הגדרת הלוגריתם · לוגריתמים והפונקציה הלוגריתמית · כיתה י״ב

בפרק החזקות פתרנו $2^x=8$ : כתבנו $8=2^3$ , ולכן $x=3$ . עכשיו ננסה $2^x=32$ , ואחר כך $2^x=10$ .

באיזה מעריך קיבלתם $32$ ? ואיזה מעריך ייתן $10$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2^5=32$ , ולכן $x=5$ . את $10$ לא מקבלים במעריך שלם: $2^3=8$ ו- $2^4=16$ . המעריך נמצא בין $3$ ל- $4$ , ויש לו שם: $\log_2 10$ .

ההגדרה

הלוגריתם של $b$ בבסיס $a$ הוא המעריך שצריך לשים על $a$ כדי לקבל $b$ .

\begin{aligned}a^x &= b \iff x \\ &= \log_a b\end{aligned}

כאשר $a>0$ , $a\neq 1$ ו- $b>0$ .

\log_2 32=5

כי $2^5=32$

\log_3 81=4

כי $3^4=81$

\log_5 \tfrac{1}{25}=-2

כי $5^{-2}=\frac{1}{25}$

\log_9 3=\tfrac{1}{2}

כי $9^{\frac12}=\sqrt{9}=3$

כמה זה $\log_4 64$ ? וכמה זה $\log_{10} 0.001$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\log_4 64=3$ , כי $4^3=64$ . $\log_{10} 0.001=-3$ , כי $10^{-3}=\frac{1}{1000}$ .

מתי הלוגריתם מוגדר

חזקה של בסיס חיובי היא תמיד חיובית. לכן אין מעריך שנותן $0$ או מספר שלילי.

$\log_2 0$ ו- $\log_2(-4)$ לא מוגדרים. גם בסיס $1$ אסור: $1^x=1$ לכל $x$ , ואין מעריך שנותן $5$ .

ארבעה ערכים שכדאי לזכור

\log_a 1=0

כי $a^0=1$

\log_a a=1

כי $a^1=a$

\log_a a^n=n

המעריך יוצא החוצה

a^{\log_a b}=b

מעלים את $a$ במעריך שנותן $b$

כמה זה $5^{\log_5 7}$ ? וכמה זה $\log_7 7^{10}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$5^{\log_5 7}=7$ : $\log_5 7$ הוא בדיוק המעריך שנותן $7$ . ו- $\log_7 7^{10}=10$ .

שני מקשים במחשבון: log ו-ln

\log x

בלי בסיס: בסיס $10$ . $\log 1000=3$

\ln x

בסיס מיוחד, $e \approx 2.718$ . $\ln 1=0$

את המספר $e$ נכיר בפרק החשבון הדיפרנציאלי. בינתיים $\ln$ הוא עוד מקש במחשבון, ועובדים איתו בדיוק כמו עם $\log$ .

פעילות אינטראקטיבית

\log_4 8

הגדרה

נסמן $x=\log_4 8$ . מה אומרת ההגדרה?

4^x=8

8^x=4

להציג את התשובה והפתרון

הבסיס הוא $4$ , המספר שלמטה. $8$ הוא התוצאה.

x^4=8

להציג את התשובה והפתרון

$x$ הוא המעריך, לא הבסיס.

מחפשים מעריך על $4$ שנותן $8$ .

בסיס משותף

את $4$ ואת $8$ כותבים כחזקות של אותו מספר. איך?

\begin{aligned}4 &= 2^2 \\ \ 8 &= 2^3\end{aligned}

\begin{aligned}4 &= 2^2 \\ \ 8 &= 2^4\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$2^4=16$ . בדקו: $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ .

\begin{aligned}4 &= 4^1 \\ \ 8 &= 4^2\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$4^2=16$ , לא $8$ .

שניהם חזקות של $2$ .

\begin{aligned}(2^2)^x &= 2^3 \Rightarrow 2^{2x} \\ &= 2^3\end{aligned}

מעריכים

מה יוצא כשמשווים את המעריכים?

2x=3

x+2=3

להציג את התשובה והפתרון

חזקה של חזקה: כופלים מעריכים. $(2^2)^x=2^{2x}$ .

כלומר $x=\frac{3}{2}$ .

\begin{aligned}2x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}

$\log_4 8=\frac{3}{2}$ . בדיקה: $4^{\frac32}=\left(\sqrt{4}\right)^3=2^3=8$ ✓

פותרים יחד: $\log_4 8$

לעשות את הפעילות ב-elev

שלוש טעויות שחוזרות.

\log_2 8=4

\log_2 8=3

לא מחלקים $8$ ב- $2$ . שואלים: $2$ בחזקת כמה נותן $8$ ?

\log_2 \tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{3}

\log_2 \tfrac{1}{8}=-3

שבר נותן מעריך שלילי: $2^{-3}=\frac{1}{8}$ .

\log_3(-9)=-2

3^{-2}=\tfrac{1}{9}

מעריך שלילי נותן שבר, לא מספר שלילי. $\log_3(-9)$ לא מוגדר.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את $\log_3 243$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

3^5=243

מחפשים מעריך על $3$

\log_3 243=5

ההגדרה

מי שכתב $81$ חילק את $243$ ב- $3$ . הלוגריתם הוא מעריך, לא מנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את $\log_2 \frac{1}{16}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

\tfrac{1}{16}=2^{-4}

שבר הוא חזקה עם מעריך שלילי

\log_2 \tfrac{1}{16}=-4

ההגדרה

התשובה שלילית: המספר קטן מ- $1$ . מי שקיבל $4$ שכח את המינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו $\log_{25} 5$ ?

$-2$
$5$
$2$
$\frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}25^{\frac12} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

שורש הוא חזקה של חצי

\log_{25} 5=\tfrac{1}{2}

ההגדרה

$\log_5 25=2$ , אבל כאן הבסיס הוא $25$ והמספר הוא $5$ . הסדר הפוך, והתשובה $\frac12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

השלימו.

$\log 10000=$ ____ , $\log 0.01=$ ____ , $\ln 1=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\log 10000=$ 4 , $\log 0.01=$ -2 , $\ln 1=$ 0

הפתרון:

10^4=10000

$\log$ בלי בסיס: בסיס $10$

10^{-2}=0.01

מעריך שלילי

\ln 1=0

כל בסיס בחזקת $0$ נותן $1$

$\ln 1=0$ כמו $\log 1=0$ : הבסיס לא משנה כאן. מי שכתב $1$ התבלבל עם $\log_a a=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$\log_2(-8)=-3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2^{-3}=\tfrac{1}{8}

מעריך שלילי נותן שבר חיובי

2^x>0

כל חזקה של $2$ חיובית

לא נכון. אין מעריך שנותן $-8$ , ולכן $\log_2(-8)$ לא מוגדר. המינוס של $-8$ לא «יוצא» למעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל כתיב של לוגריתם את כתיב החזקה שלו.

$\log_5 125=3$
$\log_7 1=0$
$\log_4 2=\frac{1}{2}$
$\log_3 \frac{1}{9}=-2$

$3^{-2}=\frac{1}{9}$
$4^{\frac12}=2$
$5^3=125$
$7^0=1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\log_5 125=3$ — $5^3=125$ · $\log_7 1=0$ — $7^0=1$ · $\log_4 2=\frac{1}{2}$ — $4^{\frac12}=2$ · $\log_3 \frac{1}{9}=-2$ — $3^{-2}=\frac{1}{9}$

הפתרון:

\begin{aligned}\log_a b &= x \iff a^x \\ &= b\end{aligned}

הבסיס נשאר בסיס, והלוגריתם הופך למעריך

בכל זוג, הבסיס של הלוגריתם הוא הבסיס של החזקה. מי שמחליף ביניהם כותב $3^5$ במקום $5^3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המשוואה $\log_x 49=2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x^2=49

ההגדרה

\begin{aligned}x &= 7 \\ \ x &= -7\end{aligned}

שני פתרונות למשוואה הריבועית

x=7

בסיס חייב להיות חיובי

$x=-7$ נפסל: בסיס של לוגריתם חיובי ושונה מ- $1$ . מי שהשאיר שני פתרונות שכח את תנאי הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו את המשוואה $\log_2 x=-3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

x=2^{-3}

ההגדרה

\begin{aligned}x &= \tfrac{1}{8} \\ &= 0.125\end{aligned}

מעריך שלילי

הלוגריתם שלילי, אבל $x$ חיובי. מי שכתב $x=-8$ העביר את המינוס לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו במחשבון את $\log 50$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.7

הפתרון:

\begin{aligned}10^1 &= 10 \\ \ 10^2 &= 100\end{aligned}

$50$ בין $10$ ל- $100$ , אז התשובה בין $1$ ל- $2$

\log 50 \approx 1.70

מקש log

בדיקת סבירות: התשובה חייבת להיות בין $1$ ל- $2$ . מי שקיבל $3.91$ לחץ על $\ln$ במקום על $\log$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו: איזה ביטוי מוגדר ואיזה לא?

מוגדר
לא מוגדר

$\ln 3$
$\log_{-2} 4$
$\log_{0.5} 8$
$\log_1 5$
$\log_2 0$
$\log_5 0.2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\log_5 0.2$ — מוגדר · $\log_2 0$ — לא מוגדר · $\log_1 5$ — לא מוגדר · $\log_{0.5} 8$ — מוגדר · $\log_{-2} 4$ — לא מוגדר · $\ln 3$ — מוגדר

הפתרון:

a>0 ,\ a\neq 1 ,\ b>0

שלושת התנאים של $\log_a b$

$\log_{0.5} 8$ מוגדר: בסיס בין $0$ ל- $1$ מותר, והתשובה $-3$ . אסור רק בסיס $1$ , בסיס שלילי, או מספר שאינו חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו את $2^{\log_2 9}+\log_3 3^4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

2^{\log_2 9}=9

$\log_2 9$ הוא המעריך שנותן $9$

\log_3 3^4=4

המעריך יוצא

9+4=13

מחברים

לא צריך מחשבון. מי שחישב את $\log_2 9 \approx 3.17$ ואז העלה בחזקה עשה עבודה מיותרת וקיבל עיגול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

חישבו את $\log_8 4$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x=\log_8 4

8^x=4

2^{3x}=2^2

\begin{aligned}3x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3x=2 \Rightarrow x=\tfrac{3}{2}$ → $3x=2 \Rightarrow x=\tfrac{2}{3}$

הפתרון:

3x=2

משווים מעריכים

x=\tfrac{2}{3}

מחלקים ב- $3$

בשורה 4 חילקו הפוך. בדיקה: $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$ ✓, אבל $8^{\frac32}$ גדול מ- $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ההגדרה

מתי הלוגריתם מוגדר

ארבעה ערכים שכדאי לזכור

שני מקשים במחשבון: log ו-ln

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev