חוקי הלוגריתמים · לוגריתמים והפונקציה הלוגריתמית · כיתה י״ב

לוגריתם הוא מעריך. לכן לכל חוק של חזקות יש חוק תאום של לוגריתמים.

2^3 \cdot 2^4=2^{7}

בכפל חזקות מחברים מעריכים

\begin{aligned}\log_2 (8 \cdot 16) &= 3+4 \\ &= 7\end{aligned}

לוגריתם של מכפלה הוא סכום של לוגריתמים

$\log_2 8=3$ ו- $\log_2 16=4$ . כמה זה $\log_2 128$ , בלי מחשבון?

להציג את התשובה והפתרון

$128=8 \cdot 16$ , ולכן $\log_2 128=3+4=7$ . בדיקה: $2^7=128$ ✓

שלושת החוקים

\log_a (xy)=\log_a x+\log_a y

מכפלה הופכת לסכום

\log_a \frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y

מנה הופכת להפרש

\log_a x^n=n \cdot \log_a x

המעריך יורד לפני הלוגריתם

החוקים נכונים כאשר $x>0$ ו- $y>0$ . בכל שימוש בודקים שמה שבתוך הלוגריתם חיובי.

חשבו $\log_6 4+\log_6 9$

כל לוגריתם לבד אינו מספר שלם. יחד הם כן.

\log_6 4+\log_6 9=\log_6 (4 \cdot 9)

חוק המכפלה

=\log_6 36

$4 \cdot 9=36$

=2

כי $6^2=36$

כמה זה $\log_3 54-\log_3 2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\log_3 \frac{54}{2}=\log_3 27=3$ .

פעילות אינטראקטיבית

2\log 5+\log 4

חוק החזקה

מה עושים קודם עם $2\log 5$ ?

\begin{aligned}2\log 5 &= \log 5^2 \\ &= \log 25\end{aligned}

2\log 5=\log 10

להציג את התשובה והפתרון

המקדם $2$ עולה למעריך: $5^2$ , ולא $2 \cdot 5$ .

2\log 5=\log 7

להציג את התשובה והפתרון

אין כאן חיבור. המקדם הופך למעריך.

עכשיו יש סכום של שני לוגריתמים.

חוק המכפלה

מה זה $\log 25+\log 4$ ?

\log 100

\log 29

להציג את התשובה והפתרון

סכום של לוגריתמים הוא לוגריתם של מכפלה: $25 \cdot 4$ .

$25 \cdot 4=100$ .

ערך

כמה זה $\log 100$ ?

2

100

להציג את התשובה והפתרון

$\log 100$ הוא המעריך: $10$ בחזקת כמה נותן $100$ ?

10

להציג את התשובה והפתרון

$10^{10}$ הוא מספר ענק. $10^2=100$ .

כי $10^2=100$ .

$2\log 5+\log 4=2$ . סדר הפעולות: קודם מקדם למעריך, אחר כך מכפלה.

פותרים יחד: $2\log 5+\log 4$

לעשות את הפעילות ב-elev

החלפת בסיס

במחשבון יש רק $\log$ ו- $\ln$ . כדי לחשב לוגריתם בבסיס אחר, מחלקים שני לוגריתמים.

\begin{aligned}\log_a b &= \frac{\log b}{\log a} \\ &= \frac{\ln b}{\ln a}\end{aligned}

כמה זה $\log_2 10$ ?

ראינו שהתשובה בין $3$ ל- $4$ . עכשיו נחשב.

\log_2 10=\frac{\log 10}{\log 2}

החלפת בסיס

=\frac{1}{0.301}\approx 3.32

$\log 10=1$

2^{3.32}\approx 10

בדיקה במחשבון ✓

חשבו $\log_5 2$ בעזרת $\ln$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{\ln 2}{\ln 5}=\frac{0.693}{1.609}\approx 0.43$ . התשובה קטנה מ- $1$ , כי $2<5$ .

שלוש טעויות שחוזרות.

\log(x+y)=\log x+\log y

\log(xy)=\log x+\log y

אין חוק לסכום שבתוך הלוגריתם. בדיקה: $\log 20 \approx 1.3$ , אבל $\log 10+\log 10=2$ .

\frac{\log 8}{\log 2}=\log 4

\begin{aligned}\frac{\log 8}{\log 2} &= \log_2 8 \\ &= 3\end{aligned}

מנה של שני לוגריתמים היא החלפת בסיס, לא לוגריתם של מנה.

(\log x)^2=2\log x

\log x^2=2\log x

המעריך יורד רק כשהוא בתוך הלוגריתם.

«הביעו באמצעות $p$ »: אם $\log 2=p$ , אז $\log 8=\log 2^3=3p$ , ו- $\log 5=\log \frac{10}{2}=1-p$ . מפרקים כל מספר ל- $2$ ול- $10$ .

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את $\log_2 40-\log_2 5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\log_2 \tfrac{40}{5}=\log_2 8

חוק המנה

=3

$2^3=8$

מי שחישב $\log_2 35$ חיסר את המספרים שבפנים. הפרש של לוגריתמים הוא לוגריתם של מנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את $\log_4 2+\log_4 32$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\log_4 (2 \cdot 32)=\log_4 64

חוק המכפלה

=3

$4^3=64$

כל אחד לבד הוא שבר ( $\frac12$ ו- $\frac52$ ). ביחד: $3$ . מי שקיבל $\log_4 34$ חיבר במקום לכפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה ביטוי שווה ל- $\log x^3-\log x$ , כאשר $x>0$ ?

$\log x^{-2}$
$2\log x$
$3$
$\log 2x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2\log x$

הפתרון:

\log x^3-\log x=\log \tfrac{x^3}{x}

חוק המנה

=\log x^2=2\log x

חוק החזקה

$3$ הוא מה שמקבלים מ- $\frac{\log x^3}{\log x}$ , וזו פעולה אחרת: חילוק ולא חיסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$\log_3 (9+9)=\log_3 9+\log_3 9$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\log_3 9+\log_3 9 &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

אגף ימין

\log_3 18 \neq 4

$3^4=81$ , לא $18$

לא נכון. אגף ימין הוא $\log_3 81$ . חוק המכפלה מחבר לוגריתמים של גורמים, לא של מחוברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון $\log 2 \approx 0.301$ . השלימו, בלי מחשבון.

$\log 8 \approx$ ____ , $\log 5 \approx$ ____ , $\log 20 \approx$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\log 8 \approx$ 0.903 , $\log 5 \approx$ 0.699 , $\log 20 \approx$ 1.301

הפתרון:

\begin{aligned}\log 8 &= \log 2^3 \\ &= 3\log 2\end{aligned}

חוק החזקה

\begin{aligned}\log 5 &= \log \tfrac{10}{2} \\ &= 1-\log 2\end{aligned}

חוק המנה

\begin{aligned}\log 20 &= \log 10+\log 2 \\ &= 1+\log 2\end{aligned}

חוק המכפלה

$5$ ו- $20$ אינם חזקות של $2$ , אבל הם $\frac{10}{2}$ ו- $10 \cdot 2$ . מי שכתב $\log 5 \approx 0.301 \cdot 2.5$ כפל במקום לפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את $\log_3 20$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.73

הפתרון:

\log_3 20=\frac{\log 20}{\log 3}

החלפת בסיס

=\frac{1.301}{0.477}\approx 2.73

מחשבון

בדיקת סבירות: $3^2=9$ ו- $3^3=27$ , אז התשובה בין $2$ ל- $3$ . מי שקיבל $0.37$ חילק הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל ביטוי את ערכו.

$\log_2 6+\log_2 \frac{4}{3}$
$\log_5 50-\log_5 2$
$\log_3 2-\log_3 6$
$\frac{\log 3}{\log 9}$

$-1$
$\frac{1}{2}$
$2$
$3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\log_2 6+\log_2 \frac{4}{3}$ — $3$ · $\log_5 50-\log_5 2$ — $2$ · $\log_3 2-\log_3 6$ — $-1$ · $\frac{\log 3}{\log 9}$ — $\frac{1}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}6 \cdot \tfrac{4}{3} &= 8 \\ \quad \tfrac{50}{2} &= 25 \\ \quad \tfrac{2}{6} &= \tfrac{1}{3}\end{aligned}

מכפלה ומנה

\begin{aligned}\frac{\log 3}{\log 9} &= \log_9 3 \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

החלפת בסיס

האחרון אינו $\log \frac{3}{9}$ : מנה של לוגריתמים היא החלפת בסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חישבו את $2\log_3 6-\log_3 4$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2\log_3 6=\log_3 36

\log_3 36-\log_3 4=\log_3 32

\log_3 9=2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\log_3 36-\log_3 4=\log_3 32$ → $\log_3 36-\log_3 4=\log_3 9$

הפתרון:

\log_3 \tfrac{36}{4}=\log_3 9

חוק המנה

=2

$3^2=9$

בשורה 2 חיסרו את המספרים שבפנים. הפרש של לוגריתמים הוא לוגריתם של מנה, $\frac{36}{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון $\log_2 x=5$ . חשבו את $\log_2 (8x)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\log_2 (8x)=\log_2 8+\log_2 x

חוק המכפלה

=3+5=8

$\log_2 8=3$

מי שקיבל $40$ כפל $8 \cdot 5$ . המכפלה שבפנים הופכת לסכום בחוץ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון $\log_2 x=5$ . חשבו את $\log_4 x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

\log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}

החלפת בסיס, לבסיס $2$

=\frac{5}{2}=2.5

$\log_2 4=2$

בסיס גדול יותר נותן מעריך קטן יותר. מי שקיבל $10$ כפל ב- $2$ במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו: איזה שוויון נכון לכל $x>0$ ו- $y>0$ ?

נכון תמיד
לא נכון

$(\ln x)^3=3\ln x$
$\log (x+y)=\log x \cdot \log y$
$\log (xy)=\log x+\log y$
$\log \frac{x}{y}=\frac{\log x}{\log y}$
$\log x^5=5\log x$
$\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\log (xy)=\log x+\log y$ — נכון תמיד · $\log (x+y)=\log x \cdot \log y$ — לא נכון · $\log x^5=5\log x$ — נכון תמיד · $\log \frac{x}{y}=\frac{\log x}{\log y}$ — לא נכון · $\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2}$ — נכון תמיד · $(\ln x)^3=3\ln x$ — לא נכון

הפתרון:

\log x+\log y=\log(xy)

שלושת החוקים

\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}

החלפת בסיס

$(\ln x)^3$ היא חזקה של הלוגריתם כולו, ו- $\ln x^3$ היא לוגריתם של חזקה. רק השני שווה ל- $3\ln x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נסמן $p=\log 3$ . הביעו באמצעות $p$ את $\log 0.9$ .

$2p+1$
$p-1$
$2p-1$
$0.9p$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $2p-1$

הפתרון:

0.9=\tfrac{9}{10}

מפרקים

\log 0.9=\log 9-\log 10

חוק המנה

=2p-1

$\log 9=\log 3^2=2p$

$\log 0.9$ שלילי, כי $0.9<1$ . ואכן $2 \cdot 0.477-1<0$ . מי שבחר $p-1$ שכח ש- $9=3^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלושת החוקים

החלפת בסיס

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev