שני מעגלים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני מעגלים, ברדיוסים R≥rR \geq r. המצב ההדדי שלהם תלוי רק ב-dd, המרחק בין המרכזים.

d>R+rd > R + r

זרים, אחד מחוץ לשני

d=R+rd = R + r

משיקים מבחוץ: נקודה אחת

R−r<d<R+rR - r < d < R + r

נחתכים בשתי נקודות

d=R−rd = R - r

משיקים מבפנים: נקודה אחת

d<R−rd < R - r

אחד בתוך השני, בלי נקודה משותפת

x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 ו-(x−5)2+y2=4(x - 5)^2 + y^2 = 4. מה המצב?

להציג את התשובה והפתרון

d=5=3+2d = 5 = 3 + 2: משיקים מבחוץ, בנקודה (3,0)(3, 0).

המיתר המשותף

כשהמעגלים נחתכים, מחסרים את המשוואות. x2x^2 ו-y2y^2 מתבטלים, ונשאר ישר: הישר שעובר בשתי נקודות החיתוך.

x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 ו-(x−7)2+(y−1)2=25(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = 25

x2+y2−(x2−14x+49+y2−2y+1)=0x^2 + y^2 - (x^2 - 14x + 49 + y^2 - 2y + 1) = 0

מחסרים

14x+2y−50=0⇒y=25−7x\begin{aligned}14x + 2y - 50 &= 0 \Rightarrow y \\ &= 25 - 7x\end{aligned}

ישר המיתר המשותף

x2+(25−7x)2=25⇒x2−7x+12=0\begin{aligned}x^2 + (25 - 7x)^2 &= 25 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים במעגל הראשון

(3, 4) ; (4, −3)(3,\ 4) \ ; \ (4,\ -3)

שתי נקודות החיתוך

מחסרים רק כשהמקדמים של x2x^2 ושל y2y^2 שווים בשתי המשוואות.

x2+y2=4 ; 2x2+2y2=8x\begin{aligned}x^2 + y^2 &= 4 \ ; \ 2x^2 + 2y^2 \\ &= 8x\end{aligned}
x2+y2=4 ; x2+y2=4x\begin{aligned}x^2 + y^2 &= 4 \ ; \ x^2 + y^2 \\ &= 4x\end{aligned}

מחלקים קודם ב-22, ורק אז מחסרים: 4x=44x = 4.

תרגילים

תרגיל 1

מה המצב ההדדי של x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 ו-(x−6)2+y2=1(x - 6)^2 + y^2 = 1?

  1. זרים
  2. משיקים מבחוץ
  3. נחתכים בשתי נקודות
  4. משיקים מבפנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב משיקים מבחוץ

הפתרון:

d=6=5+1\begin{aligned}d &= 6 \\ &= 5 + 1\end{aligned}

משיקים מבחוץ, ב-(5,0)(5, 0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה נקודות משותפות יש ל-x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 ול-x2+y2=4x^2 + y^2 = 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x−3)2+(y+4)2=25(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25

מרכז (3,−4)(3, -4), רדיוס 55

d=5 ; 5−2<5<5+2d = 5 \ ; \ 5 - 2 < 5 < 5 + 2

22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

למעגלים x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 ו-x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 אין נקודה משותפת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

d=0<3−2d = 0 < 3 - 2

אותו מרכז

נכון: מעגלים קונצנטריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המעגל (x−k)2+y2=4(x - k)^2 + y^2 = 4, k>0k > 0, משיק מבחוץ ל-x2+y2=9x^2 + y^2 = 9. מהו kk?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

d=k=3+2\begin{aligned}d &= k \\ &= 3 + 2\end{aligned}

k=5k = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המעגל (x−k)2+y2=4(x - k)^2 + y^2 = 4, k>0k > 0, משיק מבפנים ל-x2+y2=9x^2 + y^2 = 9. מהו kk?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

d=k=3−2\begin{aligned}d &= k \\ &= 3 - 2\end{aligned}

k=1k = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל תנאי על dd את המצב של שני המעגלים.

  • d>R+rd > R + r
  • d=R+rd = R + r
  • R−r<d<R+rR - r < d < R + r
  • d=R−rd = R - r
  • זרים מבחוץ
  • משיקים מבחוץ
  • משיקים מבפנים
  • נחתכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: d>R+rd > R + r — זרים מבחוץ · d=R+rd = R + r — משיקים מבחוץ · R−r<d<R+rR - r < d < R + r — נחתכים · d=R−rd = R - r — משיקים מבפנים

הפתרון:

d לעומת R±rd \ \text{לעומת} \ R \pm r

משווים את dd לסכום ולהפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי משוואת המיתר המשותף של x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 ו-(x−7)2+(y−1)2=25(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = 25?

  1. 7x+y=257x + y = 25
  2. 7x−y=257x - y = 25
  3. y=7xy = 7x
  4. x+7y=25x + 7y = 25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 7x+y=257x + y = 25

הפתרון:

14x+2y−50=014x + 2y - 50 = 0

מחסרים

7x+y=257x + y = 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 ו-(x−7)2+(y−1)2=25(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = 25 שבה y>0y > 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

y=25−7xy = 25 - 7x
x2−7x+12=0x^2 - 7x + 12 = 0

33: הנקודה (3,4)(3, 4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את אורך המיתר המשותף בין (3,4)(3, 4) ל-(4,−3)(4, -3). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.071

הפתרון:

12+72\sqrt{1^2 + 7^2}

50≈7.071\sqrt{50} \approx 7.071.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את השלבים של מציאת נקודות החיתוך של שני מעגלים.

  • מבודדים משתנה מהישר
  • מחסרים ומקבלים ישר
  • מסדרים את שתי המשוואות לצורה פתוחה
  • מציבים באחד המעגלים ופותרים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מסדרים את שתי המשוואות לצורה פתוחה · מחסרים ומקבלים ישר · מבודדים משתנה מהישר · מציבים באחד המעגלים ופותרים

הפתרון:

מעגל−מעגל=ישר\text{מעגל} - \text{מעגל} = \text{ישר}

פתיחה, חיסור, בידוד, הצבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת