סדרה 2 — בינוני · לוגריתמים והפונקציה הלוגריתמית · כיתה י״ב

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: משוואות עם תחום, משוואות מעריכיות בבסיסים שונים, הצבה, ואי-שוויונות בבסיס קטן מ- $1$ .

משוואה שיצאו לה שני פתרונות: בדקו כל אחד מול התחום. ובאי-שוויון: הבסיס מחליט אם הסימן מתהפך.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה $\log_2(x+3)+\log_2(x-3)=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x>3

תחום

\begin{aligned}(x+3)(x-3) &= 16 \Rightarrow x^2 \\ &= 25\end{aligned}

חוק המכפלה והגדרה

x=5

$x=-5$ נפסל

$x=-5$ נותן $\log_2(-2)$ . מי שכתב $x^2-9=8$ חישב $2 \cdot 4$ במקום $2^4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המשוואה $3^{2x-1}=50$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.28

הפתרון:

2x-1=\frac{\log 50}{\log 3}\approx 3.561

לוגריתם

x=\frac{3.561+1}{2}\approx 2.28

מבודדים את $x$

המעריך כולו, $2x-1$ , שווה ל- $\log_3 50$ . מי שענה $3.56$ עצר באמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המשוואה $(\log_2 x)^2-5\log_2 x+6=0$ . השלימו.

הפתרון הקטן: $x=$ ____ ; הפתרון הגדול: $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפתרון הקטן: $x=$ 4 ; הפתרון הגדול: $x=$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}t &= \log_2 x: \ (t-2)(t-3) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

\begin{aligned}x &= 2^2 \\ &= 4 \\ \ x &= 2^3 \\ &= 8\end{aligned}

חוזרים ל- $x$

$2$ ו- $3$ הם ה- $t$ , לא ה- $x$ . מי שענה $2$ ו- $3$ שכח את הצעד האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac12}(x-1)<2$ .

$1<x<1.25$
$x>5$
$x>1.25$
$x<1.25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x>1.25$

הפתרון:

2=\log_{\frac12} \tfrac{1}{4}

$\left(\frac12\right)^2=\frac14$

x-1>\tfrac{1}{4}

בסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

x>1.25

בתוך התחום $x>1$

$1<x<1.25$ שומר על הסימן. $x>5$ בא מ- $2^2$ במקום $\left(\frac12\right)^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נסמן $p=\log 2$ . הביעו באמצעות $p$ את $\log 40$ .

$20p$
$4p$
$p+4$
$2p+1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $2p+1$

הפתרון:

\begin{aligned}40 &= 4 \cdot 10 \\ &= 2^2 \cdot 10\end{aligned}

מפרקים

\begin{aligned}\log 40 &= 2\log 2+\log 10 \\ &= 2p+1\end{aligned}

מכפלה וחזקה

$\log 10=1$ , לא $10$ . ו- $\log 40 \neq 20\log 2$ : מקדם יורד רק ממעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המשוואה $4e^x+1=21$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.61

הפתרון:

\begin{aligned}4e^x &= 20 \Rightarrow e^x \\ &= 5\end{aligned}

מבודדים את החזקה

x=\ln 5\approx 1.61

לוקחים $\ln$

קודם מעבירים את $1$ ומחלקים ב- $4$ , ורק אז $\ln$ . מי שענה $\ln 21$ דילג על הבידוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את $\log x+\log(x-21)=2$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x>21

\log\big(x(x-21)\big)=2

x(x-21)=20

x^2-21x-20=0

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x(x-21)=20$ → $x(x-21)=100$

הפתרון:

\begin{aligned}x(x-21) &= 10^2 \\ &= 100\end{aligned}

$\log$ הוא בסיס $10$

\begin{aligned}(x-25)(x+4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 25\end{aligned}

$x=-4$ נפסל

בשורה 3 כתבו $10 \cdot 2$ במקום $10^2$ . אחרי התיקון: $x=25$ . בדיקה: $\log 25+\log 4=\log 100=2$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באיזו נקודה הגרף של $f(x)=\log_2(x-1)+3$ חותך את ציר ה- $x$ ? כתבו את שיעור ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.125

הפתרון:

\log_2(x-1)=-3

מעבירים את $3$

\begin{aligned}x-1 &= 2^{-3} \\ &= \tfrac{1}{8}\end{aligned}

ההגדרה

x=1.125

$x>1$ ✓

הלוגריתם שלילי, אבל $x-1$ חיובי: $\frac18$ . מי שכתב $x-1=-8$ העביר את המינוס לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו: לאיזו משוואה יש פתרון, ולאיזו אין?

יש פתרון
אין פתרון

$\log x=\log(-x)$
$\log_2(x-1)=\log_2(x-3)$
$\log_3 x=-2$
$2^x=-4$
$5^x=5^{-x}$
$e^x=0.1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^x=-4$ — אין פתרון · $\log_3 x=-2$ — יש פתרון · $\log x=\log(-x)$ — אין פתרון · $e^x=0.1$ — יש פתרון · $\log_2(x-1)=\log_2(x-3)$ — אין פתרון · $5^x=5^{-x}$ — יש פתרון

הפתרון:

\begin{aligned}\log_3 x &= -2 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{1}{9}\end{aligned}

לוגריתם יכול להיות שלילי

\begin{aligned}5^x &= 5^{-x} \Rightarrow x \\ &= -x \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

פתרון $0$

$\log x=\log(-x)$ דורש $x>0$ וגם $-x>0$ באותו זמן: אין תחום בכלל. ו- $x-1=x-3$ לא מתקיים לאף $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון $\log_2(x-2)<3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x>2

תחום

x-2<8 \Rightarrow x<10

בסיס $2$

\begin{aligned}x &= 3 \\ \,4 \\ \,\dots \\ \,9\end{aligned}

$7$ מספרים

$2$ ו- $10$ לא בפתרון: $\log_2 0$ לא מוגדר, ו- $\log_2 8=3$ אינו קטן מ- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev