שאלה 7 בפורמט הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלה 7 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). א. מהו תחום ההגדרה של gg, ואיזה ביטוי שווה ל-g(x)g(x)?

  1. x>1x > 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
  2. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=e1x−1x−1g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-1}
  3. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=e1x−1(x−1)2g(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
  4. x≠1x \ne 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x≠1x \ne 1 ו-g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}

הפתרון:

x−1≠0⇒x≠1x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1

hh מוגדרת לכל x≠1x \ne 1, וכך גם h′h' ו-ehe^{h}

h(x)=(x−1)−1⇒h′(x)=−(x−1)−2=−1(x−1)2\begin{aligned}h(x) &= (x - 1)^{-1} \Rightarrow h'(x) \\ &= -(x - 1)^{-2} \\ &= -\frac{1}{(x-1)^2}\end{aligned}

גוזרים חזקה

g(x)=e1x−1⋅(−1(x−1)2)=−e1x−1(x−1)2\begin{aligned}g(x) &= e^{\frac{1}{x-1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right) \\ &= -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}\end{aligned}

תחום ההגדרה: x≠1x \ne 1. הביטוי עם x−1x - 1 במכנה כופל ב-hh במקום ב-h′h'. ואין סיבה לדרוש x>1x > 1: ee בחזקת מספר שלילי מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

−2−1123−3−2−1123xyhy = 0x = 1

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). א. בסרטוט הגרף של הפונקציה hh. לפי הסרטוט, ובלי לגזור, מה אפשר לומר על הסימן של g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x)?

  1. g(x)>0g(x) > 0 כאשר x<1x < 1, ו-g(x)<0g(x) < 0 כאשר x>1x > 1
  2. g(x)>0g(x) > 0 לכל x≠1x \ne 1
  3. g(x)<0g(x) < 0 לכל x≠1x \ne 1
  4. g(x)<0g(x) < 0 כאשר x<1x < 1, ו-g(x)>0g(x) > 0 כאשר x>1x > 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג g(x)<0g(x) < 0 לכל x≠1x \ne 1

הפתרון:

eh(x)>0e^{h(x)} > 0

חזקה של ee חיובית תמיד, ולכן הסימן של gg הוא הסימן של h′h'

h↘⇒h′(x)<0h \searrow \Rightarrow h'(x) < 0

בסרטוט hh יורדת בכל אחד משני הקטעים: משמאל לקיר וגם מימין לו

g(x)=eh(x)⋅h′(x)<0g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x) < 0

חיובי כפול שלילי

לכל x≠1x \ne 1, g(x)<0g(x) < 0. הסימן של gg נקבע לפי העלייה והירידה של hh, ולא לפי הסימן של hh: נכון ש-h<0h < 0 משמאל ו-h>0h > 0 מימין, אבל זה לא משנה כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ב. לפניכם טענה: כאשר x→1−x \to 1^- (משמאל), g(x)→−∞g(x) \to -\infty. האם הטענה נכונה? נמקו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

h′(x)=−1(x−1)2=−h(x)2⇒g(x)=−h2eh\begin{aligned}h'(x) &= -\frac{1}{(x-1)^2} \\ &= -h(x)^2 \Rightarrow g(x) \\ &= -h^2 e^{h}\end{aligned}

כותבים את gg באמצעות hh בלבד

x→1−: x−1→0−⇒h(x)→−∞x \to 1^- : \ x - 1 \to 0^- \Rightarrow h(x) \to -\infty

משמאל המכנה של hh קטן ושלילי

s→−∞: s2es→0⇒g(x)→0s \to -\infty : \ s^2 e^{s} \to 0 \Rightarrow g(x) \to 0

ese^{s} שואף ל-00 מהר יותר מש-s2s^2 גדל

הטענה לא נכונה: משמאל ל-x=1x = 1 הגרף מתקרב ל-00, ולא ל-−∞-\infty. הטעות היא לראות (x−1)2→0(x - 1)^2 \to 0 במכנה ולעצור שם, בלי לבדוק את המעריך 1x−1\frac{1}{x - 1}, שבצד הזה שואף ל-−∞-\infty.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ב. מהן האסימפטוטות המאונכות לצירים של גרף הפונקציה gg?

  1. x=1x = 1 ו-y=−1y = -1
  2. x=1x = 1 ו-y=0y = 0
  3. x=1x = 1 בלבד
  4. y=0y = 0 בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=1x = 1 ו-y=0y = 0

הפתרון:

x→1+: h(x)→+∞⇒g(x)=−h2eh→−∞x \to 1^+ : \ h(x) \to +\infty \Rightarrow g(x) = -h^2 e^{h} \to -\infty

מימין המעריך שואף ל-+∞+\infty: יש אסימפטוטה אנכית x=1x = 1

x→1−: g(x)→0x \to 1^- : \ g(x) \to 0

משמאל אין קיר: זה הסעיף הקודם

x→±∞: h(x)→0⇒eh→1 h′→0⇒g(x)→1⋅0=0\begin{aligned}x \to \pm\infty : \ h(x) \to 0 \Rightarrow e^{h} \to 1 \\ \ h' \to 0 \Rightarrow g(x) \to 1 \cdot 0 &= 0\end{aligned}

בשני הצדדים

האסימפטוטות: x=1x = 1 (הגרף מתקרב אליה מימין בלבד) ו-y=0y = 0. התשובה y=−1y = -1 מציבה e0=1e^{0} = 1 ושוכחת שהגורם h′(x)h'(x) שואף ל-00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ג. לגרף הפונקציה gg יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

g′(x)=eh (h′)2+eh h′′=eh((h′)2+h′′)\begin{aligned}g'(x) &= e^{h}\,(h')^2 + e^{h}\,h'' \\ &= e^{h}\left((h')^2 + h''\right)\end{aligned}

כלל המכפלה

(h′)2+h′′=1(x−1)4+2(x−1)3=1+2(x−1)(x−1)4=2x−1(x−1)4\begin{aligned}(h')^2 + h'' &= \frac{1}{(x-1)^4} + \frac{2}{(x-1)^3} \\ &= \frac{1 + 2(x - 1)}{(x-1)^4} \\ &= \frac{2x - 1}{(x-1)^4}\end{aligned}

h′′(x)=2(x−1)3h''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}

g′(x)=e1x−1 (2x−1)(x−1)4=0⇒x=12\begin{aligned}g'(x) &= \frac{e^{\frac{1}{x-1}}\,(2x - 1)}{(x-1)^4} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

eh>0e^{h} > 0 ו-(x−1)4>0(x-1)^4 > 0: רק המונה 2x−12x - 1 קובע

x<12:g′<0,12<x<1:g′>0x < \tfrac{1}{2} : g' < 0 ,\quad \tfrac{1}{2} < x < 1 : g' > 0

ירידה ואחריה עלייה: מינימום

נקודת הקיצון היא ב-x=12x = \frac{1}{2}, והיא מינימום. מימין לקיר 2x−1>02x - 1 > 0, ולכן שם gg עולה כל הזמן ואין קיצון נוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ג. לגרף הפונקציה gg יש נקודת מינימום אחת, והיא נמצאת כאשר x=12x = \frac{1}{2}. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.541

הפתרון:

h(12)=112−1=−2\begin{aligned}h\left(\tfrac{1}{2}\right) &= \frac{1}{\frac{1}{2} - 1} \\ &= -2\end{aligned}

קודם המעריך

(12−1)2=14\left(\tfrac{1}{2} - 1\right)^2 = \frac{1}{4}

ואחר כך המכנה

g(12)=−e−214=−4e−2≈−0.541\begin{aligned}g\left(\tfrac{1}{2}\right) &= -\frac{e^{-2}}{\frac{1}{4}} \\ &= -4e^{-2} \approx -0.541\end{aligned}

נקודת המינימום היא (12,−4e−2)\left(\frac{1}{2}, -4e^{-2}\right), ו-−4e−2≈−0.541-4e^{-2} \approx -0.541. שימו לב לסימן: gg שלילית בכל התחום, ולכן גם ערך המינימום שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

xyy = 0x = 1I
xyy = 0x = 1II
xyy = −1x = 1III
xyy = 0x = 1IV

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ד. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה gg?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. גרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף IV

הפתרון:

g(x)<0g(x) < 0

מסעיף א: gg שלילית בכל התחום. בגרף I הגרף נמצא מעל ציר ה-xx: נפסל

x→±∞:g(x)→0x \to \pm\infty : g(x) \to 0

מסעיף ב: האסימפטוטה האופקית היא y=0y = 0. בגרף III היא y=−1y = -1: נפסל

x→1+:g→−∞,x→1−:g→0x \to 1^+ : g \to -\infty ,\quad x \to 1^- : g \to 0

הקיר נמצא מימין ל-x=1x = 1. בגרף II הגרף יורד ל-−∞-\infty משמאל לקיר, ומימין מתקרב ל-00: נפסל

(12,−0.54)\left(\tfrac{1}{2}, -0.54\right)

ובגרף IV יש מינימום משמאל לקיר, כמו שמצאנו בסעיף ג

גרף IV. גרף II הוא השיקוף של הגרף הנכון: לבדוק שיש קיר ב-x=1x = 1 לא מספיק, צריך לבדוק באיזה צד של הקיר הגרף שואף לאינסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ה. איזו מבין הפונקציות היא פונקציה קדומה של gg?

  1. G(x)=e1x−1x−1G(x) = \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{x-1}
  2. G(x)=2e1x−1(x−1)3G(x) = \frac{2e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^3}
  3. G(x)=e1x−1G(x) = e^{\frac{1}{x-1}}
  4. G(x)=−e1x−1G(x) = -e^{\frac{1}{x-1}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג G(x)=e1x−1G(x) = e^{\frac{1}{x-1}}

הפתרון:

(eh(x))′=eh(x)⋅h′(x)=g(x)\begin{aligned}\left(e^{h(x)}\right)' &= e^{h(x)} \cdot h'(x) \\ &= g(x)\end{aligned}

כלל השרשרת, הפוך

∫eh(x) h′(x) dx=eh(x)+C=e1x−1+C\begin{aligned}\int e^{h(x)}\,h'(x)\,dx &= e^{h(x)} + C \\ &= e^{\frac{1}{x-1}} + C\end{aligned}
(−e1x−1)′=−g(x)≠g(x)\left(-e^{\frac{1}{x-1}}\right)' = -g(x) \ne g(x)

בדיקה של התשובה עם המינוס

הפונקציה הקדומה היא e1x−1e^{\frac{1}{x-1}}. זו הסיבה שהגדירו את gg כך: g=eh⋅h′g = e^{h} \cdot h' היא בדיוק הנגזרת של ehe^{h}. הפונקציה הקדומה חיובית, אף ש-gg שלילית: זה לא סותר, כי gg שלילית אומרת רק שהפונקציה הקדומה יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=2x = 2 ו-x=3x = 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.07

הפתרון:

∫23g(x) dx=[e1x−1]23=e12−e1\begin{aligned}\int_2^3 g(x)\,dx &= \left[e^{\frac{1}{x-1}}\right]_2^3 \\ &= e^{\frac{1}{2}} - e^{1}\end{aligned}

הפונקציה הקדומה מהסעיף הקודם

e−e≈−1.070\sqrt{e} - e \approx -1.070

התוצאה שלילית, כי g<0g < 0: הגרף מתחת לציר ה-xx

S=−∫23g(x) dx=e−e≈1.070\begin{aligned}S &= -\int_2^3 g(x)\,dx \\ &= e - \sqrt{e} \approx 1.070\end{aligned}

שטח הוא מספר חיובי

השטח הוא e−e≈1.070e - \sqrt{e} \approx 1.070. האינטגרל עצמו שלילי; מי שעונה −1.070-1.070 שוכח שהשטח הוא מספר חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה h(x)=1x−1h(x) = \frac{1}{x - 1}, ונגדיר g(x)=eh(x)⋅h′(x)g(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x). כלומר g(x)=−e1x−1(x−1)2g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2}. ו. נתון a>2a > 2. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה gg, ציר ה-xx והישרים x=2x = 2 ו-x=ax = a שווה ל-e−e3e - \sqrt[3]{e}. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

S=−∫2ag(x) dx=−(e1a−1−e1)=e−e1a−1\begin{aligned}S &= -\int_2^a g(x)\,dx \\ &= -\left(e^{\frac{1}{a-1}} - e^{1}\right) \\ &= e - e^{\frac{1}{a-1}}\end{aligned}

g<0g < 0 בקטע, ולכן מחליפים סימן

e−e1a−1=e−e13⇒e1a−1=e13\begin{aligned}e - e^{\frac{1}{a-1}} &= e - e^{\frac{1}{3}} \Rightarrow e^{\frac{1}{a-1}} \\ &= e^{\frac{1}{3}}\end{aligned}

e3=e13\sqrt[3]{e} = e^{\frac{1}{3}}

1a−1=13⇒a−1=3⇒a=4\begin{aligned}\frac{1}{a - 1} &= \frac{1}{3} \Rightarrow a - 1 \\ &= 3 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

שתי חזקות של ee שוות כאשר המעריכים שווים

a=4a = 4. כותבים את e3\sqrt[3]{e} כחזקה e13e^{\frac{1}{3}}, ואז משווים מעריכים. בדיקה: a=4>2a = 4 > 2, כנדרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת