משיק למעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

המשיק למעגל בנקודה TT מאונך לרדיוס CTCT. לכן שיפוע המשיק הוא ההופכי והנגדי של שיפוע הרדיוס.

המשיק ל-(x−1)2+(y−2)2=25(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 בנקודה T(4,6)T(4, 6)

mCT=6−24−1=43\begin{aligned}m_{CT} &= \frac{6 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז (1,2)(1, 2)

m=−34m = -\frac{3}{4}

מאונך

y−6=−34(x−4)⇒y=−34x+9\begin{aligned}y - 6 &= -\tfrac{3}{4}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -\tfrac{3}{4}x + 9\end{aligned}
(x−a)(x1−a)+(y−b)(y1−b)=R2(x - a)(x_1 - a) + (y - b)(y_1 - b) = R^2

נוסחת המשיק בנקודה (x1,y1)(x_1, y_1) שעל המעגל

ישר משיק למעגל שמרכזו CC ורדיוסו RR. מה המרחק מ-CC לישר?

להציג את התשובה והפתרון

בדיוק RR. זה מבחן ההשקה כשנקודת ההשקה לא ידועה.

משיק בשיפוע נתון

מחפשים ישר y=mx+ny = mx + n שמרחקו מהמרכז הוא RR. מקבלים שני ערכים של nn: שני משיקים מקבילים.

משיק דרך נקודה על המעגל: שיפוע מאונך לרדיוס, לא שיפוע הרדיוס.

m=mCTm = m_{CT}
m=−1mCTm = -\frac{1}{m_{CT}}

הרדיוס מגיע אל נקודת ההשקה; המשיק מאונך לו.

תרגילים

תרגיל 1

מהי משוואת המשיק ל-x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 בנקודה (3,4)(3, 4)?

  1. 4x+3y=254x + 3y = 25
  2. 3x−4y=253x - 4y = 25
  3. y=43xy = \tfrac{4}{3}x
  4. 3x+4y=253x + 4y = 25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 3x+4y=253x + 4y = 25

הפתרון:

x⋅3+y⋅4=25x \cdot 3 + y \cdot 4 = 25

נוסחת המשיק, מרכז בראשית

3x+4y=253x + 4y = 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשיק ל-(x−1)2+(y−2)2=25(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 ב-(4,6)(4, 6) הוא y=mx+ny = mx + n. מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

m=−34m = -\tfrac{3}{4}
6=−3+n6 = -3 + n

n=9n = 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הישר y=2x+ny = 2x + n משיק למעגל x2+y2=5x^2 + y^2 = 5, ו-n>0n > 0. מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∣n∣5=5\frac{|n|}{\sqrt 5} = \sqrt 5

מרחק המרכז מהישר שווה לרדיוס

n=5n = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הישר x=5x = 5 משיק למעגל (x−2)2+(y+1)2=9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

d=∣5−2∣=3=R\begin{aligned}d &= |5 - 2| \\ &= 3 \\ &= R\end{aligned}

נכון, בנקודה (5,−1)(5, -1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מנקודה P(7,1)P(7, 1) מעבירים משיק למעגל (x−1)2+(y−1)2=20(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 20. מה אורך קטע המשיק מ-PP עד נקודת ההשקה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

PC=6 ; PT2=PC2−R2=36−20\begin{aligned}PC &= 6 \ ; \ PT^2 \\ &= PC^2 - R^2 \\ &= 36 - 20\end{aligned}

פיתגורס: CT⊥PTCT \perp PT

44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשיק ל-x2+y2−4x−6y=12x^2 + y^2 - 4x - 6y = 12 בנקודה (5,7)(5, 7) הוא y=mx+ny = mx + n. מהו mm?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.75

הפתרון:

מרכז (2,3) ; mCT=43\text{מרכז } (2, 3) \ ; \ m_{CT} = \frac{4}{3}
m=−34m = -\frac{3}{4}

m=−0.75m = -0.75.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בעבור איזה k>0k > 0 הישר 3x+4y=k3x + 4y = k משיק למעגל x2+y2=4x^2 + y^2 = 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

∣k∣5=2\frac{|k|}{5} = 2

k=10k = 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איך בודקים אם ישר משיק למעגל, כשנקודת ההשקה לא ידועה?

  1. בודקים שהישר עובר בראשית
  2. משווים את מרחק המרכז מהישר לרדיוס
  3. מציבים את המרכז בישר
  4. משווים את שיפוע הישר לשיפוע הרדיוס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב משווים את מרחק המרכז מהישר לרדיוס

הפתרון:

d(C,ℓ)=Rd(C, \ell) = R

מרחק שווה לרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה משיקים למעגל x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 מקבילים לישר y=xy = x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∣n∣2=3⇒n=±32\begin{aligned}\frac{|n|}{\sqrt 2} &= 3 \Rightarrow n \\ &= \pm 3\sqrt 2\end{aligned}

22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

C(2,3), T(5,7)C(2, 3),\ T(5, 7)
mCT=43m_{CT} = \tfrac{4}{3}
mמשיק=43m_{\text{משיק}} = \tfrac{4}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: mמשיק=43m_{\text{משיק}} = \tfrac{4}{3} → mמשיק=−34m_{\text{משיק}} = -\tfrac{3}{4}

הפתרון:

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

המשיק מאונך לרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת