שאלה 3 בפורמט הבגרות · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

שאלה 3 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. לפונקציה יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה? הביעו באמצעות $a$ .

$a$
$e^a$
$\frac{1}{a}$
$\ln a$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\ln a$

הפתרון:

f'(x) = e^x - a

הנגזרת של $ax$ היא $a$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= a \Rightarrow x \\ &= \ln a\end{aligned}

אפשר להפעיל $\ln$ כי $a > 0$

f''(x) = e^x > 0

הנגזרת השנייה חיובית: נקודת מינימום

נקודת הקיצון היא מינימום, כאשר $x = \ln a$ . התשובה $e^a$ הופכת את הפעולה: מ- $e^x = a$ יוצא $x = \ln a$ , ולא $x = e^a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - a \cdot 0 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים $x = 0$ . האיבר $ax$ מתאפס

לכל ערך של $a$ הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 1)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ב. ידוע שהערך המינימלי של הפונקציה הוא $0$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.718

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x - a \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln a\end{aligned}

נקודת המינימום

\begin{aligned}f(\ln a) &= e^{\ln a} - a\ln a \\ &= a(1 - \ln a)\end{aligned}

הערך המינימלי

\begin{aligned}a(1 - \ln a) &= 0 \Rightarrow \ln a \\ &= 1\end{aligned}

כי $a > 0$

a = e \approx 2.718

$a = e$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. עבור $a = e$ , לפניכם טענה: גרף הפונקציה משיק לציר ה- $x$ בנקודה שבה $x = 1$ . האם הטענה נכונה? נמקו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= e^x - ex \ ; \ f(1) \\ &= e - e \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה $(1, 0)$ נמצאת על הגרף

\begin{aligned}f'(1) &= e^1 - e \\ &= 0\end{aligned}

השיפוע בנקודה הוא $0$ , כמו השיפוע של ציר ה- $x$

\begin{aligned}f''(x) &= e^x > 0 \ ; \ \ln e \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה שבה $x = \ln e = 1$ היא נקודת המינימום, ולכן בכל נקודה אחרת $f(x) > 0$

הטענה נכונה: הגרף נוגע בציר ה- $x$ בנקודה $(1, 0)$ , שהיא נקודת המינימום שלו, ולא חוצה אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. עבור $a = 1$ , מהו הערך המינימלי של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= e^x - x \ ; \ f'(x) \\ &= e^x - 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

כאן $\ln a = \ln 1 = 0$

f''(x) = e^x > 0

מינימום

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - 0 \\ &= 1\end{aligned}

עבור $a = 1$ הערך המינימלי הוא $1$ , בנקודה $(0, 1)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. לאילו ערכים של $a$ אין לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$ ?

$a>e$
$a=e$
לכל $a>0$
$0<a<e$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $0<a<e$

הפתרון:

\begin{aligned}f_{\min} &= f(\ln a) \\ &= a(1 - \ln a)\end{aligned}

הערך המינימלי, כמו בסעיף ב

x \to -\infty : f(x) \to +\infty \ ; \ x \to +\infty : f(x) \to +\infty

כאשר $x \to -\infty$ האיבר $-ax$ גדל, וכאשר $x \to +\infty$ האיבר $e^x$ גדל מהר יותר מ- $ax$

a(1 - \ln a) > 0 \Rightarrow \ln a < 1 \Rightarrow a < e

אין חיתוך רק כשהמינימום מעל הציר

אין נקודות חיתוך כאשר $0<a<e$ . כאשר $a=e$ יש נקודה אחת, שבה הגרף משיק לציר, וכאשר $a>e$ המינימום שלילי ויש שתי נקודות חיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ה. עבור $a = e$ , חשבו את $\int_0^1 f(x)\,dx$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.359

הפתרון:

f(x) = e^x - ex

מציבים $a = e$

\int \left(e^x - ex\right)dx = e^x - \frac{e}{2}x^2 + C

פונקציה קדומה. $e$ הוא מספר קבוע

\left[e^x - \frac{e}{2}x^2\right]_0^1 = \left(e - \frac{e}{2}\right) - (1 - 0)

מציבים את גבולות האינטגרציה

\frac{e}{2} - 1 \approx 0.359

$\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{e}{2} - 1 \approx 0.359$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev