שאלה 2 בפורמט הבגרות · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

שאלה 2 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . א. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.386

הפתרון:

\begin{aligned}e^{2x} - 4e^x &= e^x(e^x - 4) \\ &= 0\end{aligned}

מוציאים $e^x$ כגורם משותף

\begin{aligned}e^x > 0 \Rightarrow e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(\ln 4, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . א. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - 4e^0 \\ &= 1 - 4 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים $x = 0$

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, -3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ב. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. איזו מהתשובות מתארת את האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה?

$y=-4$
$y=0$ , כאשר $x \to +\infty$
לגרף אין אסימפטוטה אופקית
$y=0$ , כאשר $x \to -\infty$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y=0$ , כאשר $x \to -\infty$

הפתרון:

x \to -\infty : e^{2x} \to 0 \ ; \ e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to 0

שני האיברים שואפים ל- $0$ , ולכן $y = 0$ היא אסימפטוטה משמאל

x \to +\infty : f(x) = e^x(e^x - 4) \to +\infty

שני הגורמים גדלים בלי גבול, ואין אסימפטוטה מימין

e^{2x} \ ; \ e^x : x \in \mathbb{R}

הפונקציה מוגדרת לכל $x$ , ולכן אין אסימפטוטה אנכית

האסימפטוטה היחידה המאונכת לצירים היא $y = 0$ , כאשר $x \to -\infty$ . התשובה « $y=0$ , כאשר $x \to +\infty$ » בודקת את הצד הלא נכון, והתשובה $y=-4$ לוקחת את המקדם של $e^x$ במקום לחשב את הגבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.693

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2)\end{aligned}

כלל השרשרת: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < \ln 2 : f' < 0 \ ; \ x > \ln 2 : f' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר $x = \ln 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < \ln 2 : f' < 0 \ ; \ x > \ln 2 : f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(\ln 2) &= e^{2\ln 2} - 4e^{\ln 2} \\ &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

$e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 4$

נקודת המינימום היא $(\ln 2, -4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ד. לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2)\end{aligned}

הנגזרת הראשונה

\begin{aligned}f''(x) &= 4e^{2x} - 4e^x \\ &= 4e^x(e^x - 1)\end{aligned}

גוזרים שוב

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < 0 : f'' < 0 \ ; \ x > 0 : f'' > 0

משמאל קעירות כלפי מטה, ומימין קעירות כלפי מעלה

הקעירות מתחלפת ב- $x = 0$ , ולכן נקודת הפיתול היא $(0, -3)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ , כלומר בתחום $0 \le x \le \ln 4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5

הפתרון:

0 < x < \ln 4 \Rightarrow 1 < e^x < 4 \Rightarrow e^x - 4 < 0

$e^x$ עולה. בתחום הזה $e^x > 0$ ו- $e^x - 4 < 0$ , ולכן $f(x) = e^x(e^x - 4) < 0$ : הגרף מתחת לציר ה- $x$

S = -\int_0^{\ln 4} \left(e^{2x} - 4e^x\right)dx

כשהפונקציה שלילית, השטח הוא מינוס האינטגרל

\int \left(e^{2x} - 4e^x\right)dx = \frac{1}{2}e^{2x} - 4e^x + C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}\left[\frac{1}{2}e^{2x} - 4e^x\right]_0^{\ln 4} &= \left(8 - 16\right) - \left(\frac{1}{2} - 4\right) \\ &= -4.5\end{aligned}

$e^{2\ln 4} = 16$ ו- $e^{\ln 4} = 4$

\begin{aligned}S &= -(-4.5) \\ &= 4.5\end{aligned}

השטח הוא $4.5$ . האינטגרל עצמו שלילי, $-4.5$ , כי כל השטח נמצא מתחת לציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev