מאיפה בא המספר e

תמליל

אם הבנק יחשב ריבית על הריבית בכל שנייה, האם נוכל להתעשר בלי גבול? נניח שבנק נדיב במיוחד נותן מאה אחוזי ריבית לשנה: מפקידים שקל אחד, ובסוף השנה יש בחשבון שני שקלים. ומה אם הבנק יחלק את הריבית לחלקים: חצי מהריבית כל חצי שנה, או חלק קטן בכל חודש? בכל פעם, הסכום שנצבר — כולל הריבית — מקבל שוב ריבית, לפי הנוסחה: בסוגריים, אחד ועוד אחד חלקי n, הכול בחזקת n,

כאשר n הוא מספר הפעמים בשנה שבהן מחושבת הריבית, ו-n שואף לאינסוף. האם הסכום יגיע לשלושה שקלים אם נחשב ריבית בכל שנייה?

לא. הסכום ממשיך לגדול, אבל הוא נעצר לפני 2.7183. זה הגבול שנקרא e. e הוא מספר קבוע, בערך 2.71828, בדיוק כמו פאי. הספרות אחרי הנקודה אינן נגמרות ואינן חוזרות על עצמן, ואי אפשר לכתוב אותו כמנה של שני מספרים שלמים. היזהרו מטעות העיגול הנפוצה:

לכתוב ש-e שווה ל-2.7. e אינו שווה ל-2.7, וגם לא לשום מספר עשרוני סופי. לכן לא כותבים e שווה 2.718, אלא e שווה בערך 2.718.