חקירת פונקציה מעריכית · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

בבחינה מבקשים לחקור פונקציה בכמה סעיפים. בשיעור הזה נחקור אותם תמיד באותו סדר. חלק מהסעיפים נשענים על אלה שלפניהם: למשל, אי אפשר לחפש אסימפטוטה אנכית בלי לדעת את תחום ההגדרה, ואי אפשר לסרטט סקיצה בלי כל השאר. נחקור כך את הפונקציה $f(x) = (x-1)e^x$ .

1

תחום ההגדרה

2

אסימפטוטות המאונכות לצירים

3

נקודות החיתוך עם הצירים

4

תחומי עלייה וירידה

5

נקודות קיצון וסוגן

6

נקודת פיתול

7

סקיצה של גרף הפונקציה

פעילות אינטראקטיבית

תחום ההגדרה: $e^x$ מוגדרת לכל $x$ , וגם $x-1$ מוגדר לכל $x$ . אין מכנה שיכול להתאפס ואין שורש, ולכן גם המכפלה $(x-1)e^x$ מוגדרת לכל $x$ .

אסימפטוטות: אין אסימפטוטה אנכית, כי הפונקציה מוגדרת לכל $x$ . כאשר $x\to-\infty$ , $e^x$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x-1$ גדל בערכו המוחלט, ולכן המכפלה שואפת ל- $0$ : אסימפטוטה $y=0$ משמאל. כאשר $x\to+\infty$ שני הגורמים גדלים בלי גבול, ולכן מימין אין אסימפטוטה.

נקודות החיתוך: $e^x > 0$ לכל $x$ , ולכן $f(x) = 0$ רק כאשר $x-1 = 0$ , כלומר בנקודה $(1, 0)$ . עם ציר ה- $y$ מציבים $x = 0$ : $f(0) = (0-1)e^0 = -1$ , כלומר הנקודה $(0, -1)$ .

עלייה וירידה: לפי כלל המכפלה $f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$ . הגורם $e^x$ תמיד חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x$ : כאשר $x<0$ הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת, וכאשר $x>0$ הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

קיצון: $f'(0) = 0$ , והנגזרת עוברת בנקודה הזאת משלילית לחיובית: הפונקציה יורדת עד $x=0$ ואחר כך עולה. לכן $(0, -1)$ היא נקודת מינימום.

נקודת פיתול: $f''(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$ . שוב $e^x > 0$ , ולכן $f''$ מחליפה סימן רק כאשר $x = -1$ : משמאל לנקודה יש לגרף קעירות כלפי מטה, ומימין לה קעירות כלפי מעלה. $f(-1) = -\frac{2}{e} \approx -0.736$ .

סקיצה: מחברים את כל התוצאות. משמאל הגרף קרוב לאסימפטוטה $y=0$ ומתחתיה, יורד, עובר בנקודת הפיתול שבה $x=-1$ , מגיע למינימום $(0,-1)$ , ואז עולה, חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(1,0)$ וממשיך לעלות בלי גבול.

מההתחלה

הפונקציה היא $f(x) = (x-1)e^x$ . כל לחיצה מוסיפה לציור סעיף אחד של החקירה. הטבלה שבפינה היא טבלת הסימנים של $f'$ : הסימן בכל צד של הקיצון מחושב מהנגזרת.

לעשות את הפעילות ב-elev

עכשיו פונקציה אחרת: לפונקציה $f(x) = xe^{-x}$ יש אסימפטוטה $y=0$ . באיזה צד היא נמצאת, ולמה?

להציג את התשובה והפתרון

מימין. כאשר $x\to+\infty$ , $e^{-x}$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x$ גדל, ולכן $f(x) \to 0$ . כאשר $x\to-\infty$ , $e^{-x}$ גדלה בלי גבול ו- $x$ שלילי, ולכן $f(x) \to -\infty$ : משמאל אין אסימפטוטה.

פעילות אינטראקטיבית

תחום ההגדרה: $x$ ו- $e^{-x}$ מוגדרים לכל $x$ , ולכן גם המכפלה $f(x) = xe^{-x}$ מוגדרת לכל $x$ .

אסימפטוטות: אין אסימפטוטה אנכית, כי $f$ מוגדרת לכל $x$ . כאשר $x\to+\infty$ , $e^{-x}$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x$ גדל, ולכן $f(x)\to 0$ : אסימפטוטה $y=0$ מימין. כאשר $x\to-\infty$ המכפלה שואפת ל- $-\infty$ , ולכן משמאל אין אסימפטוטה.

נקודות החיתוך: $e^{-x} > 0$ לכל $x$ , ולכן $f(x) = 0$ רק כאשר $x = 0$ . גם $f(0) = 0$ , ולכן הגרף חותך את שני הצירים באותה נקודה: ראשית הצירים $(0, 0)$ .

עלייה וירידה: $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$ . הסימן של $f'$ הוא הסימן של $1-x$ : כאשר $x<1$ הנגזרת חיובית והפונקציה עולה, וכאשר $x>1$ הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

קיצון: $f'(1) = 0$ , והנגזרת עוברת בנקודה הזאת מחיובית לשלילית: הפונקציה עולה ואחר כך יורדת. לכן $\left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.368)$ היא נקודת מקסימום.

נקודת פיתול: $f''(x) = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}$ . הסימן של $f''$ הוא הסימן של $x-2$ , ולכן הוא מתחלף רק כאשר $x = 2$ : משמאל לנקודה יש לגרף קעירות כלפי מטה, ומימין לה קעירות כלפי מעלה. $f(2) = \frac{2}{e^2} \approx 0.271$ .

סקיצה: משמאל הגרף מגיע מלמטה, עולה, עובר בראשית הצירים ומגיע למקסימום כאשר $x=1$ . אחר כך הוא יורד, עובר בנקודת הפיתול שבה $x=2$ , ומתקרב מלמעלה לאסימפטוטה $y=0$ .

מההתחלה

הפונקציה היא $f(x) = xe^{-x}$ . כאן הסימנים בטבלה הפוכים: $f'$ חיובית לפני הקיצון ושלילית אחריו, ולכן זו נקודת מקסימום.

לעשות את הפעילות ב-elev

הטעות של האסימפטוטה בשני הצדדים.

x \to \pm\infty \Rightarrow (x-1)e^x \to 0

x \to -\infty \Rightarrow (x-1)e^x \to 0 \quad , \quad x \to +\infty \Rightarrow (x-1)e^x \to +\infty

האסימפטוטה $y=0$ משני הצדדים היא טעות. לגרף של $e^x$ יש אסימפטוטה $y=0$ משמאל בלבד, והכפל ב- $x-1$ לא מוסיף אחת מימין. בודקים כל צד בנפרד.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

$x>0$
$x>-1$
כל $x$
$x \ne -1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כל $x$

הפתרון:

g(x) = (x+1) \cdot e^x

מכפלה של $x+1$ ושל $e^x$ . שני הגורמים מוגדרים לכל $x$ , ואין מכנה ואין שורש

\begin{aligned}g(-1) &= 0 \cdot e^{-1} \\ &= 0\end{aligned}

גם כאשר $x=-1$ הפונקציה מוגדרת: היא מתאפסת שם

תחום ההגדרה הוא כל $x$ . התשובה $x \ne -1$ מבלבלת בין נקודה שבה הפונקציה מתאפסת לבין נקודה שבה היא לא מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \Rightarrow (x+1)e^x \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה- $x$ הערך של הפונקציה הוא $0$

\begin{aligned}e^x > 0 \quad \\ \quad (x+1)e^x &= 0 \Rightarrow x + 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

$e^x$ אף פעם לא מתאפסת

הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-1, 0)$ , ושיעור ה- $x$ שלה הוא $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}g(0) &= (0+1)e^0 \\ &= 1 \cdot 1 \\ &= 1\end{aligned}

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 1)$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . לפונקציה יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= e^x + (x+1)e^x \\ &= (x+2)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < -2 : g' < 0 \quad , \quad x > -2 : g' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

נקודת המינימום נמצאת כאשר $x = -2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . לפונקציה יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת המינימום? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.135

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= (x+2)e^x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

שיעור ה- $x$ של נקודת המינימום

\begin{aligned}g(-2) &= (-2+1)e^{-2} \\ &= -e^{-2} \\ &= -\frac{1}{e^2} \approx -0.135\end{aligned}

מציבים בפונקציה עצמה, לא בנגזרת

נקודת המינימום היא $\left(-2, -\frac{1}{e^2}\right)$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא בערך $-0.135$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

g'(x) = (x+2)e^x

הנגזרת הראשונה

\begin{aligned}g''(x) &= e^x + (x+2)e^x \\ &= (x+3)e^x\end{aligned}

גוזרים שוב, לפי כלל המכפלה

\begin{aligned}g''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < -3 : g'' < 0 \quad , \quad x > -3 : g'' > 0

$g''$ מחליפה סימן, ולכן זו נקודת פיתול

נקודת הפיתול נמצאת כאשר $x = -3$ : משמאל לה יש לגרף קעירות כלפי מטה, ומימין לה קעירות כלפי מעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . מהי האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה?

אין לגרף אסימפטוטה אופקית
$y=0$ כאשר $x \to -\infty$
$y=0$ כאשר $x \to +\infty$
$y=1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y=0$ כאשר $x \to -\infty$

הפתרון:

x \to -\infty \Rightarrow (x+1)e^x \to 0

$e^x$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מש- $x+1$ גדל בערכו המוחלט

x \to +\infty \Rightarrow (x+1)e^x \to +\infty

שני הגורמים גדלים בלי גבול

האסימפטוטה האופקית היא $y=0$ כאשר $x \to -\infty$ , ורק בצד הזה. $y=1$ הוא שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ , ולא אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חוקרים את הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . סדרו את סעיפי החקירה לפי הסדר שבו חקרנו בשיעור הזה.

אסימפטוטות המאונכות לצירים
נקודות החיתוך עם הצירים
נקודות קיצון וסוגן
נקודת פיתול
סקיצה של גרף הפונקציה
תחום ההגדרה
תחומי עלייה וירידה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה · אסימפטוטות המאונכות לצירים · נקודות החיתוך עם הצירים · תחומי עלייה וירידה · נקודות קיצון וסוגן · נקודת פיתול · סקיצה של גרף הפונקציה

הפתרון:

\begin{aligned}x \in \mathbb{R} \ ; \ y &= 0 \ (x \to -\infty) \ ; \ (-1, 0) \\ (0, 1)\end{aligned}

קודם מה שקוראים מהפונקציה עצמה: תחום ההגדרה, האסימפטוטה ונקודות החיתוך

g'(x) = (x+2)e^x \ ; \ \min \left(-2, -\frac{1}{e^2}\right)

אחר כך הנגזרת: עלייה, ירידה והקיצון

\begin{aligned}g''(x) &= (x+3)e^x \ ; \ g''(-3) \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת השנייה: נקודת הפיתול

x \to -\infty : g(x) \to 0 \quad , \quad x \to +\infty : g(x) \to +\infty

הסקיצה משתמשת בכל התוצאות, ולכן היא אחרונה

הסדר הוא: תחום ההגדרה, אסימפטוטות, נקודות חיתוך, עלייה וירידה, קיצון, פיתול, סקיצה. זה הסדר שבו חקרנו בשיעור. חלק ממנו הכרחי: תחום ההגדרה לפני האסימפטוטה האנכית, והסקיצה בסוף. חלק ממנו הרגל: אפשר גם למצוא את נקודות הקיצון לפני שכותבים את תחומי העלייה והירידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ , שחקרנו בתרגילים הקודמים. איזה מבין הגרפים הוא הסקיצה שלה?

גרף IV
גרף III
גרף I
גרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף I

הפתרון:

g(0) = 1

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,1)$ . גרפים III ו-IV עוברים ב- $(0,-1)$ : נפסלים

x \to -\infty : g(x) \to 0

האסימפטוטה $y = 0$ נמצאת משמאל. בגרף II היא מימין: נפסל

\min \left(-2, -\frac{1}{e^2}\right) \approx (-2, -0.135)

ובגרף I יש מינימום קטן מתחת לציר, כאשר $x = -2$

גרף I. הסקיצה משתמשת בכל הסעיפים: חיתוך עם ציר ה- $y$ , הצד של האסימפטוטה ונקודת הקיצון. המינימום קרוב מאוד לציר, $-0.135$ , ולכן קל לפספס אותו בסקיצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $g(x) = (x+1)e^x$ . בתחום $-3 < x < -2$ הפונקציה עולה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

g'(x) = (x+2)e^x

הנגזרת, לפי כלל המכפלה

-3 < x < -2 \Rightarrow x + 2 < 0 \Rightarrow g'(x) < 0

כי $e^x > 0$

g''(x) = (x+3)e^x > 0 \quad (x > -3)

בתחום הזה הקעירות כלפי מעלה, אבל זה לא אומר שהפונקציה עולה

הטענה לא נכונה: בתחום הזה $g' < 0$ , והפונקציה יורדת עד המינימום ב- $x = -2$ . עלייה וירידה נקבעות לפי הסימן של $g'$ . הסימן של $g''$ קובע רק את הקעירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev