4.39S=e^2-3\approx 4.39

כשהגרף של הנגזרת מתחת לציר.

S=f(1)−f(0.5)S=f(1)-f(0.5)
S=f(0.5)−f(1)S=f(0.5)-f(1)

בתחום 0.5≤x≤10.5\le x\le 1 מתקיים f′<0f^{\prime}<0, ולכן f(1)−f(0.5)f(1)-f(0.5) שלילי. שטח הוא חיובי: מחסרים בסדר ההפוך.

תרגילים

תרגיל 1

12345−3−2−11xyf'y = 1x = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x) של פונקציה ff המוגדרת ל-x>0x>0. באיזה תחום ff עולה?

  1. 0<x<10<x<1
  2. x<1x<1
  3. x>1x>1
  4. x>0x>0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x>1x>1

הפתרון:

x>1:f′(x)>0x>1: f^{\prime}(x)>0

שם הגרף של f′f^{\prime} מעל הציר

0<x<1:f′(x)<00<x<1: f^{\prime}(x)<0

שם ff יורדת

x>1x>1. שואלים איפה הגרף של f′f^{\prime} מעל הציר, ולא איפה הוא עולה: הוא עולה בכל התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

123−5−4−3−2−112345xyf'x = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x). כמה נקודות קיצון יש לפונקציה ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(1)=0f^{\prime}(1)=0

הגרף חוצה את הציר פעם אחת

−→+-\to+

הסימן מתחלף: מינימום

נקודה אחת. האסימפטוטה x=0x=0 אינה נקודת קיצון: שם ff לא מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

xyI
xyII
xyIII
xyIV

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). איזה מבין הגרפים מתאר את f′(x)f^{\prime}(x)?

  1. גרף IV
  2. גרף II
  3. גרף I
  4. גרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף II

הפתרון:

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

מוגדרת לכל xx

x<0:f′<0, x>0:f′>0x<0: f^{\prime}<0 ,\ x>0: f^{\prime}>0
IV:x>0\text{IV}: x>0

גרף IV חסר את x<0x<0: נפסל

גרף II. גרף IV נראה נכון, אבל ff מוגדרת לכל xx, ולכן גם f′f^{\prime}. גרף III הפוך בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציות f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x ו-g(x)=x−ln⁡x−5g(x)=x-\ln x-5 יש אותה פונקציית נגזרת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

g′(x)=f′(x)−0=1−1x\begin{aligned}g^{\prime}(x) &= f^{\prime}(x)-0 \\ &= 1-\frac1x\end{aligned}

הנגזרת של 55 היא 00

נכון. gg היא ff מוזזת למטה ב-55. השיפוע בכל xx לא משתנה, ולכן גם הקיצון באותו xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). בעבור איזה ערך של kk יש ל-g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-k בדיוק נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

g(x)=0  ⟺  f(x)=k\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= k\end{aligned}
k=f(1)=1\begin{aligned}k &= f(1) \\ &= 1\end{aligned}

הקו y=ky=k נוגע במינימום

k=1k=1. בכל k>1k>1 יש שתי נקודות, ובכל k<1k<1 אין אף אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה פתרונות יש למשוואה ∣ln⁡x∣=2|\ln x|=2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

ln⁡x=2⇒x=e2\begin{aligned}\ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}
ln⁡x=−2⇒x=e−2\begin{aligned}\ln x &= -2 \Rightarrow x \\ &= e^{-2}\end{aligned}

שניים. ערך מוחלט שווה 22 כשמה שבפנים 22 או −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=ex=e. עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

f′(x)=1−1x≥01≤x≤e\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 1-\frac1x\ge 0 \\ \quad 1\le x\le e\end{aligned}

הגרף מעל הציר

S=f(e)−f(1)=(e−1)−1\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= (e-1)-1\end{aligned}
=e−2≈0.72=e-2\approx 0.72

e−2≈0.72e-2\approx 0.72. לא צריך פונקציה קדומה: ff היא הקדומה של f′f^{\prime}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x. חשבו את השטח בין הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=2x=2. עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.61

הפתרון:

f′(x)=2x−2x≥01≤x≤2\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= 2x-\frac2x\ge 0 \\ \quad 1\le x\le 2\end{aligned}
S=f(2)−f(1)=(4−2ln⁡2)−1\begin{aligned}S &= f(2)-f(1) \\ &= (4-2\ln 2)-1\end{aligned}
=3−2ln⁡2≈1.61=3-2\ln 2\approx 1.61

≈1.61\approx 1.61. מי שחישב f′(2)−f′(1)=3f^{\prime}(2)-f^{\prime}(1)=3 הציב בנגזרת במקום בפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי נקודת המינימום של y=∣ln⁡x∣y=|\ln x|?

  1. (e, 1)(e,\,1)
  2. אין לה מינימום
  3. (0, 0)(0,\,0)
  4. (1, 0)(1,\,0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (1, 0)(1,\,0)

הפתרון:

∣ln⁡x∣≥0|\ln x|\ge 0

ערך מוחלט אף פעם לא שלילי

∣ln⁡1∣=0|\ln 1|=0

השוויון רק ב-x=1x=1

(1, 0)(1,\,0), ה"שפיץ". (0, 0)(0,\,0) מחוץ לתחום. במינימום הזה הנגזרת לא מתאפסת: היא לא קיימת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). מיינו: בכל ערך של xx, האם ff עולה או יורדת?

  • עולה
  • יורדת
  • x=−0.5x=-0.5
  • x=−2x=-2
  • x=−4x=-4
  • x=0.5x=0.5
  • x=1x=1
  • x=3x=3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=−2x=-2 — יורדת · x=3x=3 — עולה · x=−0.5x=-0.5 — יורדת · x=0.5x=0.5 — עולה · x=−4x=-4 — יורדת · x=1x=1 — עולה

הפתרון:

f′(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\frac{2x}{x^2+1}

המכנה חיובי, הסימן לפי 2x2x

שלילי: יורדת. חיובי: עולה. זה לא תלוי בגודל של xx, רק בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה f(x)=x2−2ln⁡xf(x)=x^2-2\ln x, עם מינימום (1, 1)(1,\,1). מהי נקודת המינימום של g(x)=f(x)−3g(x)=f(x)-3? השלימו.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 1 , y=y= -2

הפתרון:

g′(x)=f′(x)g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)

אותו xx של הקיצון

g(1)=1−3=−2\begin{aligned}g(1) &= 1-3 \\ &= -2\end{aligned}

הגרף ירד ב-33

(1, −2)(1,\,-2). ההזזה למטה משנה את yy בלבד. מי שכתב x=−2x=-2 הזיז את הנקודה הצידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת