שאלה 1 בפורמט הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה 1 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

  1. x>−2x>-2
  2. x≠0x \ne 0
  3. x>0x>0
  4. כל xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כל xx

הפתרון:

f(x)=(x+2)⋅e−xf(x) = (x+2) \cdot e^{-x}

מכפלה של x+2x+2 ושל e−xe^{-x}. אין מכנה ואין שורש

e−x=1ex ; ex>0e^{-x} = \frac{1}{e^x} \ ; \ e^x > 0

גם e−xe^{-x} מוגדרת לכל xx, כי המכנה exe^x אף פעם לא מתאפס

תחום ההגדרה הוא כל xx. התשובה x>−2x>-2 מבלבלת בין התחום שבו הפונקציה חיובית לבין התחום שבו היא מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ב. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך עם ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(x)=0⇒(x+2)e−x=0\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow (x+2)e^{-x} \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה-xx הערך של הפונקציה הוא 00

e−x>0⇒x+2=0⇒x=−2\begin{aligned}e^{-x} > 0 \Rightarrow x + 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

e−xe^{-x} אף פעם לא מתאפסת

הגרף חותך את ציר ה-xx בנקודה (−2,0)(-2, 0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ב. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך עם ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(0)=(0+2)e0=2⋅1=2\begin{aligned}f(0) &= (0+2)e^{0} \\ &= 2 \cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

על ציר ה-yy מציבים x=0x = 0

הגרף חותך את ציר ה-yy בנקודה (0,2)(0, 2).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-xx של נקודת הקיצון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f′(x)=e−x−(x+2)e−x=−(x+1)e−x\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה, וכלל השרשרת: (e−x)′=−e−x(e^{-x})' = -e^{-x}

f′(x)=0⇒x+1=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x + 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

כי e−x>0e^{-x} > 0

x<−1:f′>0 ; x>−1:f′<0x < -1 : f' > 0 \ ; \ x > -1 : f' < 0

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום

לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=−1x = -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-yy של נקודת הקיצון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.718

הפתרון:

f′(x)=e−x−(x+2)e−x=−(x+1)e−x=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

כי e−x>0e^{-x} > 0

x<−1:f′>0 ; x>−1:f′<0x < -1 : f' > 0 \ ; \ x > -1 : f' < 0

מקסימום

f(−1)=(−1+2)e1=e≈2.718\begin{aligned}f(-1) &= (-1+2)e^{1} \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}

מציבים x=−1x = -1 בפונקציה המקורית

נקודת המקסימום היא (−1,e)(-1, e), ושיעור ה-yy שלה הוא e≈2.718e \approx 2.718.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ד. לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f′(x)=e−x−(x+2)e−x=−(x+1)e−x\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x}\end{aligned}

הנגזרת הראשונה

f′′(x)=−e−x+(x+1)e−x=xe−x\begin{aligned}f''(x) &= -e^{-x} + (x+1)e^{-x} \\ &= xe^{-x}\end{aligned}

גוזרים את −(x+1)e−x-(x+1)e^{-x} לפי כלל המכפלה, ומוציאים e−xe^{-x} כגורם משותף

x<0:f′′<0 ; x>0:f′′>0x < 0 : f'' < 0 \ ; \ x > 0 : f'' > 0

משמאל ל-00 קעירות כלפי מטה, ומימין קעירות כלפי מעלה

הקעירות מתחלפת ב-x=0x = 0, ולכן נקודת הפיתול היא (0,2)(0, 2).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ה. לפניכם טענה: f(x)>0f(x) > 0 לכל x>−2x > -2. האם הטענה נכונה? נמקו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x>−2⇒x+2>0x > -2 \Rightarrow x + 2 > 0

הגורם הראשון חיובי

e−x>0e^{-x} > 0

הגורם השני חיובי לכל xx

(x+2)e−x>0(x+2)e^{-x} > 0

מכפלה של שני מספרים חיוביים

הטענה נכונה: כאשר x>−2x > -2 שני הגורמים חיוביים, ולכן גם המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת