ישר ומעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ישר ומעגל: שתי נקודות חיתוך, נקודה אחת (משיק), או אף לא אחת. שתי דרכים להחליט.

d(C,ℓ)<Rd(C, \ell) < R

חותך בשתי נקודות

d(C,ℓ)=Rd(C, \ell) = R

משיק

d(C,ℓ)>Rd(C, \ell) > R

לא נפגשים

הדרך השנייה: מציבים את הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית. מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך — והפתרונות נותנים את הנקודות עצמן.

x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1

x2+(x+1)2=25⇒2x2+2x−24=0\begin{aligned}x^2 + (x + 1)^2 &= 25 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 24 \\ &= 0\end{aligned}
x2+x−12=0⇒x=3 x=−4\begin{aligned}x^2 + x - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= -4\end{aligned}
(3,4), (−4,−3)(3, 4),\ (-4, -3)

שתי נקודות

מה אורך המיתר שהישר חותך במעגל הזה?

להציג את התשובה והפתרון

72+72=72≈9.9\sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt 2 \approx 9.9.

אורך מיתר=2R2−d2\text{אורך מיתר} = 2\sqrt{R^2 - d^2}

dd המרחק מהמרכז לישר

מציבים את כל הישר, לא חלק.

x2+y2=25 y=x+1⇒x2+x+1=25\begin{aligned}x^2 + y^2 &= 25 \\ \ y &= x + 1 \Rightarrow x^2 + x + 1 \\ &= 25\end{aligned}
x2+(x+1)2=25x^2 + (x + 1)^2 = 25

yy מוחלף בביטוי שלו, ואז בריבוע.

תרגילים

תרגיל 1

הישר 3x+4y=303x + 4y = 30 והמעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. מה המצב?

  1. עובר במרכז
  2. משיק
  3. לא נפגשים
  4. חותך בשתי נקודות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא נפגשים

הפתרון:

d=305=6>5\begin{aligned}d &= \frac{30}{5} \\ &= 6 > 5\end{aligned}

לא נפגשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הישר y=xy = x והמעגל (x−2)2+y2=4(x - 2)^2 + y^2 = 4. מה המצב?

  1. משיק
  2. מונח עליו
  3. חותך בשתי נקודות
  4. לא נפגשים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג חותך בשתי נקודות

הפתרון:

d=∣2−0∣2=2<2\begin{aligned}d &= \frac{|2 - 0|}{\sqrt 2} \\ &= \sqrt 2 < 2\end{aligned}

חותך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1. מהו שיעור ה-xx החיובי של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2+x−12=0x^2 + x - 12 = 0

33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את אורך המיתר שהישר y=x+1y = x + 1 חותך במעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.899

הפתרון:

d=12 ; 225−12d = \frac{1}{\sqrt 2} \ ; \ 2\sqrt{25 - \tfrac{1}{2}}

72≈9.8997\sqrt 2 \approx 9.899.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הישר y=3y = 3 חותך את המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. מה אורך המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x2=16⇒x=±4\begin{aligned}x^2 &= 16 \Rightarrow x \\ &= \pm 4\end{aligned}

88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בעבור איזה k>0k > 0 הישר y=ky = k משיק למעגל (x−1)2+(y−2)2=9(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∣k−2∣=3|k - 2| = 3

k=5k = 5 (והשני −1-1, שלילי).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ישר שעובר במרכז המעגל חותך אותו תמיד בשתי נקודות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

d=0<Rd = 0 < R

נכון: זה קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ישר במרחק 33 ממרכז מעגל שרדיוסו 55. מה אורך המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

225−92\sqrt{25 - 9}

88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה נקודות משותפות יש לישר x+y=2x + y = 2 ולמעגל x2+y2=2x^2 + y^2 = 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

d=22=2=R\begin{aligned}d &= \frac{2}{\sqrt 2} \\ &= \sqrt 2 \\ &= R\end{aligned}

11: משיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את מציאת נקודות החיתוך של ישר ומעגל.

  • מבודדים משתנה במשוואת הישר
  • מוצאים את המשתנה השני מהישר
  • מציבים במשוואת המעגל
  • פותרים משוואה ריבועית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מבודדים משתנה במשוואת הישר · מציבים במשוואת המעגל · פותרים משוואה ריבועית · מוצאים את המשתנה השני מהישר

הפתרון:

y=mx+ny = mx + n

הצבה, ריבועית, נקודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת