חקירת פונקציה מעריכית

תמליל

טעות נפוצה בחקירת פונקציה מעריכית היא לקבוע אסימפטוטה אופקית בשני הצדדים בבת אחת. נתבונן בפונקציה f של x שווה בסוגריים x פחות 1, כפול e בחזקת x. הרישום שלפיו כאשר x שואף לפלוס או מינוס אינסוף מתקבלת אסימפטוטה y שווה 0, הוא שגוי מיסודו. לגרף של e בחזקת x יש אסימפטוטה y שווה 0 משמאל בלבד. כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל-0, אך כאשר x שואף לפלוס אינסוף היא שואפת לפלוס אינסוף.

הכפל ב-x פחות 1 אינו מוסיף אסימפטוטה מימין. הכלל המנחה בפונקציה מעריכית חד-משמעי: לא מסיקים מצד אחד על האחר, אלא בודקים כל צד בנפרד. עכשיו פונקציה אחרת: לפונקציה f של x שווה x כפול e בחזקת מינוס x יש אסימפטוטה y שווה 0. באיזה צד היא נמצאת, ולמה?

מימין. כאשר x שואף לפלוס אינסוף, e בחזקת מינוס x שואפת ל-0 מהר יותר מש-x גדל, ולכן f של x שואפת ל-0. משמאל אין אסימפטוטה: כאשר x שואף למינוס אינסוף, e בחזקת מינוס x גדלה בלי גבול ו-x שלילי, ולכן f של x שואפת למינוס אינסוף. לסיכום, התנהגות הפונקציה בפלוס אינסוף ובמינוס אינסוף שונה לגמרי: בודקים כל צד בנפרד.