סדרה 3 — ברמת בגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח שאלה 2 של הבגרות. כל שאלה היא גוף אחד, וכל סעיף שלה הוא תרגיל נפרד. הגוף והנתונים מופיעים מעל הסעיף.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. וקטור שכבר הבעתם הוא כלי לסעיף הבא: סוף פחות התחלה.

תרגילים

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w} את AK→\overrightarrow{AK}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 0.5 ; β=\beta= 0 ; γ=\gamma= 0.5

הפתרון:

AK→=12(AB→+AS→)=12u‾+12w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AK} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AS}) \\ &= \frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

אמצע: ממוצע

אין v‾\underline{v}: KK נמצאת בפאה ABSABS.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ב. הביעו את KL→\overrightarrow{KL}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= -0.5 ; β=\beta= 0.666667 ; γ=\gamma= -0.5

הפתרון:

AL→=23v‾\overrightarrow{AL}=\frac{2}{3}\underline{v}
KL→=AL→−AK→=−12u‾+23v‾−12w‾\begin{aligned}\overrightarrow{KL} &= \overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK} \\ &= -\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

סוף פחות התחלה, עם סעיף א

משתמשים ב-AK→\overrightarrow{AK} מסעיף א: מחסרים את כל הצירוף, שני האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ג. הנקודה TT על BCBC, ו-BT→=tBC→\overrightarrow{BT}=t\overrightarrow{BC}. מצאו את tt שעבורו KT→\overrightarrow{KT} מקביל ל-SC→\overrightarrow{SC}. (אפשר לכתוב שבר)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

AT→=(1−t)u‾+tv‾\overrightarrow{AT}=(1-t)\underline{u}+t\underline{v}
KT→=(12−t)u‾+tv‾−12w‾\overrightarrow{KT}=\left(\frac{1}{2}-t\right)\underline{u}+t\underline{v}-\frac{1}{2}\underline{w}
SC→=v‾−w‾\overrightarrow{SC}=\underline{v}-\underline{w}

אין בו u‾\underline{u}

12−t=0⇒t=12\begin{aligned}\frac{1}{2}-t &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
KT→=12SC→\overrightarrow{KT}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}

בדיקה ✓

מקבילות = כפולה. המקדם שחסר ב-SC→\overrightarrow{SC} חייב להתאפס גם ב-KT→\overrightarrow{KT}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ד. עבור tt שמצאתם: מהו היחס ∣KT→∣∣SC→∣\frac{|\overrightarrow{KT}|}{|\overrightarrow{SC}|}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

KT→=12SC→\overrightarrow{KT}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}

מסעיף ג

∣KT→∣∣SC→∣=12\frac{|\overrightarrow{KT}|}{|\overrightarrow{SC}|}=\frac{1}{2}

מ-KT→=kSC→\overrightarrow{KT}=k\overrightarrow{SC} יוצא שהיחס בין האורכים הוא ∣k∣|k|. אין צורך לדעת אורך אף מקצוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

א. הביעו את AP→\overrightarrow{AP}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 1 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

AP→=AB→+BB′→+12B′C′→\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B'C'}
=u‾+12v‾+w‾=\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

B′C′→=v‾\overrightarrow{B'C'}=\underline{v}: מקצוע של הבסיס העליון, מקביל ל-ADAD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ב. הביעו את QP→\overrightarrow{QP}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 1 ; β=\beta= -0.5 ; γ=\gamma= 0.75

הפתרון:

AQ→=v‾+14w‾\overrightarrow{AQ}=\underline{v}+\frac{1}{4}\underline{w}
QP→=AP→−AQ→=u‾−12v‾+34w‾\begin{aligned}\overrightarrow{QP} &= \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ} \\ &= \underline{u}-\frac{1}{2}\underline{v}+\frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}

1−14=341-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} ו-12−1=−12\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}. כל מקדם בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ג. נתון: AB=6AB=6, AD=8AD=8, AA′=12AA'=12. חשבו את ∣AP→∣|\overrightarrow{AP}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

AP→=u‾+12v‾+w‾\overrightarrow{AP}=\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}

מסעיף א

∣AP→∣2=62+42+122=196\begin{aligned}|\overrightarrow{AP}|^2 &= 6^2+4^2+12^2 \\ &= 196\end{aligned}

שלושה כיוונים מאונכים: 66, חצי מ-88, ו-1212

∣AP→∣=14|\overrightarrow{AP}|=14

המקדם 12\frac{1}{2} של v‾\underline{v} אומר: רק 44 ס״מ בכיוון של ADAD, לא 88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

א. הביעו את AM→\overrightarrow{AM}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 0 ; β=\beta= 0.5 ; γ=\gamma= 1

הפתרון:

AM→=AA′→+12A′C′→=12v‾+w‾\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AA'}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'} \\ &= \frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}\end{aligned}

MM למעלה: המקדם של w‾\underline{w} הוא 11, ו-v‾\underline{v} חצי מהמקצוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ב. הביעו את MN→\overrightarrow{MN}. כתבו בצורה αu‾+βv‾+γw‾\alpha\underline{u}+\beta\underline{v}+\gamma\underline{w} (אפשר לכתוב שבר).

α=\alpha= ____ ; β=\beta= ____ ; γ=\gamma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: α=\alpha= 0.333333 ; β=\beta= 0.166667 ; γ=\gamma= -1

הפתרון:

AN→=u‾+23(v‾−u‾)=13u‾+23v‾\begin{aligned}\overrightarrow{AN} &= \underline{u}+\frac{2}{3}(\underline{v}-\underline{u}) \\ &= \frac{1}{3}\underline{u}+\frac{2}{3}\underline{v}\end{aligned}

BN:NC=2:1BN:NC=2:1

MN→=AN→−AM→=13u‾+16v‾−w‾\begin{aligned}\overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} \\ &= \frac{1}{3}\underline{u}+\frac{1}{6}\underline{v}-\underline{w}\end{aligned}

23−12=16\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}. ויורדים מ-MM אל הבסיס: γ=−1\gamma=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ג. איזה וקטור מקביל ל-MN→\overrightarrow{MN}?

  1. 2u‾+v‾+6w‾2\underline{u}+\underline{v}+6\underline{w}
  2. 2u‾+v‾−6w‾2\underline{u}+\underline{v}-6\underline{w}
  3. u‾+2v‾−6w‾\underline{u}+2\underline{v}-6\underline{w}
  4. 2u‾−v‾−6w‾2\underline{u}-\underline{v}-6\underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2u‾+v‾−6w‾2\underline{u}+\underline{v}-6\underline{w}

הפתרון:

6MN→=2u‾+v‾−6w‾6\overrightarrow{MN}=2\underline{u}+\underline{v}-6\underline{w}

כופלים ב-66

כפולה משנה את כל המקדמים באותו מספר. שינוי סימן של מקדם אחד בלבד כבר שובר את המקבילות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת