שאלה 5 בפורמט הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה 5 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. א. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו הערך של xx במשוואה שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.693

הפתרון:

ex−2=0⇒ex=2⇒x=ln⁡2\begin{aligned}e^x - 2 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

המכנה מתאפס

x=ln⁡2:eln⁡2=2≠0\begin{aligned}x &= \ln 2 : e^{\ln 2} \\ &= 2 \ne 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס שם, ולכן זו אסימפטוטה אנכית

ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693

האסימפטוטה האנכית היא x=ln⁡2≈0.693x = \ln 2 \approx 0.693.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. א. מהי משוואת האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה כאשר x→+∞x \to +\infty?

  1. y=0y=0
  2. y=−1y=-1
  3. y=2y=2
  4. y=1y=1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=1y=1

הפתרון:

f(x)=exex−2=11−2e−x\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^x}{e^x - 2} \\ &= \frac{1}{1 - 2e^{-x}}\end{aligned}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב-exe^x

x→+∞:2e−x→0⇒f(x)→1x \to +\infty : 2e^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to 1

כאשר x→+∞x \to +\infty האסימפטוטה היא y=1y=1. התשובה y=0y=0 נכונה בצד השני, כאשר x→−∞x \to -\infty.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ב. מה אפשר לומר על העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. קבועה
  2. יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה
  3. עולה ואחר כך יורדת
  4. עולה בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה

הפתרון:

f′(x)=ex(ex−2)−ex⋅ex(ex−2)2=−2ex(ex−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x - 2) - e^x \cdot e^x}{(e^x - 2)^2} \\ &= \frac{-2e^x}{(e^x - 2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

ex>0 ; (ex−2)2>0⇒f′(x)<0e^x > 0 \ ; \ (e^x - 2)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

לכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2

f(0)=−1 ; f(ln⁡4)=2\begin{aligned}f(0) &= -1 \ ; \ f(\ln 4) \\ &= 2\end{aligned}

אבל f(0)<f(ln⁡4)f(0) < f(\ln 4): מעבר לאסימפטוטה הערך קופץ

הפונקציה יורדת ב-x<ln⁡2x < \ln 2 וגם ב-x>ln⁡2x > \ln 2. לא אומרים « יורדת לכל xx », כי בין שני החלקים יש אסימפטוטה, ו-f(0)<f(ln⁡4)f(0) < f(\ln 4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ג. באיזו צורה אפשר לכתוב את 1f(x)\frac{1}{f(x)}, לכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2?

  1. 1+2e−x1 + 2e^{-x}
  2. 1−2e−x1 - 2e^{-x}
  3. ex−2e^x - 2
  4. 2e−x−12e^{-x} - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 1−2e−x1 - 2e^{-x}

הפתרון:

1f(x)=ex−2ex\frac{1}{f(x)} = \frac{e^x - 2}{e^x}

הופכים את השבר. f(x)≠0f(x) \ne 0, כי המונה exe^x חיובי

ex−2ex=exex−2ex=1−2e−x\begin{aligned}\frac{e^x - 2}{e^x} &= \frac{e^x}{e^x} - \frac{2}{e^x} \\ &= 1 - 2e^{-x}\end{aligned}

מפרידים לשני שברים

1f(x)=1−2e−x\frac{1}{f(x)} = 1 - 2e^{-x}. התשובה ex−2e^x - 2 הופכת רק את המכנה ושוכחת את המונה exe^x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ג. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה gg עם ציר ה-xx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.693

הפתרון:

1−2e−x=0⇒e−x=12\begin{aligned}1 - 2e^{-x} &= 0 \Rightarrow e^{-x} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
ex=2⇒x=ln⁡2≈0.693\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

הופכים את שני האגפים

הגרף של gg חותך את ציר ה-xx בנקודה (ln⁡2,0)(\ln 2, 0): בדיוק במקום של האסימפטוטה האנכית של ff. שם 1f\frac{1}{f} עצמה אינה מוגדרת, כי ff אינה מוגדרת, ולכן השאלה היא על gg, שמוגדרת לכל xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ד. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. לפניכם טענה: ∫12g(x) dx<1\int_1^2 g(x)\,dx < 1. האם הטענה נכונה? נמקו בלי לחשב את האינטגרל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2e−x>0⇒g(x)=1−2e−x<12e^{-x} > 0 \Rightarrow g(x) = 1 - 2e^{-x} < 1

לכל xx מחסרים מ-11 מספר חיובי

∫12g(x) dx<∫121 dx=2−1=1\begin{aligned}\int_1^2 g(x)\,dx < \int_1^2 1\,dx &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

אורך הקטע הוא 11, ו-gg קטנה מ-11 בכל הקטע

הטענה נכונה, ולא צריך לחשב: g(x)<1g(x) < 1 לכל xx, והקטע באורך 11, ולכן האינטגרל קטן מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ה. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. חשבו את ∫ln⁡2ln⁡4g(x) dx\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(x)\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.193

הפתרון:

∫(1−2e−x)dx=x+2e−x+C\int \left(1 - 2e^{-x}\right)dx = x + 2e^{-x} + C

פונקציה קדומה: (−2e−x)(-2e^{-x}) היא הנגזרת של 2e−x2e^{-x}

[x+2e−x]ln⁡2ln⁡4=(ln⁡4+24)−(ln⁡2+22)\left[x + 2e^{-x}\right]_{\ln 2}^{\ln 4} = \left(\ln 4 + \frac{2}{4}\right) - \left(\ln 2 + \frac{2}{2}\right)

e−ln⁡4=14e^{-\ln 4} = \frac{1}{4} ו-e−ln⁡2=12e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}

ln⁡4−ln⁡2−12=ln⁡2−12≈0.193\ln 4 - \ln 2 - \frac{1}{2} = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0.193

ln⁡4=2ln⁡2\ln 4 = 2\ln 2

∫ln⁡2ln⁡4g(x) dx=ln⁡2−12≈0.193\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(x)\,dx = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0.193.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת