שאלה 4 בפורמט הבגרות · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

שאלה 4 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. לפניכם טענה: הפונקציה מוגדרת לכל $x$ . האם הטענה נכונה? נמקו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

e^x > 0 \ ; \ a > 0 \Rightarrow e^x + a > 0

המכנה הוא סכום של שני מספרים חיוביים

e^x + a \ne 0

המכנה אף פעם לא מתאפס

הטענה נכונה: תחום ההגדרה הוא כל $x$ , ולכן לגרף אין אסימפטוטה אנכית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. מהן האסימפטוטות האופקיות של גרף הפונקציה?

$y=0$ ו- $y=1$
$y=0$ בלבד
$y=a$
$y=1$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y=0$ ו- $y=1$

הפתרון:

x \to -\infty : e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{0}{0 + a} = 0

משמאל: $y = 0$

\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^x}{e^x + a} \\ &= \frac{1}{1 + ae^{-x}}\end{aligned}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$

x \to +\infty : ae^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to 1

מימין: $y = 1$

לגרף שתי אסימפטוטות אופקיות: $y=0$ כאשר $x \to -\infty$ , ו- $y=1$ כאשר $x \to +\infty$ . התשובה « $y=0$ בלבד » בודקת רק צד אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ב. מה אפשר לומר על העלייה והירידה של הפונקציה?

יורדת לכל $x$
עולה ואחר כך יורדת
תלוי בערך של $a$
עולה לכל $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד עולה לכל $x$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x + a) - e^x \cdot e^x}{(e^x + a)^2} \\ &= \frac{ae^x}{(e^x + a)^2}\end{aligned}

כלל המנה

a > 0 \ ; \ e^x > 0 \ ; \ (e^x + a)^2 > 0

כל הגורמים חיוביים

f'(x) > 0

הנגזרת חיובית לכל $x$

הפונקציה עולה לכל $x$ , ולכל $a > 0$ . התשובה « תלוי בערך של $a$ » הייתה נכונה רק אם $a$ היה יכול להיות $0$ או שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. ידוע ש- $f(0) = \frac{1}{4}$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{e^0 + a} \\ &= \frac{1}{1 + a}\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}\frac{1}{1 + a} &= \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a = 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. עבור $a = 3$ , לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.099

הפתרון:

f'(x) = \frac{3e^x}{(e^x + 3)^2}

הנגזרת מסעיף ב, עם $a = 3$

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{3e^x(e^x + 3)^2 - 3e^x \cdot 2(e^x + 3)e^x}{(e^x + 3)^4} \\ &= \frac{3e^x(3 - e^x)}{(e^x + 3)^3}\end{aligned}

כלל המנה, ואז מצמצמים בגורם $e^x + 3$

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3 \approx 1.099\end{aligned}

כי $3e^x > 0$

x < \ln 3 : f'' > 0 \ ; \ x > \ln 3 : f'' < 0

משמאל קעירות כלפי מעלה, ומימין קעירות כלפי מטה

הקעירות מתחלפת ב- $x = \ln 3$ , ולכן זו נקודת הפיתול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. עבור $a = 3$ , לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת, והיא נמצאת כאשר $x = \ln 3$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}f(\ln 3) &= \frac{e^{\ln 3}}{e^{\ln 3} + 3} \\ &= \frac{3}{3 + 3}\end{aligned}

מציבים בפונקציה המקורית, ו- $e^{\ln 3} = 3$

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

נקודת הפיתול היא $(\ln 3, \frac{1}{2})$ : בדיוק באמצע בין שתי האסימפטוטות $y=0$ ו- $y=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ה. מציבים בביטוי של $f$ את הערך $a = -1$ , שאינו מקיים $a > 0$ , ומקבלים את הפונקציה $h(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}$ . מהי האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה $h$ ?

$x=-1$
לגרף אין אסימפטוטה אנכית
$x=0$
$x=1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x=0$

הפתרון:

\begin{aligned}e^x - 1 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס רק כאשר $x = 0$

\begin{aligned}x &= 0 : e^0 \\ &= 1 \ne 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס שם, ולכן $|h(x)|$ גדל בלי גבול ליד $x = 0$

האסימפטוטה האנכית היא $x=0$ . התנאי $a > 0$ הוא מה ששמר על המכנה חיובי; בלעדיו המכנה יכול להתאפס. התשובה $x=1$ פותרת $x - 1 = 0$ במקום $e^x - 1 = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev