שאלה 6 בפורמט הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה 6 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6
  2. x>0x > 0 ו-x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6
  3. x>ln⁡6x > \ln 6
  4. x≠2x \ne 2 ו-x≠6x \ne 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x≠ln⁡2x \ne \ln 2 ו-x≠ln⁡6x \ne \ln 6

הפתרון:

ex−2=0⇒ex=2⇒x=ln⁡2\begin{aligned}e^x - 2 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

המכנה הראשון מתאפס

ex−6=0⇒ex=6⇒x=ln⁡6\begin{aligned}e^x - 6 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 6 \Rightarrow x \\ &= \ln 6\end{aligned}

המכנה השני מתאפס

Df:x≠ln⁡2, x≠ln⁡6D_f : x \ne \ln 2 ,\ x \ne \ln 6

בכל נקודה אחרת שני המכנים שונים מ-00

תחום ההגדרה: כל xx פרט ל-ln⁡2\ln 2 ול-ln⁡6\ln 6. התשובה « x≠2x \ne 2 ו-x≠6x \ne 6 » פותרת x−2=0x - 2 = 0 במקום ex−2=0e^x - 2 = 0. ואין צורך ב-x>0x > 0: exe^x מוגדר לכל xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. א. לגרף הפונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות. מהו המרחק בין שתי האסימפטוטות? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.099

הפתרון:

x=ln⁡2x=ln⁡6\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \quad x &= \ln 6\end{aligned}

המכנים מתאפסים, והמונים 11 ו-33 לא מתאפסים: שתי אסימפטוטות אנכיות

ln⁡6−ln⁡2=ln⁡62=ln⁡3\begin{aligned}\ln 6 - \ln 2 &= \ln \frac{6}{2} \\ &= \ln 3\end{aligned}

חוק ההפרש של לוגריתמים

ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099

המרחק הוא ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099. הטעות הנפוצה היא 6−2=46 - 2 = 4: זה המרחק בין הערכים של exe^x, ולא בין הערכים של xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ב. לפניכם טענה: לכל ערך של aa, מתקיים f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה של ff. האם הטענה נכונה? הוכיחו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(1ex−2)′=−ex(ex−2)2\left(\frac{1}{e^x - 2}\right)' = \frac{-e^x}{(e^x - 2)^2}

נגזרת של 1u\frac{1}{u} היא −u′u2-\frac{u'}{u^2}

f′(x)=−ex(ex−2)2−3ex(ex−6)2f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 2)^2} - \frac{3e^x}{(e^x - 6)^2}

הנגזרת של הקבוע aa היא 00

ex>0, (ex−2)2>0, (ex−6)2>0⇒f′(x)<0e^x > 0 ,\ (e^x - 2)^2 > 0 ,\ (e^x - 6)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

שני שברים חיוביים, ולפני כל אחד מהם סימן מינוס

הטענה נכונה, ו-aa לא משפיע: הוא נעלם בגזירה. שימו לב: מכאן נובע ש-ff יורדת בכל אחד משלושת הקטעים של תחום ההגדרה, ולא « יורדת לכל xx » — בין הקטעים יש אסימפטוטות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. מהן האסימפטוטות האופקיות של גרף הפונקציה? הביעו באמצעות aa.

  1. y=a−12y = a - \frac{1}{2} כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty
  2. y=ay = a בשני הצדדים
  3. y=a−1y = a - 1 כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty
  4. y=ay = a כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=a−1y = a - 1 כאשר x→+∞x \to +\infty
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=a−1y = a - 1 כאשר x→−∞x \to -\infty, ו-y=ay = a כאשר x→+∞x \to +\infty

הפתרון:

x→−∞:ex→0⇒f(x)→10−2+30−6+ax \to -\infty : e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{1}{0 - 2} + \frac{3}{0 - 6} + a

משמאל מציבים 00 במקום exe^x

−12−12+a=a−1-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + a = a - 1
x→+∞:ex→∞⇒1ex−2→0, 3ex−6→0⇒f(x)→ax \to +\infty : e^x \to \infty \Rightarrow \frac{1}{e^x - 2} \to 0 ,\ \frac{3}{e^x - 6} \to 0 \Rightarrow f(x) \to a

מימין שני השברים שואפים ל-00

שתי אסימפטוטות שונות: y=a−1y = a - 1 משמאל, y=ay = a מימין. התשובה עם a−12a - \frac{1}{2} שוכחת את השבר השני, 30−6=−12\frac{3}{0 - 6} = -\frac{1}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. ידוע שהישר y=1y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הפונקציה. מהם שני הערכים האפשריים של aa?

  1. a=2a = 2 בלבד
  2. a=1a = 1 בלבד
  3. a=1a = 1 או a=2a = 2
  4. a=0a = 0 או a=1a = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג a=1a = 1 או a=2a = 2

הפתרון:

y=a−1 (x→−∞)y=a (x→+∞)\begin{aligned}y &= a - 1 \ (x \to -\infty) \\ \quad y &= a \ (x \to +\infty)\end{aligned}

האסימפטוטות מהסעיף הקודם

a−1=1⇒a=2\begin{aligned}a - 1 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

אם y=1y = 1 היא האסימפטוטה משמאל

a=1a = 1

אם y=1y = 1 היא האסימפטוטה מימין

שני ערכים: a=2a = 2 או a=1a = 1. מי שבודק רק את הצד הימני מוצא a=1a = 1 בלבד, ומפסיד את הפתרון השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

−2−11234−3−2−11234xyy = 1y = 2x = 0.69x = 1.79

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. ג. ידוע שהישר y=1y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הפונקציה. בסרטוט הגרף של ff עבור אחד משני הערכים האפשריים של aa. לפי הסרטוט, מהו ערך aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x→−∞: y→1,x→+∞: y→2x \to -\infty : \ y \to 1 ,\qquad x \to +\infty : \ y \to 2

בסרטוט: משמאל הגרף מתקרב ל-y=1y = 1, מימין ל-y=2y = 2

a−1=1⇒a=2\begin{aligned}a - 1 &= 1 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

האסימפטוטה משמאל היא y=a−1y = a - 1

y=a=2\begin{aligned}y &= a \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: מימין y=a=2y = a = 2, כמו בסרטוט

a=2a = 2. בסרטוט y=1y = 1 היא האסימפטוטה משמאל. עבור a=1a = 1 היא הייתה מימין, ומשמאל הגרף היה מתקרב ל-y=0y = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ד. הראו כי אפשר לכתוב את ff כשבר אחד. איזה ביטוי שווה ל-f(x)f(x) בכל תחום ההגדרה?

  1. e2x−4ex+1(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x + 1}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  2. 4ex−12(ex−2)(ex−6)\frac{4e^x - 12}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  3. e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}
  4. ex−4ex−8\frac{e^x - 4}{e^x - 8}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}

הפתרון:

f(x)=(ex−6)+3(ex−2)+(ex−2)(ex−6)(ex−2)(ex−6)f(x) = \frac{(e^x - 6) + 3(e^x - 2) + (e^x - 2)(e^x - 6)}{(e^x - 2)(e^x - 6)}

מכנה משותף. גם את 11 כופלים במכנה המשותף

(ex−2)(ex−6)=e2x−8ex+12(e^x - 2)(e^x - 6) = e^{2x} - 8e^x + 12

פותחים סוגריים

ex−6+3ex−6+e2x−8ex+12=e2x−4exe^x - 6 + 3e^x - 6 + e^{2x} - 8e^x + 12 = e^{2x} - 4e^x

מכנסים איברים דומים

f(x)=e2x−4ex(ex−2)(ex−6)=ex(ex−4)(ex−2)(ex−6)\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)} \\ &= \frac{e^x(e^x - 4)}{(e^x - 2)(e^x - 6)}\end{aligned}

השבר הנכון הוא e2x−4ex(ex−2)(ex−6)\frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}. הביטוי 4ex−12…\frac{4e^x - 12}{\ldots} שוכח את +1+1; הביטוי עם +1+1 במונה מוסיף אותו בלי לכפול במכנה; והביטוי ex−4ex−8\frac{e^x - 4}{e^x - 8} מחבר מכנים, וזה אסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ה. ידוע ש-f(x)=e2x−4ex(ex−2)(ex−6)f(x) = \frac{e^{2x} - 4e^x}{(e^x - 2)(e^x - 6)}. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xx בנקודה אחת. מהו שיעור ה-xx שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.386

הפתרון:

e2x−4ex=0e^{2x} - 4e^x = 0

שבר שווה ל-00 כאשר המונה שווה ל-00

t=ex: t2−4t=0⇒t(t−4)=0\begin{aligned}t &= e^x : \ t^2 - 4t \\ &= 0 \Rightarrow t(t - 4) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-tt

t1=0t2=4\begin{aligned}t_1 &= 0 \\ \quad t_2 &= 4\end{aligned}

t=ex>0t = e^x > 0, ולכן t=0t = 0 נפסל

ex=4⇒x=ln⁡4≈1.386\begin{aligned}e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

ln⁡4\ln 4 שונה מ-ln⁡2\ln 2 ומ-ln⁡6\ln 6, ולכן הוא בתחום

נקודת החיתוך היא (ln⁡4,0)(\ln 4, 0), ו-ln⁡4≈1.386\ln 4 \approx 1.386. הפתרון t=0t = 0 אינו מתאים, כי exe^x חיובי תמיד: לכן יש נקודת חיתוך אחת ולא שתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

xyy = 0y = 1x = 1.39x = 1.79I
xyy = 1y = 0x = 0.69x = 1.79II
xyy = 0y = 1x = 0.69x = 1.79III
xyy = 0y = 1x = 0.69x = 1.79IV

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ו. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה ff?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

x=ln⁡2≈0.69x=ln⁡6≈1.79\begin{aligned}x &= \ln 2 \approx 0.69 \\ \quad x &= \ln 6 \approx 1.79\end{aligned}

שני הקירות. בגרף I הקיר השמאלי נמצא ב-x=ln⁡4≈1.39x = \ln 4 \approx 1.39: נפסל

f′(x)<0f'(x) < 0

בסעיף ב הוכחנו ש-ff יורדת בכל קטע. בגרף IV הגרף עולה בכל קטע: נפסל

x→−∞:f→a−1=0x \to -\infty : f \to a - 1 = 0

משמאל הגרף מתקרב ל-y=0y = 0. בגרף II הוא מתקרב ל-y=1y = 1 משמאל ול-y=0y = 0 מימין: נפסל

f(ln⁡4)=0f(\ln 4) = 0

ובגרף III הגרף חותך את ציר ה-xx בין שני הקירות, כמו שמצאנו בסעיף ה

גרף III. בגרף II שתי האסימפטוטות האופקיות מופיעות, אבל בצדדים הפוכים: לא מספיק לבדוק אילו ישרים מופיעים, צריך לבדוק באיזה צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2+3ex−6+af(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + a, כאשר aa פרמטר. בסעיף זה a=1a = 1, כלומר f(x)=1ex−2+3ex−6+1f(x) = \frac{1}{e^x - 2} + \frac{3}{e^x - 6} + 1. ז. נגדיר g(x)=ex(f(x)−1)g(x) = e^x \left( f(x) - 1 \right), כלומר g(x)=exex−2+3exex−6g(x) = \frac{e^x}{e^x - 2} + \frac{3e^x}{e^x - 6}. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=ln⁡8x = \ln 8 ו-x=ln⁡10x = \ln 10. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.367

הפתרון:

x>ln⁡6⇒ex−2>0, ex−6>0⇒g(x)>0x > \ln 6 \Rightarrow e^x - 2 > 0 ,\ e^x - 6 > 0 \Rightarrow g(x) > 0

בקטע כולו gg חיובית: השטח שווה לאינטגרל

∫u′u dx=ln⁡∣u∣+C(ex−2)′=ex\begin{aligned}\int \frac{u'}{u}\,dx &= \ln |u| + C \\ \qquad (e^x - 2)' &= e^x\end{aligned}

בכל שבר המונה הוא הנגזרת של המכנה

∫g(x) dx=ln⁡∣ex−2∣+3ln⁡∣ex−6∣+C\int g(x)\,dx = \ln |e^x - 2| + 3\ln |e^x - 6| + C
[ln⁡(ex−2)+3ln⁡(ex−6)]ln⁡8ln⁡10=(ln⁡8+3ln⁡4)−(ln⁡6+3ln⁡2)\left[\ln (e^x - 2) + 3\ln (e^x - 6)\right]_{\ln 8}^{\ln 10} = (\ln 8 + 3\ln 4) - (\ln 6 + 3\ln 2)

eln⁡10=10e^{\ln 10} = 10 ו-eln⁡8=8e^{\ln 8} = 8

ln⁡86+3ln⁡2=ln⁡43+ln⁡8=ln⁡323≈2.367\begin{aligned}\ln \frac{8}{6} + 3\ln 2 &= \ln \frac{4}{3} + \ln 8 \\ &= \ln \frac{32}{3} \approx 2.367\end{aligned}

השטח הוא ln⁡323≈2.367\ln \frac{32}{3} \approx 2.367. הצעד שפותח את השאלה: לזהות שבכל שבר המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה, ולכן הפונקציה הקדומה היא ln⁡\ln של המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת